книги / Оболочки и пластины
..pdfм е н е н Ф л ю г г е и |
К о н р а д о м |
[ 1 4 ] д л я |
п о с т р о е н и я р е ш е н и й , с о о т в е т с т в у ю щ и х с о с р е д о т о ч е н |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
н о м у |
н а г р е в у |
|
ц и л и н д р и ч е с к о й |
о б о л о ч к и . |
Э т о т |
|
ж е |
п р и е м |
и с п о л ь з о в а л |
|
Д ж е й х а н ш е й х и |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
[ 1 5 ] , р а с с м а т р и в а я |
з а д а ч у о д е й с т в и и |
н а |
п о л о г у ю |
|
ц и л и н д р и ч е с к у ю |
о б о л о ч к у н о р м а л ь н о й |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с о с р е д о т о ч е н н о й |
с и л ы , |
|
д в и ж у щ е й с я |
с |
|
п о с т о я н н о й |
с к о р о с т ь ю |
в д о л ь |
о б р а з у ю щ е й . Д а л ь |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
н е й ш е е р а з в и т и е |
т а к о г о |
|
п о д х о д а к р е ш е н и ю |
з а д а ч т е о р и и |
п о л о г и х о б о л о ч е к д а н о |
в р а |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
б о т е Ф о р с б е р г а |
|
и Ф л ю г г е [ 1 6 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
С у щ н о с т ь в т о р о г о |
м е т о д а р а с ч е т а о б о л о ч е к х а |
л о к а л ь н ы е в о з д е й с т в и я |
з а к л ю ч а е т с я |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в |
п о с т р о е н и и |
|
р е ш е н и й |
|
|
н е о д н о р о д н ы х |
|
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х |
|
у р а в н е н и й |
т е о р и и |
о б о л о ч е к , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
п р а в ы е |
ч а с т и |
|
к о т о р ы х |
|
с о д е р ж а т |
ф у н к ц и и , о п р е д е л е н н ы м |
о б р а з о м |
|
о п и с ы в а ю щ и е |
с о с р е |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
д о т о ч е н н ы е |
в о з д е й с т в и я . В |
|
к а ч е с т в е |
э т и х |
ф у н к ц и й |
и с п о л ь з у ю т с я |
|
р а з л и ч н ы е |
6 - о б р а з н ы е |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п о с л е д о в а т е л ь н о с т и , о д н а к о |
|
в п о с л е д н и е |
г о д ы |
ш и р о к о е |
р а с п р о с т р а н е н и е |
|
п о л у ч и л |
м е т о д |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
о п и с а н и я |
с о с р е д о т о ч е н н ы х |
|
в о з д е й с т в и й |
|
с |
|
п о м о щ ь ю |
6 - ф у н к ц и и |
|
е е |
п р о и з в о д н ы х , |
ч т о |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
п о з в о л я е т у с т а н а в л и в а т ь с в я з и |
м е ж д у з а д а ч а м и |
|
т е о р и и о б о л о ч е к |
и р е з у л ь т а т а м и т е о р и и |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
о б о б щ е н н ы х ф у н к ц и й . Д л я |
|
о б о л о ч е к п р о и з в о л ь н о й |
ф о р м ы |
у к а з а н н ы й |
м е т о д п р и м е н я л с я |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в |
р а б о т а х |
Г . |
|
Н . |
Ч е р н ы ш е в а |
[ 1 7 , |
1 8 ] . |
|
Б о л ь ш о е |
|
к о л и ч е с т в о |
и с с л е д о в а н и й |
н а |
о с н о в е |
н е |
||||||||||||||||||||||||||||||||
о д н о р о д н ы х |
|
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х |
у р а в н е н и й |
|
п р о в е д е н о |
|
в |
с в я з и |
с |
р а с ч е т о м |
ц и л и н д р и ч е |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
с к и х |
о б о л о ч е к |
н а |
л о к а л ь н ы е |
н а г р у з к и . |
В |
с т а т ь е |
|
Ю . |
П . |
Ж и г а л к о |
|
[ 1 9 ] с д е л а н |
|
о б з о р |
р а |
||||||||||||||||||||||||||||||||
б о т , в ы п о л н е н н ы х |
в э т о м |
н а п р а в л е н и и |
|
с |
1 9 4 6 п о |
|
1 9 6 5 г . П о э т о м у |
м ы |
