книги / Оболочки и пластины
..pdfV2V2w = V 2V 2^m ,n |
mnx |
_rmy_ = |
S lf l --- - Sin |
b |
|
|
a |
|
/ ma . n2 \2, |
mjix |
. nny |
Разложим теперь правую часть уравнения в ряд Фурье
q (*.»/)___ |
00 |
со |
. |
т я х |
. ш |
|
|
|
|||||
D |
=i£m = £1 л=1 |
flm’n sin------ sin — — |
||||
Учитывая (3, 1, 17) и (3, 1, 18), можно записать |
|
|||||
|
|
°° |
” |
|
/иях |
ля* |
w (х, у) = |
V V amn s in --------а |
sin —;— |
||||
|
|
4 *4 |
* |
|
|
|
где
(3,1,18)
(3,1,19>
(3,1,20)
атП= |
j j* ?(£, *l) sin |
sin ZjjL йЫч |
(3,1,21) |
Ряд для w и соответствующие ряды для |
и d^w сходятся. |
|
|
2. Пластина под действием сосредоточенной силы
Рассмотрим случай изгиба пластины под действием сосредоточенной силы Р, приложенной в точке х = 1, г/=пчТакую силу можно рассматри
вать как предел равномерной нагрузки с |
интенсивностью — , при |
||||||||
ложенной |
в области |
(|, | + б; т] + 6, т)) |
при 6-»-0. Найдем |
коэффициент |
|||||
ат, п при 6->0. Пользуясь теоремой о среднем, имеем |
|
|
|||||||
|
|
|
|
6+в ч+б |
|
|
|
|
|
|
|
« * . - + |
■ f I - а |
* |
^ 4 x 4 , = |
|
|
||
|
|
|
ab |
,1 J 6a |
a |
b |
|
|
|
J L |
A s i n - ^ i |
(l + |
6) sin -2L (n + |
06) 6^ -> -g - sin |
Sin |
ПКУ] |
|||
b |
|||||||||
ab |
62 |
a |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
(3,1,22) |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Следовательно, под действием сосредоточенной силы Р в точке (£, л)
прогиб пластины в точке (х, у) |
согласно |
(3, 1, 20) имеет вид сходяще |
|||
гося ряда |
|
|
|
|
. ПЛГ) |
CD |
со |
тих |
ппу |
тл £ |
|
|
4 Р |
sin ------ sin —;— |
sin |
sin |
|
w(x, у) = |
а |
b |
a |
— . (3,1,23) |
|
Dn*ab |
|
m-2 |
n6 |
||
|
|
|
|||
"T“+ ‘ b2
Подставляя (3, 1, 22) в решение w(x, у ), запишем его в виде
|
а Ь |
00 |
00 |
|
|
тпх |
ппу |
/ш£ |
ляп |
|
|
-s_Y V |
|
sin ------- sin —-— sin --------sin —-— |
|||||||
W (х, у ) = |
|
/ |
ma |
n2 \ 2 |
X |
|||||
Dn2ab |
/ |
j |
t |
|||||||
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
||||||
|
о о |
n = l |
n — \ |
|
|
[ a2 + b2 ) |
|
|||
|
|
|
X q ( l , |
|
г\)й Ы ц . |
|
|
(3,1,24) |
||
Если ввести обозначение
-L-V V
Dn*ab / |
, / |
, |
m —1 |
n — l |
|
TO
mnx |
|
nny |
mill, |
п щ |
|
|
s in -------sin —-— |
sin ---------sin —:— |
|
||||
a |
|
b |
|
a |
b |
= G(x, y, l, I]), |
|
( |
m2 |
n2 |
\2 |
|
|
|
|
|
||||
|
( |
v + |
i r |
) |
|
(3.1.25) |
|
|
|
|
|
|
|
a |
b |
|
|
|
|
|
= ^ |
J G (x, y, 6, ii) q (t|, i) dld.^. |
(3.1.26) |
||||
0 |
0 |
|
|
|
|
|
Функция G(x, у, l, г]) называется функцией Грина для данной задачи [4]. С помощью этой функции может быть получено решение уравнения (3, 1, 1) для любой нагрузки q (х, у). По физическому смыслу функция
Грина есть прогиб для |
случая, когда р = 1, приложенная в точке (g, т]). |
Это легко видеть из (3, |
1, 23). Заметим, что метод двойных тригономет |
рических рядов требует большого количества вычислений для получения окончательного результата.
