книги / Оболочки и пластины

После несложных преобразований уравнения Ритца примут вид

Внося значение |i из второго уравнения в первое, получим соотно­ шение, связывающее нагрузки Р* и q* с прогибом |г-

Полагая в этом уравнении g2 = 0 и q* = 0, получим формулу

связывающую параметр сжимающей нагрузки и длину полуволны г), которая может быть получена как решение линейной задачи о сжатии цилиндрической оболочки вдоль образующей, в допущении, что изогну­ тая поверхность не является осесимметричной *. Параметр р характе­ ризует очертания вмятины. Из условия

Величину критического значения параметра Р* можно определить следующим образом. Выбирая некоторые значения р и т), соответствую­ щие определенному виду волнообразования, и задавая различные зна­ чения £2 в уравнении (3,9,19), строим кривую Р*(£2). Наименьшая орди­ ната этой кривой определяет нижнее критическое значение нагрузки для выбранной формы волнообразования. П. Г Бурдиным построено [92] четырнадцать таких кривых для р, изменяющихся в интервале 0 ,3 ^р ^2 ,4 , v= 0,32, и установлено наименьшее значение нижней кри­ тической нагрузки среди обследованных форм волнообразования. Эта нагрузка соответствует параметрам р= 0,6, т] = 0,19 и равна

Решая задачу об осевом сжатии цилиндрической оболочки во вто­ ром приближении, следует рассмотреть систему трех уравнений (3,9,14) — (3,9,16) или двух (3,9,19) и (3,9,16). Для определения кри­ тической нагрузки здесь следует строить две кривые Р*(£2) для урав­ нений (3,9,16) и (3,9,19). Точка пересечения этих кривых определяет нижнюю критическую нагрузку для выбранной формы волнообразова­ ния, т. е. для выбранных значений параметров т| и р. Строя такие кри­ вые для различных комбинаций р и т] и проводя общую огибающую, найдем минимальное значение параметра Рн*, соответствующее рн= 0,48, т]н = 0,4, gi = 3,45, £2=1,9. Минимальное значение нижней критической нагрузки ^ n v = 0,32) равно

что составляет около 30% от значения Рв, данного (3,9,18). Уточненное решение (во втором 'приближении) дает значение нижней критической, нагрузки на 15% большее, чем решение в первом приближении. ч

Используя формулу (3,9,8) для работы осевой нагрузки на пере­ мещениях (вдоль образующей), можно найти зависимость параметра

Зависимость относительного укорочения оболочки от параметра на­ грузки Р* дана на рис. (3.17). Кривая рис. 3.17 указывает на то, что каждой определенной форме волнообразования, характеризуемой пара­ метрами р и т], соответствует определенное минимальное значение пара­ метра нагрузки. Этим в значительной степени объясняется разброс экспериментальных данных для критических нагрузок, так как вероят-

что согласуется с решением линейной задачи, данной в [97, 98]. В последней работе приводятся экспериментальные данные и их сравнение с различными решениями этой задачи.

При v= 0,32 имеем формулу Папковича

Определение нижних критических нагрузок аналогично предыдущему. Другие случаи нагружения цилиндрической оболочки подробно изло­ жены в монографии [95].

§10. МЕТОД ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНЫХ ПРИБЛИЖЕНИЙ

ИМЕТОД ВОЗМУЩЕНИЙ

Метод возмущений, или метод малого параметра, можно рассматри­ вать как некоторую модификацию метода последовательных приближе­ ний, при применении которого для вычисления м-го приближения пре­ небрегают членами, имеющими порядок выше /г-го. Следуя Свирскому [103], изложим варианты метода последовательных приближений

иметода малого параметра.

1.Пусть формула Вх = Р символизирует совокупность системы диф­

приближения примем решение уравнения Axi = P. Погрешность реше­

определим поправку 62 к первому, приближению из уравнения Дбг = Д2 и в качестве второго приближения к истинному решению принимается д:2= х 1+ б2. Аналогично определяется неуравновешенность второго при­ ближения, новая поправка к решению и т. д.

2.Пусть дана система уравнений

Ах+Сх=рР,

и определим х\ (например, прогиб) в первом приближении из уравнения

{pi) = рхР.