о г р а н и ч и м с я к р а т |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
к о й х а р а к т е р и с т и к о й |
|
р я д а |
с т а т е й |
э т о г о |
ц и к л а , д е л а я |
|
у п о р |
н а |
и с с л е д о в а н и я х , п р о в е д е н |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
н ы х п о с л е |
1 9 6 5 г . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
В . М . Д а р е в с к и й |
[ 2 0 ] д а л с т р о г о е |
|
р е ш е н и е о с н о в н ы х д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х у р а в н е н и й |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т е о р и и |
ц и л и н д р и ч е с к и х |
|
о б о л о ч е к , |
с о о т в е т с т в у ю щ е е |
т а к |
н а з ы в а е м о й |
э л е м е н т а р н о й |
н а |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
г р у з к е , т . е . н а г р у з к е , р а в н о м е р н о |
р а с п р е д е л е н н о й |
п о п р я м о у г о л ь н о м у э л е м е н т у |
б о к о в о й |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п о в е р х н о с т и |
|
о б о л о ч к и , о г р а н и ч е н н о м у о т р е з к а м и |
л и н и й к р и в и з н ы . |
К о м п о н е н т ы |
|
н а г р у з к и |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п о о с я м |
к о о р д и н а т |
п р е д п о л а г а л и с ь с о с т о я щ и м и |
|
и з |
к о м п о н е н т г л а в н о г о |
в е к т о р а |
и г л а в |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
н о г о |
м о м е н т а |
с и с т е м ы |
|
|
в н е ш н и х |
с и л . Д л я |
|
п о л у ч е н и я |
|
р е ш е н и й , |
с о о т в е т с т в у ю щ и х |
с о с р е |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
д о т о ч е н н ы м |
|
н а г р у з к а м , |
|
о с у щ е с т в л я л с я |
п р е д е л ь н ы й |
п е р е х о д . |
У ч и т ы в а я |
|
ф а к т |
|
н е о г р а н и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ч е н н о г о |
в о з р а с т а н и я |
|
з н а ч е н и й |
н е к о т о р ы х |
|
и с к о м ы х |
ф у н к ц и й |
о к о л о |
м е с т а |
п р и л о ж е н и я |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с о с р е д о т о ч е н н о й |
|
н а г р у з к и , |
В . |
М . |
Д а р е в с к и й |
в ы в е л |
а с и м п т о т и ч е с к и е |
ф о р м у л ы |
|
[ 2 1 ] , х а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
р а к т е р и з у ю щ и е п о в е д е н и е э т и х |
ф у н к ц и й |
в о к р е с т н о с т и |
|
о с о б ы х т о ч е к . П о з д н е е |
а н а л о г и ч |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
н ы е ф о р м у л ы |
|
д л я |
о р т о т р о п н ы х ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к п о л у ч е н ы |
в р а б о т а х А . С . Х р и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с т е н к о |
[ 2 2 — 2 4 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
В |
б о л е е |
|
у п р о щ е н н о й |
и м е н е е с т р о г о й |
п о с т а н о в к е |
з а д а ч а , |
р а с с м о т р е н н а я |
|
В . |
М . Д а - |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
р е в с к и м , б ы л а |
|
р е ш е н а Б е й л а р д о м |
[ 2 5 ] д л я |
|
з а м к н у т о й |
|
с в о б о д н о о п е р т о й |
ц и л и н д р и ч е с к о й |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
о б о л о ч к и . |
И н т е г р и р о в а н и е |
|
и с х о д н ы х |
у р а в н е н и й |
|
в |
п е р е м е щ е н и я х |
Б е й л а р д |
о с у щ е с т в л я л |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
п у т е м |
п р е д с т а в л е н и я |
|
и с к о м ы х |
ф у н к ц и й |
|
в |
|
ф о р м е |
д в о й н ы х |
т р и г о н о м е т р и ч е с к и х |
|
р я д о в . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
В |
д а л ь н е й ш е м |