3. Пластина на упругом основании
Принимая, что приходящаяся на единицу площади реакция упру гого основания пропорциональна в каждой точке прогибу пластины в этой точке и не зависит от прогибов пластины в смежных точках, диффе ренциальное уравнение изгиба пластины, лежащей на сплошном упругом основании, получим из (3, 1, 1), добавляя к правой части слагаемое kw, учитывающее интенсивность реакции упругого основания [3,3; 3,5; 3,6], имеем
V V » = -5- — |
(3,1,27) |
где k — жесткость основания или «коэффициент постели». |
представить в |
Общее решение этого линейного уравнения можно |
виде суммы частного решения и общего интеграла однородного уравне ния
У2У2Ш+ о, = о, (3,1,28)
которое после введения обозначения
— = — р4
D к
перепишем в виде |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
(V2 + |
Р2) (V2 — Р2) W= |
0. |
|
|
|
|
|
(3,1,30) |
|||||||||
Общий |
интеграл |
этого уравнения |
|
(а |
следовательно, |
и |
уравнения |
||||||||||||||||
3, 1, 28)) |
можно искать в виде суммы общих интегралов уравнений |
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
V2ar+ Р2иу= 0, |
|
|
|
|
|
|
|
(3,1,31) |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
у2до — Р2w = 0, |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
где р — комплексная величина, определяемая уравнением |
(3, |
1, 29). |
|||||||||||||||||||||
Рассмотрим задачу об изгибе круглой пластины, которую удобно |
|||||||||||||||||||||||
решать в полярных координатах x= r cos0, i/= r sin 0. Так как |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
dw |
|
dw |
drdr |
. , dwdw |
|
|
30 |
|
|
__ dwQ |
dw |
|
sin 0 |
dw |
|
|
|
||||
|
|
dx |
|
dr |
dx |
|
30 |
|
----= COS0----- |
|
|
|
30 |
’ |
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
' |
dx |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
= |
CO S |
|
0 J - |
( — |
|
) - |
|
|
r |
J - |
(*L ), |
|
|
|
|
||||
|
|
|
dx2 |
N |
dr |
\ |
dx |
|
) |
|
|
d0 |
\ |
dx |
) |
|
|
|
|
||||
то, как нетрудно убедиться, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
d2w |
+ — |
|
dw |
'r 2 |
|
d^w |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
dr2 |
|
|
r |
|
d r |
|
|
dQ2 |
|
|
|
|
|
|||
а основное уравнение изгиба пластин (3, 1, 1) примет вид |
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
J _ |
d |
f |
d |
|
Г |
|
1 |
|
|
d |
|
( |
|
*q («r )Л Т 1 |
|
|
(3,1,32) |
||
|
|
|
|
r |
d r |
\ |
d r |
|
Lr |
|
d r \ |
|
d r ) J J |
D |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
При этом изгибающие моменты М, перерезывающие силы N, скручиваю |
|||||||||||||||||||||||
щие моменты Н и реакции г на кромке будут |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
М, |
— й |
\ |
d2w —Ь v (f 1 |
dw |
|
+ |
— |
|
|
d2w |
\ " |
|
. N r = |
— |
D - a |
y 2w , |
|||||||
|
|
|
1. |
w |
|
|
V г |
~ d i |
|
|
га |
|
дв2 |
) m |
|
|
|
|
dr |
|
|||
Mfl |
— |
D |
i |
dw |
, |
1 |
d2w |
- + |
V |
|
f * ) i , |
|
|
Ne = - |
D — |
d |
- V 2ay, |
||||||
[- |
-------- г |
г 2 |
|
|
|
|
|
аэ |
|||||||||||||||
|
|
|
L г |
дг |
|
302 |
|
|
|
dr4 |
/J |
|
|
|
|
|
r |
|
|||||
|
|
|
Ну.= |
Не-= я |
== |
— |
|
D( 1 - |
|
|
|
|
f |
1 |
dw |
|
|
|
(3 ,1 ,3 3 ) |
||||
|
|
|
|
- v ) i r 1C r~ ’ |
|
) • |
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
»т |
I |
1 |
dH |
|
|
n |
|
|
|
(v2^) + (1 — v)— |
|
|
|
|
|
||||||||
' r = N r + T |
. - |
= - D |
dr |
|
|
|
(T |
- 5 - )] - |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
r |
|
|
|||||
|
= NQ-\— ~— — — D |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
J _ |
dw \1 |
||||||||
|
|
|
|
dr |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
. |
г ‘ |
30 |
) \ ‘ |
Этими формулами в полярных координатах дается связь между состав ляющими внутренних сил, действующих в различных сечениях пластины
и ее перемещением w.
