Файловый архив студентов. Файловый архив студентов.
1264 вуза, 4626 предмета.
/ Регистрация
FAQ Обратная связь Вопросы и предложения
Добавил:
Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз:
Пермский национальный исследовательский политехнический университет
Предмет:
[НЕСОРТИРОВАННОЕ]
Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf
Скачиваний:
16
Добавлен:
19.11.2023
Размер:
71.66 Mб
Скачать
☆

В зависимости от знака гауссовой кривизны различают эллиптиче­ ские, параболические и гиперболические точки. Если Г>0, точка назы­

вается эллиптической, если

1 =U, i

называется

параболической,

если Г<0, точка называется гипер­

 

 

болической

(рис. 1.7).

направ­

 

 

Линия

на поверхности,

 

 

ление касательной к которой совпа­

 

 

дает в каждой точке с главным на­

 

 

правлением, называется линией кри­

 

 

визны.

 

 

Рис.

1.7

§ 4. ДИФФЕРЕНЦИРОВАНИЕ КООРДИНАТНЫХ ОРТОВ

Два семейства линий главных кривизн образуют

на поверхности

ортогональную координатную сеть [1].

Пусть на поверхности задана упомянутая выше координатная сеть. Введем обозначения: а, р — параметры семейств координатных кри­

вых,

Ш -*■-(£)*■*(№(£)’

 

( £ ) ‘ = * = Ш ! + ( | г Н ж У

 

(1,4.1)

 

 

 

Первая квадратичная форма примет вид

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ds2 = АЧо? + ВЩ 2.

 

 

 

 

 

Модули координатных векторов

и — — величины Л и В называются

параметрами Ламе.

 

 

да

ар

 

 

 

 

 

 

 

нормированный

ортогональный базис

Введем

на

поверхности

{рис. 1. 8)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

е1-

л Г ’ Т

’

е2_

”ар~ ' ~ в '

e" -

ei X 62-

<1,4,2)

Любой вектор Т может быть представлен в этом базисе в виде

 

 

 

 

Т = Ttfi +

Т2е2+ Тпеп,

 

 

 

(1*4,3)

где Гь Т2 и Тп — составляющие вектора в базисе

(1, 4, 2), а его част­

ная производная по любой координате (например, по а)

в виде

дт

дТ\

 

дТ2

 

дТп

l + T l ^ -

+

T t

де%

 

деп

да

да е1 +

да

+

да

да

f тп да

да

 

 

Таким

образом,

правила

дифференцирования

векторов,

представ­

ленных в виде (1, 4, 3), сводятся к правилам дифференцирования еди­

ничных ортов ей бг и еп, для производных которых имеют место сле­ дующие формулы:

дех

 

 

1

дА -

А —

дел

__

1

дВ

—

да

 

 

~в

ар” е* ~

я Г 6"’

ар

 

А

да

^2»

де2

_

1

дА

—

де2

1

дВ

-

В

—

да

“

В

ар

Cl’

ар ~

~А

 

 

R 2 «я.

 

А

_

деп

В

_

деп = —

е1 »

= V

(1,4,4)

да

Ri

 

 

2’

где Ri и R2— главные радиусы кривизны.

(остальные доказываются

Докажем первую

из формул

(1, 4, 4)

аналогично). Известно, что единичный вектор и его производная

взаим­

но ортогональны [1]. Поэтому вектор

можно

записать

в

базисе

(1, 4, 2) в виде

 

 

 

 

= ре2 + Яеп (так как

ег =

0

 

(1,4,5)

где р и q — коэффициенты, подлежащие определению.