|
э т о т |
|
м е т о д |
|
с |
п р и м е н е н и е м |
|
с в о й с т в |
6 - ф у н к ц и и |
ш и р о к о |
и с п о л ь з о в а л с я |
в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
р а б о т а х |
Ю . |
П . |
|
Ж и г а л к о |
|
[ 2 6 — 3 1 ] д л я |
|
и с с л е д о в а н и я |
|
н а п р я ж е н н о - д е ф о р м и р о в а н н о г о |
с о |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
с т о я н и я |
|
и з о т р о п н ы х |
и |
|
о р т о т р о п н ы х |
|
ц и л и н д р и ч е с к и х |
о б о л о ч е к , |
н а х о д я щ и х с я |
п о д |
д е й с т |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
в и е м |
с о с р е д о т о ч е н н ы х |
|
н а г р у з о к . |
О т м е т и м |
|
т а к ж е |
р а б о т у |
В . |
М . |
Д а р е в с к о г о |
|
[ 3 2 ] |
и |
е г о |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
д о к л а д |
н а |
V I |
|
В с е с о ю з н о й |
|
к о н ф е р е н ц и и |
п о |
т е о р и и |
о б о л о ч е к |
и |
п л а с т и н |
|
[ 3 3 ] , |
|
в |
к о т о р ы х |
|||||||||||||||||||||||||||||||
с о д е р ж а т с я |
|
с и с т е м а т и з а ц и я , о б о б щ е н и е и к р и т и ч е с к и й |
о б з о р |
и м е ю щ и х с я |
|
р е з у л ь т а т о в , а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т а к ж е |
х а р а к т е р и с т и к а |
|
с о в р е м е н н о г о |
|
с о с т о я н и я |
|
в о п р о с а |
о |
р а с ч е т е |
т о н к и х |
о б о л о ч е к |
н а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
л о к а л ь н ы е н а г р у з к и . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
В |
б о л ь ш и н с т в е |
у к а з а н н ы х |
р а б о т в к а ч е с т в е о с н о в н ы х |
и с х о д н ы х |
у р а в н е н и й |
и с п о л ь |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
з о в а н ы |
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы е у р а в н е н и я |
в |
д е й с т в и т е л ь н о й |
ф о р м е . О д н а к о |
|
в |
р я д е |
с л у ч а е в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
у р а в н е н и я |
в к о м п л е к с н о й ф о р м е м о г у т о к а з а т ь с я |
б о л е е п р е д п о ч т и т е л ь н ы м и . Д л я |
р а с ч е т а |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ц и л и н д р и ч е с к и х |
о б о л о ч е к |
|
н а |
р а з л и ч н ы е |
л о к а л ь н ы е |
|
в о з д е й с т в и я |
|
к о м п л е к с н о е |
п р е о б р а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
з о в а н и е |
у р а в н е н и й |
б ы л о |
и с п о л ь з о в а н о |
в |
р а б о т а х |
В . А . |
Н и к и т и н а |
[ 3 4 ] , |
|
Ю . |
|
С . Д е м ь я н о |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
в и ч |
[ 3 5 ] , |
Ю . |
П . |
Ж и г а л к о |
|
[ 2 6 , |
2 9 , |
|
3 1 , |
3 6 — 3 8 ] . |
Р е ш е н и е |
р я д а |
з а д а ч |
|
д л я |
|
о р т о т р о п н ы х |
||||||||||||||||||||||||||||||
с л о и с т ы х |
|
о б о л о ч е к |
в р а щ е н и я |
н а |
о с н о в е |
|
к о м п л е к с н ы х |
|
у р а в н е н и й |
|
|
д а н о |
|
в |
|
р а б о т а х |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Ю . П . А р т ю х и н а [ 3 9 — 4 2 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
В |
р е а л ь н ы х |
у с л о в и я х |
|
п е р е д а ч а л о к а л ь н о й |
|
н а г р у з к и |
н а |
о б о л о ч к у п р о и с х о д и т ч е р е з |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
у п р у г и й |
э л е м е н т , н а з ы в а е м ы й |
н а к л а д к о й . |
|
В ы я с н е н и е |
о п т и м а л ь н ы х |
р а з м е р о в |
и |
|
ф о р м ы |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
т а к и х |
н а к л а д о к |
д л я |
к а ж д о г о |
к о н к р е т н о г о |
т и п а |
|
л о к а л ь н о й |