Возвращаясь к уравнениям (3, 1,31) задачи о пластине на упругом основании, будем искать ее решение для круглой пластины в форме ряда
Чтобы каждый член ряда (3, 1, 34) удовлетворял уравнению (3, 1, 30), достаточно принять за функции wn (r) и Wn (r) две разные суммы общих интегралов уравнений
Решения уравнений такого типа называются цилиндрическими функ циями [27]. Общее решение этих уравнений записывается соответственно в виде
Ф = Zm(pr), cp' = z m(ipr),
где i — мнимая единица, Zm— цилиндрическая функция порядка т.
|
Р |
*=Vi v~- |
|
|
|
|
|
|
|
|
У |
k |
|
|
то, обозначая х = г 1 / |
— . |
|
|
|
можно |
считать, что wn (г) и Wn(г) выражаются через |
цилиндрические |
||
функции порядка п от комплексных аргументов У i х |
и x Y — |
По |
||
этому |
функции Zm( x Y i ) и Zm( x Y — 0 комплексно-сопряженные |
функ |
||
ции. Известно [4], что каждую из цилиндрических функций можно пред ставить в виде суммы двух функций
z n = v |
; + AHl!\ |
где /„ — функции Бесселя й Я« |
— функции Ханкеля первого рода по- |
рядка л, А х и А2— постоянные. Принимая это во внимание, составляю щие решения запишем в виде
Wn (г) = Сх Re /„ (х Vi) + |
С2 Irn Ik (x УТ) + C3Re ЯГ (x ]/T) + C4Iт Я ^ (x VI) , |
Wn(r) = |
Ci Re /„ ( x V — i) + Ci Im /„ (J: Vi) -j- |
+ C3 Re Я<,1) (xVi) + Ci Im In (x V i ) ,
где С{ и Ci —_константы. Входящие сюда значения специальных функций
Бесселя Ik(Y ix) и Х а н к е л я ( | А ‘х) |
определяются по таблицам, кото |
рые для функций порядка 0 и 1 имеются в [7]. |
|
Практически приведенное решение можно использовать только в слу |
|
чае деформирования, симметричного |
относительно центра пластины. |
В этом случае решение запишется через табулированные функции /0> Н{п] и будет иметь вид
W = С, Re /0 (XVI) + С2 Im /0 (хУГ) + С3 Re Н{0'] (хУГ) + С4 Im Н{01) (хУГ).
(3,1,35)
Частным случаем приведенной задачи является изгиб безграничной пла стины, загруженной сосредоточенной силой [3]. Пусть сила
q(r, 0) =Р = const приложена в точке г= 0. Так как деформации симмет ричны относительно точки г= 0, то решение ищем в форме (3, 1, 35). Кон
станты Ci определяем из условия, что w и |
стремятся к нулю при |
|
дг |
г-+оо. Получим С[ = С2 = 0. Кроме того, из симметрии деформаций имеем
dw г,
—— = 0 при г —0,
dr
что дает С4 = 0.
Следовательно, в рассматриваемом случае
w = C3Re Но](хУ1),
где константу С3 можно определить из условия равенства нагрузки Р и реакции основания, взятой по всей неограниченной его поверхности, т. е.
00 |
2 я |
|
|
|
Р = j'dr | |
kwrdQ |
С32я YDk J х Re Яо’ (х Y *)dx. |
||
о |
о |
|
о |
|
СО |
|
|
|
|
А так как Г л- Re Н{0[)(x Y i ) d x = — , то Р = |
4С3 YDk. |
|||
J |
|
|
Л |
|
О |
|
|
|
|
Следовательно, решение (данное Герцем (5]) будет |
||||
" = |
7 m |
ReHS' (xVr>- x - |
r V r т |
|
Существуют и другие приближенные методы решения задач о про гибах пластин, лежащих на упругом и других основаниях. Среди них до статочно общим является метод компенсирующих нагрузок, предложен ный Б. Г Кореневым [8].