Далее внесем полученное решение в уравнения

Л62(рх) = р2Р — Ахх (рх) — CxiipJ

Число р2 определяется из условия равенства прогибов центра оболочки в первом и втором приближениях. Неуравновешенность — неравенство левой и правой частей уравнений — устраняется при этом путем изме­ нения приближенной формы прогиба и величины нагрузки, которая подбирается так, чтобы «неуравновешенность» как можно меньше ска­ зывалась на прогибе оболочки. Таким образом, в качестве второго при­ ближения к истинной зависимости между перемещением оболочки и ее нагрузкой следует принять ее параметрическое представление

*~*2(pi); p = p 2(Pi)

через параметр р1. Для определения следующих поправок к параметри­ ческому представлению искомой зависимости решаем систему уравнений

Лб2(Pi) = РзР — Ах2 (рх) — Сх2(Pi)

и полагаем A'3(pj) =j^2(Pi) + 62(^1), причем число р3 определяем из уеловия равенства поперечных прогибов центра оболочки для решений

предварительно дадим некоторые общие соображения. Пусть Bw = P — нелинейное уравнение, связывающее между собой нагрузку и прогиб оболочки. Увеличив давление на бесконечно малую величину бР, полу­ чим изменение прогиба, определяемого из уравнения

а через <pi, <рг, ... — собственные функции оператора В'(до), т. е. функции, удовлетворяющие уравнениям

причем предполагаем, что эти функции образуют полную систему, нор­ мированы и ортогональны, т. е.

где коэффициенты dci определяются непосредственно, если умножить скалярно уравнение на ф* и воспользоваться условием ортогональности

Сравнивая коэффициенты при одинаковых собственных функциях обеих частей последнего уравнения, имеем

Внося это в выражение для бш, получим

оо

Рассматривая это выражение и считая, что <р< ограничены по сово­ купности, замечаем, что наибольшее влияние на изменение прогиба бw имеет величина d c u которая делится на наименьший по абсолютной величине делитель Кг. Заметим, что для многих задач теории пластин и оболочек величины Кг быстро возрастают по абсолютной величине при увеличении их номера, поэтому часто можно ограничиться только пер­ вым членом, полагая приближенно

например, при решении задачи о прогибах свободно опертой пластины под действием равномерно распределенной нагрузки методом Навье двойных тригонометрических рядов первый член ряда дает значение прогиба центра пластины с погрешностью, не превышающей 2,6%.

И. В. Свирский {103] предлагает при каждом шаге приближений параметр нагрузки р изменять так, чтобы не изменялась та обобщенная компонента перемещений оболочки

х = (Фх> w n) = (Фх. йУ/t+x). которой соответствует наименьшая «жесткость» оболочки

у (ЬР, бР / V{bw, баг),

ибо^можно ожидать, что изменения других обобщенных компонент ока­ жутся с^ми по себе малыми в силу больших значений соответствующих жесткостей |Я г |, |Я з |, Следует заметить, что практическое приме­ нение этого метода последовательных приближений может оказаться затруднительным из-за того, что функции фг- в 'большинстве случаев неиз­ вестны. Следует также учесть, что фг изменяются при изменении про­ гиба пластины, ибо при этом изменяется оператор B'(w). Указанное затруднение можно во многих случаях устранить, если учесть, что для многих задач о прогибах пластин и оболочек наименьшее по абсолют­ ной величине собственное значение имеет абсолютную величину, в не­ сколько раз меньшую, чем остальные собственные значения; особенно

—— фх является достаточно точным и при применении формулы Alх

х = (ф1? wn) = (ф1э wn+1) вместо ф! можно подставить функцию^ —— дсх

и корректировать параметр нагрузки р при каждом шаге последова­ тельных приближений так, чтобы для двух последовательных прибли­ жений оказались одинаковыми величины

Этот метод отличается от второго тем, что при его применении на каж­ дом этапе величина р корректируется так, чтобы в двух последователь­ ных приближениях оставались одинаковыми не поперечные прогибы центра оболочки, а «обобщенные перемещения»:

вить вместо величины dwn/dp1 величины dw\/dp\. При этом сходимость может ухудшиться, но вычисления упрощаются. Особенностью этого метода является требование, чтобы скалярное произведение (wn, ф),

Отсюда следует, что при п > 0 (хп, Хо) = 0. Итак, если определены

х0, .... -*n-i и ро, ..., Рп-1, то следующие коэффициенты хп и рп опреде­ ляются путем решения системы уравнений

Ахп + уп{хо ...дгл_ 1) = рпР,

(хп, х0) = 0.

Если применять вариант метода возмущений, соответствующий второму варианту метода последовательных приближений, то последнее уравнение заменяется условием равенства нулю функций хп в некото­ рой, подходящим образом выбранной точке.

5. Рассмотрим на примере гибкой панели сферы радиуса R метод малого параметра. Запишем уравнения (2,15,25) для гибкой пологой сферической оболочки в виде