н а г р у з к и |
п р е д с т а в л я е т |
б о л ь |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ш о й |
п р а к т и ч е с к и й |
и н т е р е с . О д н а к о |
|
п р и |
т е о р е т и ч е с к о м |
р а с с м о т р е н и и |
э т и х |
з а д а ч , |
к о г д а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п р и х о д и т с я |
у ч и т ы в а т ь |
|
ж е с т к о с т ь |
п л о щ а д к и |
|
н а г р у ж е н и я , |
в о з н и к а ю т |
б о л ь ш и е |
м а т е м а |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
т и ч е с к и е |
|
т р у д н о с т и . |
|
|
Т е о р е т и к о - э к с п е р и м е н т а л ь н ы м |
|
|
м е т о д о м , |
|
к о т о р ы й |
|
|
р а з р а б о т а н |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
А . |
В . |
С а ч е н к о в ы м |
|
( с м . |
§ |
|
2 0 ) , |
б ы л и |
р е ш е н ы |
|
с л о ж н ы е |
з а д а ч и |
|
о |
д е й с т в и и |
л о к а л ь н у х |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
н а г р у з о к |
|
н а |
ц и л и н д р и ч е с к и е |
и |
с ф е р и ч е с к и е |
|
о б о л о ч к и |
с |
у ч е т о м |
|
у п р у г и х |
н а к л а д о к |
[ 4 3 , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 4 ] . |
Ч и с т о |
и н ж е н е р н о е |
р е ш е н и е |
т а к о г о |
т и п а |
з а д а ч |
с в в е д е н и е м |
р я д а |
у п р о щ а ю щ и х |
д о |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п у щ е н и й д а н о в р а б о т а х Б е й л а р д а [ 4 5 , 4 6 ] и В . М . Д а р е в с к о г о [ 3 2 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
Д л я |
|
с ф е р и ч е с к о й |
|
о б о л о ч к и , |
и з г о т о в л е н н о й |
|
и з |
н е л и н е й н о - у п р у г о г о |
|
м а т е р и а л а , |
в о |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
п р о с о п е р е д а ч е |
л о к а л ь н о й |
|
н а г р у з к и |
|
н а |
о б о л о ч к у и с с л е д о в а н |
в с т а т ь е В . И . Ф е о д о с ь е в а , |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
и С . М . Ч е р н я к о в а |
[ 4 7 ] . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. Пологая оболочка двоякой кривизны
Пусть в некоторой точке оболочки приложена сосредоточенная на
грузка Р(Р\, Р Р з ) . Для определения напряженного и деформирован ного состояний существуют различные подходы. Основные из них охарак теризованы выше. Для большей конкретизации можно рассмотреть, на пример, эллипсоидальный купол, к поверхности которого приложена нормальная сосредоточенная сила. Исследование этой задачи удобно разделить на две стадии: расчет по безмоментной теории.и учет влияния краевой нагрузки, распределенной по опорному контуру и уравновеши вающей сосредоточенную нагрузку. На обеих стадиях можно использо вать обычные методы, причем решение по безмоментной теории незакон но вблизи точки приложения сосредоточенной нагрузки.
Излагаемый здесь подход [16] состоит в том, что окрестность точки аппроксимируется эллиптическим параболоидом, главные радиусы кри визны которого в вершине равны главным радиусам кривизны рассматри ваемого купола в точке приложения нагрузки. В пологой части эллип тического параболоида напряжения и деформации этой соприкасающей ся оболочки будут хорошо аппроксимировать напряжения и деформа ции реального купола. Поэтому рассмотрим только пологие оболочки, ибо вследствие локального характера изгибных эффектов в оболочке положительной гауссовой кривизны, обусловленных действием сосредо точенной нагрузки, рассмотрение только пологих оболочек не приводиi к серьезным ограничениям пригодности полученных результатов.
Запишем уравнение эллиптического параболоида
z — —-—X2-f- |
2 Ь У2, |
2а |
где а и b — главные радиусы кривизны оболочки в ее вершине.