4. Безмоментное состояние оболочки отрицательной гауссовой кривизны
Рассмотрим безмоментное напряженное состояние однополостного гиперболоида вращения под действием симметричной и ветровой нагруз ки (9]. Ветровая нагрузка обычно аппроксимируется первыми двумя чле нами тригонометрического ряда в кольцевом направлении. Отсутствие тангенциальных перемещений по нижнему краю обеспечивает неизменяе
мость всей системы.
Поверхность гиперболоида (рис. 3.1) образуется вращением вокруг оси Ог кривой
r = - i - / 6 2 + 2 2 |
(3,1,36) |
Ь |
|
где а и Ъ— параметры гиперболы.
Уравнения равновесия для произвольной безмоментной оболочки вращения записываются в форме
A w |
+ i i r s ) + r 's = - Ar^ |
|
‘ N l + N, = - A r P l, |
|
А* |
где JVь N2, S — искомые компоненты безмоментного напряженного со |
|
стояния оболочки; Р^, Рц, |
Pi — заданные компоненты вектора поверх |
ностной нагрузки; А — коэффициент первой квадратичной формы поверх
ности. |
1 |
|
2 |
Для оболочек вращения А = (1 + г ') 2 Положительные направле |
|
ния усилий УУЬ N2, S |
и компоненты нагрузки Pg, Рц, Pi показаны на |
рис. 3.1. |
|
Исключая N2 из уравнений (3, 1, 37), получим систему двух уравне
ний |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i r W |
- ^ |
+ O + ' - V f - |
|
|
|||||
|
= |
- r ( l + |
г'3) 2 Pg + |
rr' (1 + |
r 'V |
Pi, |
|
|
||
^ |
+ |
2r'S + r ^ = |
- r ( |
1 + |
r'*y P , + r (1 + r'*) |
|
. |
|||
(1+Р*) |
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,1,38> |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
Введем новые функции |
U |
a V, |
||||
|
|
|
|
связанные c TVj и 5 выражениями |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
U_ |
(3,1,39). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
г* ’ |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
после чего уравнения (3,1,38) прини |
||||||
|
|
|
|
мают вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ду . |
1 |
ди |
= - г ( Р £+ г 'Р с), |
|||
|
|
|
|
дг + |
г2 |
ар |
||||
|
|
|
|
dU |
|
,, |
дУ |
. , |
|
|
|
|
|
|
------ r f |
------ — |
Аг2 |
|
|
||
|
|
|
|
дг |
|
|
ар |
|
|
)■ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3,1,40> |
|
|
|
|
|
Для симметричной нагрузки, |
при |
|||||
|
|
|
|
которой U= 0, функция V определяет |
||||||
|
|
|
|
ся зависимостью |
|
|
|
|||
|
|
|
|
V(z) = jr(P g + r'Pt)d2. |
(3,1,41> |
|||||
|
|
|
|
|
|
Z |
|
|
|
|
Тангенциальные усилия симметричного напряженного состояния по |
||||||||||
лучаем из (3, 1, 39) и (3, 1, 37) |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
N1 = A ^ |
r (Pt + r'Pi)dz-, |
S = |
0, |
(3,1,42) |
||||
Z
Рассматривая теперь неосесимметричную, но однородную задачу
(Р%=Рт\ = Pi =0) и вводя U и V в форме |
Js. |
|
|
С/ = — г2 |
dtp у = |
(3,1,44) |
|
|
дг |
ар ’ |
|
получим дифференциальное уравнение второго порядка относительно,
функции напряжений |
<р, определяющей напряженное состояние |
любой |
|||||||||
безмоментной оболочки вращения |
|
|
|
|
|
|
|||||
|
г |
08(Р |
г 2 r ' |
_ |
Г" |
^ |
= |
0. |
(3,1,45) |
||
|
|
дг2 |
"** |
|
|
дг |
|
|
д02 |
|
|
Заменим переменную z новой переменной а по формуле |
|
||||||||||
|
а = i In 1f |
—— ; |
da = |
br2 |
■dz. |
(3.1.46) |
|||||
|
|
|
K |
Ы — z |
|
|
|
|
|||
Переменная z связана с а также другими зависимостями |
|
||||||||||
tga = |
г |
sin u = |
.. |
|
|
г |
_ _ _ |
|
& |
(3.1.47) |
|
|
|
ft2 + |
г2 |
|
cos a = |
V ьа + га |
|||||
Заменив переменную, уравнение (3, 1, 45) приводим к виду |
|
||||||||||
|
|
|
с^ф |
_ |
_д^ф_ = 0 |
|
|
(3.1.48) |
|||
|
|
|
да2 |
|
др2 |
|
|
|
|
||
Выражения (3, 1, 39) |
после замены переменной по формуле (3, |
1, 46) и |
|||||||||
функций по формулам (3, 1, 44) принимают вид |
|
|
|||||||||
|
^ i = ; _cosa_^ |
1 +© 2sitia |
дф |
|
|||||||
|
|
|
cos2 a |
дф |
|
|
i |
f ’ |
(3,1,49) |
||
|
s = |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
b |
|
да * |
|
|
|
|
|
где оi = a/b — величина, определяемая геометрическими размерами обо
лочки.