Будем рассматривать линейную задачу, для которой однородную
систему уравнений запишем в виде |
|
|
|
|
|
||
D y \ 2w — yjfecp = |
О, |
|
|
|
(3,2,1) |
||
у 2у2ф |
к (1 _ V2) щгю = О, |
|
|
||||
|
|
|
|||||
где |
|
|
|
|
д2 |
_1_ |
32 |
D — £й3/12(1 — V2), /С = |
£/г/(1 — v2), |
у* = |
4 ” |
||||
|
|
|
|
О |
дх2 + |
а |
ду* ' |
Систему однородных уравнений |
(3, 2, 1) |
можно заменить двумя одина |
|||||
ковыми уравнениями четвертого порядка |
|
|
|
|
|
||
У2У2фт + t — |
у*фт = 0. |
m — 1,2, |
|
(3,2,2) |
|||
где |
а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ф х = |
Ф — I ------------ W , |
|
|
|
|
||
|
|
а |
|
|
|
|
(3,2,3) |
Ф2 = |
Пх.2 |
icp, |
|
|
|
||
|
|
|
|
||||
----- w - f ~ |
|
|
|
|
|||
_1_
*2 = £ 12 (1 — V2) |
j 2 |
Наша задача сводится к решению уравнения четвертого порядка (3, 2, 2). Четыре комплексные константы, появляющиеся при интегрировании этого уравнения, будут с помощью (3, 2, 3) связаны с восемью действи тельными произвольными константами в выражениях для ср и w. В связи с особенностью в начале координат (вершина оболочки) перейдем к по лярным координатам г, 0 (рис. 3.3), где уравнение (3, 2, 2) примет вид
d*Ф |
. |
2 |
4 3Ф |
| |
W |
o |
|
|
___ 1 |
< Р Ф |
\ |
d O |
\ |
dr* |
г |
dr3 |
г4 |
\ |
dr3dQ8 |
dr• |
) |
г3 \ |
drdb2 |
dr |
) |
||
|
н^ 0 |
|
|
_ d * 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d 0 2 |
|
de4 ) |
+ |
~ [ ( Y i |
+ |
2 Y2 c o s 2 6 ) |
^ - + |
|
(3 ,2 ,4 ) |
|||
+ ^ |
|
2 9 ( ^ |
- r |
|
|
^ |
<V. - 2 V . « 3 2 6 ) ( г ^ |
|
|
= 0 . |
|||
Здесь обозначено |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
* - т ( - г + - г > |
^ - т ( - г - - г ) - |
|
|
||||||||
Будем решать уравнение (3, 2, 4) методом разделения переменных, пред ставив Ф в виде ряда Фурье
|
|
|
|
|
ф = |
|
2 |
fn(r) COS п%. |
(3,2,5) |
||
|
|
|
|
|
|
п=0, 1. 2, |
|
|
|
|
|
Подставляя |
(3, 2, 5) в (3, 2, 4), получим |
|
|
|
|||||||
|
2 |
[vl^nfn cos n0 + aD„fncos (я + |
2) 0 + аЬл/л cos (л — 2) 0] = |
0, (3,2,6) |
|||||||
|
~ |
1 |
/ а—Ь\ |
2 |
|
И |
|
|
|
|
|
ГД6 |
“ “ |
т С а + Г ) ’ |
|
|
|
|
|
|
|||
дифференци |
|
|
|
|
|||||||
Dn — обыкновенные |
|
|
|
|
|||||||
альные операторы, не зависящие от |
|
|
|
|
|||||||
0. |
Аргументы |
у косинусов |
в |
урав |
|
|
|
|
|||
нении (3,2,6) различны для каждо |
|
|
|
у |
|||||||
го члена. |
представления |
|
‘ |
|
|
|
|||||
|
Цель |
функции |
|
|
|
|
|||||
Ф в виде ряда состоит в разделении |
|
|
|
|
|||||||
переменных. |
Это можно |
сделать, |
|
|
|
|
|||||
если расписать подробно (3,2,6) и |
|
|
|
|
|||||||
сгруппировать |
члены |
с одинаковы |
|
|
|
|
|||||
ми |
аргументами у косинусов. |
По |
|
|
|
|
|||||
скольку уравнение (3,2,6) |
должно |
|
|
|
|
||||||
выполняться при всех значениях 0, |
|
обращаться в нуль. Исключив |
|||||||||
коэффициенты при всех cos0 должны |
|||||||||||
таким образом 0 из рассмотрения, приходим |
к бесконечной |
системе |
|||||||||
обыкновенных дифференциальных уравнений: |
|
|
|||||||||
где |
|
|
|
ГпЯЛп “Ь я(Дх_2/Л_2 + |
Dn+2fn+2) = 0» |
(3,2,7) |
|||||
|
|
|
|
|
d 2 |
|
|
d |
п* |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
d l 2 ■+ 1 |
|
d l ' |
I 2 9 |
|
|
|
|
|
|
|
<Р |
2п — |
3 |
|
п ( п — 2 ) |
|
|
d l 2 |
i |
i |
£ = i 2 сг, с2 =
Уравнение (3, 2, 7) будет справедливо для каждого /г, если положить, что f~ \ = f \ и f - 2 = 0. Эти уравнения связаны константой а, которая изме няется от 0 (для сферы) до 0,5 (для цилиндра) и стремится к бесконеч ности для гиперболического параболоида (а = —Ь). Поскольку рас сматривается только эллиптический параболоид, то изменение этой вели чины ограничиваем в пределах 0 ^ а ^ 1/2. Далее, система может быть разбита на две подсистемы соответственно для четных и нечетных п, что соответствует разделению на симметричную и несимметричную части относительно линии, проходящей через точки 0= + я/2. Наконец заметим, 'Что для сферического купола (а = 0) все уравнения перестают быть свя занными и для него легко получаются известные решения [45, 46]
/о = Л + АЛ (Б) + Со in Б + ЦУо (Б). |
|
|
(3,2,8) |
h = |
+ B J n а ) + С Л ~ п + D aY „ (&) |
для л=4, 2, 3 и а = Ь.
Перейдем к решению бесконечной системы дифференциальных урав нений (3, 2, 7).
Основная цель здесь — исследование сингулярных решений диффе ренциальных уравнений, в частности, таких особенностей, которые могут быть интерпретированы как сосредоточенная нормальная сила в вершине оболочки. В случае сферической оболочки нормальной силе соответствует гармоника /1 = 0 в уравнении (3, 2, 8), т. е. интерес представляют члены
Colng и D0Yo(t). Таким образом, здесь ставится задача получить такие решения, которые стремятся к нулевой гармонике для сферической обо лочки, когда а = 0. Для этого введем следующие ограничения.
а. Будем отбрасывать регулярные решения (полагать А = В = 0 в (3, 2, 8)). Это возможно, поскольку рассматриваются пологие оболочки, у которых на внешней границе возникает безмоментное напряженное состояние, если в вершине приложена сосредоточенная нагрузка.
б. Будем отбрасывать сингулярные решения, которые при а = 0 сво
дятся к решениями |
1. |
в. Будем рассматривать только четные значения /г, так как уравне |
|
ния (3, 2, 8) |
могут быть разделены на две системы для четных и нечет |
||
ных п. |
|
|
|
Представим /п(£) в виде ряда |
|
|
|
|
/« = £ /« .* |
|
(3,2,9) |
|
m |
|
|
Подставляя |
(3, 2, 9) в (3, 2, 7), имеем |
бесконечную систему уравнений |
|
у2с§о/оо ~i~ aVo<®o/oi Jr Д2у0^ 0/02 ~Ь #3yoc®0/o3 |
“b ^ 2/20 + |
||
|
+ cPD^f21 + |
—0> |
|
V2Q®2/го + |
aV2<®o/2i + |
^2V2t®2/22 + Д3у2<®2/2з + |
4“ fl2D0/00 + |
|
|||
+ a22D0f01 + |
+ |
CLDJ40 |
a2D J^ + |
d3D4fA2+ |
• • • — 0, |
|
|
у 4(®4/ 40 + |
ау4с^4/41 -|- |
+ ^ |
2/ 20+ |
+ аА/во 4" • • • |
(3,2,10) |
||
Так как уравнения (3, 2, 10) должны выполняться при всех значениях а, коэффициенты при каждой степени а равны нулю. Главные члены в раз ложении f n будут определены уравнениями
УлО^л/лО ~ |
(3,2,11) |
В соответствии с допущением (6) будем полагать равными нулю все про
извольные постоянные Ап, ..., Dn для п > 0. Это допущение может быть записано так:
/20 —/40 —/во = |
= 0. |
(3,2,12) |
Остальные функции f m n будут определяться бесконечной системой неод нородных дифференциальных уравнений
V n^nfnm = |
— А х - 2 /(л - 2 ), (m—1) — А х + 2 /(л + 2 ), (m -1), |
(3,2,13) |
|
n = |
0, 2, 4, |
m = 1,2,3 |
|
Однородные уравнения, соответствующие этим уравнениям, |
совпадают |
||
с (3, 2, 11), следовательно, нужно искать только частные решения систе мы (3, 2, 13). Как видно из (3, 2, 12), многие из них равны нулю, а имен
но fnk = 0, если |
— или |
|
* = - £ - + 2 / 4 - 1 (/ = 0 , 1 , 2 . . . ) . |
Если отбросить в системе (3, 2, 13) все нулевые решения, то с учетом (3, 2, 11) при п = 0 она запишется в виде следующей системы:
Vo^o/oo = 3, |
|
||
У2С^2/21= |
2D0/00, |
(3,2,14) |
|
2 |
|
|
|
У0е®0/02 — |
А/ги |
|
|
|
42 = |
А / 21» |
|
У2^2/23 = |
2Z)0/ 02 |
^4/42* |
|
Частные решения уравнений |
(3, 2, |
13) могут быть получены с помощью |
|
рекуррентных соотношений |
|
|
|
А х —2 [ К л - 2 |
(£ )] = |
— УлАх |
Y п+1 (£ )J . |
Если известны различные f nm, то, учитывая (3, 2, 5) — (3, 2, 9), можно получить одно выражение для Ф (/п, 5, 0, £), развернутая запись которо го здесь не приводится ввиду его громоздкости.