Решение уравнения (3, 1, 40) будем искать в форме одинарного три гонометрического ряда
Ф = £/„(<*) sin np. |
(3,1,50) |
/1 = 1 |
|
После подстановки (3, 1, 50) в (3, 1, 40) и интегрирования обыкно венных уравнений для коэффициентов ряда (3, 1, 50) получим выраже ние
/„ (a) = A sin па + В cos па. (3,1,51)
Компоненты напряженного состояния с учетом (3, 1, 50) и (3, 1, 51) определяются формулами
|
|
оо |
1 |
N ° ( a , Р ) |
= |
V 1 + “ а s i n 2 a |
У ] н ( Л s i n п nа )ac o+ s n Вp c oI s |
|
|
n |
I |
|
|
n = 1 |
(3,1,52) |
|
|
|
|
S°(a , P) = |
_ ^ 2 ! ! ± ^ л (Лсозna — Bstana)sln «Р |
||
Произвольные постоянные А и В могут быть выражены через ком поненты напряженного состояния при_ каком-либо значении a = const.
Обозначим это произвольное значение а. Полагая, что на линии, опреде
ляемой координатой a = a, задано напряженное состояние в форме три гонометрических рядов
|
|
|
tfi(a, |
P) = |
2 > ln(a)cosnP, |
|
|
|
(3,1,53) |
||||||
|
|
|
S (a, |
P) = |
2 |
Sn(a)cos «P> |
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
определяем А и В в выражениях |
(3, 1, 52) |
через |
коэффициенты рядов |
||||||||||||
(3, 1, 53), приравнивая (3, |
1, 52) |
и |
(3, 1, 53) |
при a = a. Подставив най |
|||||||||||
денные значения А и В в |
(3, |
1, 52) |
и проведя некоторые элементарные |
||||||||||||
преобразования, получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
TV? (a, а, Р) = |
S21IL ] / l-fco2sin2a |
X |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
СО |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
2 |
|
со cos п(а—а) |
|
+ S „(a)sinn^ |
“) cosnp, |
(3,1,54) |
||||||||
|
Ны (а)- |
|
|
|
|
||||||||||
|
[ |
cos а( ]/"1 4- ю2 sin2 а |
|
|
|
cos2 а |
|
|
|
||||||
|
|
S° (а, а, Р) = — cos2a ^ |
|
Н1п(а) • |
со sin п (а — а) |
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cosа ]/" 1-f со2 sin2 а |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
— S n (а) |
cos п (а — а) |
Sin П$, |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
cos2 а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
где N {n(a) |
и S n (а)—произвольные функ |
|||||||||
|
|
|
|
|
ции параметра а. |
|
|
|
решение |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Используя |
однородное |
||||||
|
|
|
|
|
|
(3,1,54), построим частное решение, со |
|||||||||
|
|
|
|
|
ответствующее |
нагрузке, |
|
произвольно |
|||||||
|
|
|
|
|
распределенной |
по поверхности |
гипербо |
||||||||
|
|
|
|
|
лоида. |
|
|
|
что напряженное со |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
Предположим, |
|||||||
|
|
|
|
|
стояние (3,1,53) возникает при действии |
||||||||||
|
|
|
|
|
произвольной |
нагрузки, приложенной по |
|||||||||
|
|
|
|
|
полоске,^определяемой координатами а + |
||||||||||
|
|
|
|
|
+ da и а. |
Для |
наглядности |
вернемся к |
|||||||
|
|
|
|
|
прежней системе координат z и р. Полоска, |
||||||||||
|
|
|
|
|
ограниченная сечениями z и z+ dz, пока |
||||||||||
|
|
|
|
|
зана на рис. 3.2. В безмоментных оболоч |
||||||||||
|
|
|
|
|
ках вращения, |
нагруженных по кольце |
|||||||||
|
|
|
|
|
вой линии, напряженное состояние воз |
||||||||||
|
|
|
|
|
никает лишь ниже |
линии |
|
приложения |
|||||||
|
|
|
|
|
нагрузки. |
|
|
|
|
|
|
|
|||
Применяя уравнения (3, 1, 38) |
к рассматриваемой элементарной по |
||||||||||||||
лоске, можно положить равными нулю внутренние усилия и их произ водные по р, после чего получим
= - (1 + Г '2) 2 Р6_ г ' ( 1 + Г '2) 2 Рс,
(3,1,55)
- g - = — (1 + г '2Й Л , + г(1 + г '2) ^ - .