Чтобы использовать решение для Ф при определении усилий в обо лочке, надо выписать подробные выражения для усилий. Вначале выпи
сываются выражения для ср и для чего в соответствии с (3, 2, 3) выде ляются в выражении для Ф действительная и мнимая части. Если_предг
ставить входящие в выражение для Ф произвольные константы С0 и D0 в виде
С0 = Со — fCo, DQ= Do — iDo,
то функции ср и w будут зависеть от четырех независимых произвольных
констант: Со, Со, D'o, D0. Бесселевы функции Уп(£) будут представлены через функции Томсона [7] ke?rn(p) и kein(p), поскольку g=x1/ip. Устано вим связь между сосредоточенной нагрузкой и усилиями. Для этого
определим константы Со, С0, D0 и D0 с помощью четырех граничных условий:
1) прогиб w остается конечным при р->0, где р= сг;
2) П ш - ^ - = 0;
р-»о др
3)окружная деформация ев остается конечной при р-Ю;
ee= ^ - ( N e - v N r);
4) |
равновесие усилий, |
параллельных вертикальной оси, при |
г = const |
2п |
|
|
Nresin P -f Qrcos ф) ds, |
|
|
Р = — j (Nrsin ф + |
|
|
о |
|
где (рис. 3.4)
tg ф = |
a |
( cos2 0 H— — sin2 0 ^, |
|||
|
dr |
\ |
ь |
J |
|
tg($ = |
— . |
|
( —---- Л sin 0cos 0, |
||
6 K |
r d 0 |
|
a \ b |
) |
|
ds = |
|
|
— 1) sin226 |
|
|
Используя эти граничные условия, имеем |
|
|
|||
Со = Со = -Do —О, |
D0 = — |
гаР |
(3,2,15> |
||
|
|||||
На рис. 3.5—3.10 представлены числовые результаты для усилий. Усилия даны в полярной системе координат, т. е. они нормальны и касательны к окружности на поверхности оболочки (с центром в точке при ложения нагрузки). Следовательно, для цилиндрической поверхности (£ = 72) усилие Nr соответствует осевому усилию при 6= 0 и окружному усилию при 0= я/2. Как видно из рис. 3.4—3.9, в непосредственной окрестности точки приложения нагрузки (р<0,1) усилия при любом а практически те же, что и в случае сферической оболочки, но с увеличе нием р начинает сказываться влияние формы. Уравнение 0= 0 определяет
Рис. 3.6
Рис. 3.10
линию минимальной кривизны, а 0= я/2 — линию максимальной кривиз ны. Увеличение ^параметра а приводит к увеличению области значитель ных напряжений. При вычислении Мг и Мв принималось v= 0,3. Прогиб (рис. 3.10) сильно зависит от геометрии, особенно в начале координат. Заметим, что к величине прогиба* была добавлена константа, вследствие чего перемещение на бесконечности равно нулю.
Рассмотрим случай, когда нагрузка распределена на площадке ко нечных размеров. Полагаем, что нагрузка приложена посредством жест кого кругового цилиндра радиуса р0, причем оси цилиндра и оболочки совпадают. Граничные условия имеют вид
1 (a) w = 0 при р = р0;
2 (а) ~ г ~ 0 при р = р0;
3 (а) е9 = 0 при р = р0;
2я
4 (а) Р = — j (Nr sin ф -f NrQsin p -f Qrcos ф) ds, r = const.