или в системе координат а, р
|
|
_2_ |
|
j_ |
|
= |
------b Л |
1 + Г '2) 2 Pgda - |
4 |
- r 'r * (1 + Г'*) 2 Pgda, |
|
ds = |
-----4 |
2(1 + r '8)2Pr1da + |
4 ' - 2(1 + 'r'* )-4 -d a . |
(3,1,56) |
|
|
a* |
|
a3 |
op |
|
Таким образом, установлена связь между компонентами напряжен ного состояния и нагрузкой, действующей на элементарной полоске da. Можно счетать, что при da, стремящемся к нулю, каждая из величин
Plda, Pi\da, P^da принимает конечное значение, равное интенсивности погонной нагрузки, а тангенциальные усилия получают конечные при ращения.
Введем обозначения для погонных нагрузок
P|da = рь |
Pnda = рц, |
Ptda = |
|
(о, 1,57) |
|||||||
da-» О |
|
_ |
|
|
da = 0. |
|
|||||
|
da—>0 |
|
|
|
|||||||
Тогда можно записать конечные приращения N\ и 5 |
|
|
|||||||||
|
|
|
|
_i_ |
|
|
|
|
|
_i_ |
|
fit = - 4 |
г2 ( ! |
+ |
Г''*) 2 Pi------(1 |
+ |
|
'•'2) 2 PC , |
|
||||
|
|
|
|
, |
|
“ |
|
|
|
|
(3,1,58) |
5 = ----- V л2 |
+ Г'Ъ)~2Рч + |
4 - r2 |
|
dp |
|
||||||
|
a3 |
|
|
|
|
a3 |
|
|
|
|
|
где r — заданная функция a. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Функции |
|
произвольно зависят от а. |
Если |
напряженное |
|||||||
состояние выражено рядами (3, 1, 53), |
то |
коэффициенты |
этих рядов |
||||||||
выражаются через погонные нагрузки так: |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
Яъ, («) = |
— 4 г г2 (1+ г'*) 2 j Pi (“ • Р) |
nPdP — |
|||||||||
|
|
|
|
|
2я |
|
|
|
|
|
|
|
|
rVa(l +г'2) 2 |
J |
(a, |
р) cos npdp, |
(3,1,59) |
|||||
|
|
|
|
|
1 2я |
|
|
|
|
|
|
S„ (а) = |
- |
~ 4 |
г2 С1+ г'*)2 |
f Рч (а, Р) sin npdp + |
|||||||
|
|
яа3 |
|
|
|
J |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2я |
аР£(д, Р) |
|
|
|
|||
|
|
|
|
f |
sin npdp, |
|
|||||
+ |
яа3 |
!(1 +/•'*) j |
|
ар |
|
|
|||||
9 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов
где радиус параллели и его производные следует считать функциями а. Подставляя полученные значения коэффициентов Фурье в (3, 1, 54), получим выражения компонент напряженного состояния, вызванного на
грузкой pt, рл, р£, приложенной при а = а. Так как переменная а в (3, 1,. 54) является произвольной величиной, то эти выражения можно рассмат ривать как линии влияния и, следовательно, получить частные решения для любой распределенной нагрузки, для чего необходимо умножить обе
части (3, 1, 54) на da и проинтегрировать
w |
i |
< |
« |
, |
f |
Гiv ,.:» ) - » " » »(«--«> |
|
|
|
03 |
|
|
f |
- L |
cosav l-dr(o2sin2a |
|
|
+ |
Sn(a) |
sin (a _ |
a> 1 |
da . ^ |
|
|
|
|
|
|
cos2a |
J |
|
+
(3,1,60>
a |
и_81°" (« —а) |
|