о
Условие 4 (а) тождественно условию, использованному в случае сосредоточенной нагрузки, и оно приводит к результатам, совпадающим с полученными ранее. Константы даны в (3, 2, 15).
Выражение 2 (а) для наклона примет вид
—- =. Соф! + С0ф2 + А)ф3 + Д)ф4,
где
Ф* = Фп(р, 0>а)-
Из-за зависимости фп от 0 для (1а—За) здесь не получаются простые алгебраические уравнения для Со, Со, D0, поэтому при произвольных 0 эту систему нельзя решить.
Необходимо вернуться к уравнениям (3, 2, 10) и исследовать реше ния, для которых fno= 0, п= 2, 4, 6 ..., как было сделано выше. Число вые результаты показывают, что решение достаточно хорошо сходится во всем интервале 0 ^ а ^ 0 ,5 и 0<р-<10. В случае сосредоточенной на грузки отклонение формы оболочки от осевой симметрии (мерой кото рого является параметр а) приводит к увеличению области значительных напряжений и сильному прогибу в начале координат. При изменении формы от сферической до цилиндрической загруженная область возра стает, так что в случае цилиндра прогибы уже не могут рассматриваться как локализованные, и следует учитывать влияние конечных границ.
Следует отметить повышенный интерес к исследованиям действия локальных нагрузок на оболочки, поскольку такие задачи возникают при расчете на прочность ракет, авиационных реактивных двигателей и дру
гих конструкций.
Важность задач и разнообразные случаи практических расчетов кон струкций на воздействие локальных нагрузок требуют от специалиста знания и других эффективных методов расчета. Рассмотрим поэтому еще один метод решения таких задач, связанный с представлением сосредо точенного воздействия с помощью 6-функции Дирака.
2. Дельта-функция
Сосредоточенной силой, приложенной в точке х = Х о , называют пре дел последовательности распределенных нагрузок qj, удовлетворяющих
следующим требованиям: |
|а |.< Л 1, |
величины |
|||
1) |
каково бы ни было М > 0 , при |
||||
|
|
ь |
|
|
|
|
|
| J qj (х — x 0) d x \ |
|
||
ограничены постоянной, не зависящей от а, Ь, / (зависящей от М ) ; |
|||||
2 ) при любых а |
и Ь, отличных от нуля, |
|
|
||
|
|
ь |
1, |
|
|
|
lim I |
I |
a < x 0 < b , |
||
|
q A x —x 0) d x |
|
*0< а , |
|
|
|
/-*® J |
i |
a, |
x 0 > b . |
|
|
a |
|
|
|
|
Предел |
функций q j ( x —Xo), обладающих |
такими |
свойствами, в теории |
||
обобщенных функций называется 6 -функцией.
Дельта-функция является сингулярной, она равна нулю всюду, за исключением точки дг0, где ее значение настолько велико, что справед ливо равенство
| |
6 (х —x 0) d x = |
1. |
|
|
|||
Из требований 1) и 2) вытекают следующие |
«фильтрующие» свойства |
||||||
6 -функции и ее производных: |
|
|
|
|
|
|
|
ъ |
|
|
|
|
|
|
|
J f ( x ) b ( x —x 0) d x |
= |
f ( x Q), |
а О 0О , |
|
|||
j f (*) 6 <n>(x — x 0) d x = (— |
l )«/('•) (x0), |
a O 0 < |
b. |
||||
f (x) 6 (x |
XQ) — f (x0) 6 (x —x 0). |
(3,2,16) |
|||||
|
|||||||
С дельта-функцией тесно связаны |
единичнаяфункция |
Хевисайда |
|||||
|
( |
|
0, |
* < 0 , |
|
|
|
е ( * ) = |
V., |
* = |
0, |
|
|
||
и функция знака |
{ |
|
1, |
х > 0 |
|
|
|
j |
|
|
|
0, |
|
|
|
|
|
I у |
х |
|
|
||
s g n x |
= |
|
0, |
х = |
0, |
|
|
|
|
- |
1, |
* < 0 . |
|
|
|
Например, производные от функции. |лг| равны
d | х | |
|
сР , , |
d |
|
- г - |
=sgnx, —— l x |
= —-sgn* = |
|
|
dx |
|
dx2 |
dx |
|
|
— |
[2e (x) — 1 ] = 26 (x). |
(3,2,17) |
|
dx