S*(a, (J) = - c o s ’ a V \ \ м 1 п ( а ) |
|
|
L |
c o s a l/ 1-ф- со2 sin2 a |
|
Sn(a)cos n (° ~ q) |
da sin яр, |
(3,1,61) |
cos2 a |
|
|
Ni(a) и Sn(a) определены выражениями (3, 1, 59). |
|
|
Полученное частное решение удовлетворяет граничному решению |
||
при a = a |
|
|
N \= S '= 0. |
|
(3,1,62) |
Общее решение задачи получим, просуммировав |
(3, 1, 52) и (3, 1, 60): |
|||
Ni (a, Р) = |
N° (a, Р) + |
N\ (a, |
P), |
|
S (a, P) = |
S° (a, p) + |
S* (a, p). |
(3,1,63) |
|
Тангенциальное усилие TV2(a, p) определяется из уравнения (3, 1, 37). Произвольные постоянные А и В позволяют удовлетворить любым возможным статическим граничным условиям.
§ 2. ОБОЛОЧКИ ПОД ДЕЙСТВИЕМ СОСРЕДОТОЧЕННЫХ СИЛ
Существует два основных метода расчета оболочек на локальные воздействия. В первом методе в качестве исходных уравнений использу ются однородные дифференциальные уравнения теории оболочек. Ищут ся такие комбинации частных сингулярных решений этих уравнений, ко торые соответствуют тому или иному типу локального воздействия. Про извольные постоянные, входящие в эти решения, используются для вы полнения определенных геометрических и статических условий в окрест ности места приложения сосредоточенного воздействия.
|
Д л я |
о б о л о ч е к |
|
п р о и з в о л ь н о й |
ф о р м ы |
у к а з а н н ы й |
м е т о д |
и с п о л ь з о в а л с я |
в |
р а б о т а х |
|||||||||||
А . Л . |
Г о л ь д е н в е й з е р а |
[ 1 0 ] , Н . А . К и л |
я [ И ] , В . В . Н о в о ж и л о в а |
и К . |
|
Ф . Ч е р н ы х |
|
[ 1 2 ] . |
К о м |
||||||||||||
б и н и р у я |
ч а с т н ы е |
р е ш е н и я |
о д н о р о д н о г о |
д и ф ф е р е н ц и а л ь н о г о |
у р а в н е н и я |
т е о р и и |
п о л о г и х |
||||||||||||||
ц и л и н д р и ч е с к и х о б о л о ч е к , Ю . Н . Р а б |
о т н о в [ 1 3 ] д а л р е ш е н и е з а д а ч и |
о д е й с т в и и |
|
н о р м а л ь |
|||||||||||||||||
н о й |
с о с р е д о т о ч е н н о й |
с и л ы |
н а |
б е с к о н е ч н о |
д л и н н у ю |
ц и л и н д р и ч е с к у ю |
о б о л о ч к у . |
В |
э т о й |
||||||||||||
р а б о т е и с п о л ь з о в а н |
п р и е м |
р а с щ е п л е н и я о д н о р о д н о г о |
р а з р е ш а ю щ е г о |
у р а в н е н и я |
8 - г о |
п о |
|||||||||||||||
р я д к а |
н а |
ч е т ы р е |
д и ф ф е р е н ц и а л ь н ы х |
у р а в н е н и я |
в т о р о г о |
п о р я д к а , |
и н т е г р и р о в а н и е |
к о т о |
|||||||||||||
р ы х |
|
о с у щ е с т в л я л о с ь |
в |
с п е ц и а л ь н ы х |
ф у н к ц и я х . |
П о з д н е е |
а н а л о г и ч н ы й |
п р и е м |
|
б ы л |
п р и - |
||||||||||