Если это равенство умножить скалярно на е2, то ввиду ортогональ­

ности е2 и еп

(1,4, 2),

р =

да

(е2-еп — 0),

а также

 

да

и

ар

получим, учитывая

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

дг

 

 

 

е2 — j

 

 

Ш т

 

 

 

 

 

 

’

 

д р )

-

(! т

-

 

1

 

 

 

 

дА

J L \ (

1

 

 

 

1

 

a v

дг

 

8 ’

да

да

J V ~В

а р

)

АВ

'

да2

-сп1

1

—

Г д

/

д~г

дт \

 

1

а

f д~г

'У Ч

_ _

АВ L да \ да

а р " /

 

2 *

^

Ч да ,

 

 

 

1

 

1

дА*

 

 

1

 

дА

 

 

 

 

АВ

2

-1оа

1

I

в

 

а р

•

 

Для определения q умножим скалярно (1, 4, 5) на е„, получим

_

dei

~ _ д (ei • еп)

-

деп

<7=

да

да

 

да

Значение -^-найдем из

рис.

1.9. Треугольники

на рисунке подобны,

вектор Аеп направлен вдоль касательной к линии а, так что

^11^'II= Пш

_

( lim

|Авл| V

=

да

Да-»0

Да

\Да-*о

Да

/

 

 

М ХМ2

 

'л.

ЛДа \

]

-

А -

lim ■

^ ег = ( lim ——

ех = — ег,

чДа-*0

RxДа

)

\,

/^Да)

1

1

откуда

 

А —

-

 

А

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Из тождества

д = ~ Ж в1

е1 = ~ ъ -

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

дЧп

 

&еп

 

 

 

 

 

 

дад$

 

ара<х

 

 

 

 

легко получить (учитывая (1,4,4))

откуда следуют условия Кодацци

 

дА

<?р \ Я г )

Яг Ъ

— ( - Ь —

дВ

да \ R 2 ) RI

да

так как ех и е2—линейно независимые векторы. Из тождества

дЧх

di el

dadp

dfida

получаем

1

дА \

 

А

* ’

ар

;

+

/?!

1

 

дА 1 -

_

Яг

'

ар

 

0 ,

J е" ^

откуда следует условие Гаусса:

д /_1_

дВ \

(

( 1

Э А \ _

АВ

да \ А

да )

д

ч в ‘

ар ;

RiR*

Как легко убедиться, тождество

 

 

 

 

 

д*~е2

ааё2

 

 

 

 

дад$

дрда

 

 

(1,4,6)

(1.4.7)

(1.4,8)

новых соотношений между величинами Л, В, R u R2 не дает.

Таким образом, четыре функции А , В, R\ и R2 двух параметров а и р являются коэффициентами Ламе и главными радиусами кривизны некоторой поверхности только в том случае, когда они связаны между собой условиями Кодацци — Гаусса (1, 4, 6) и (1, 4, 8).

§ 5. КРАТКИЕ СВЕДЕНИЯ ИЗ ТЕНЗОРНОГО АНАЛИЗА

Приведем краткие сведения о поверхностных тензорах второй ва­ лентности.

Как известно [1] из дифференциальной геометрии, векторное урав­ нение поверхности 5 можно записать в виде

Г = г(х \ *2).

(1,5,1)

где х \ х2 — гауссовы координаты точки на этой поверхности, г — ра­

диус-вектор этой точки. Для частных производных от г по координатам л*1и х2 введем обозначения:

- __

д~г .

-

д'г

Гх ~

ах1 ’

Га —

а*2 ‘

Векторы г\ и г2 направлены по касательным и координатным ли­ ниям поверхности 5 и называются координатными векторами поверх­ ности. Для независимости гауссовых координат х1 и х2 необходимо и достаточно, чтобы векторное произведение

V i, г2] ф 0 .

Для скалярных произведений координатных векторов введем

обозначения aik:

 

 

 

 

 

aik = ~ri ~Tk

(*. k=r- 1,2).

 

 

 

(1,5,2)

В дальнейшем латинские индексы принимают значения 1

и 2.

точками

Квадрат расстояния между двумя бесконечно

близкими

поверхности 5 равен

2

2

 

 

 

ds2 = | dr |2= | г^dx1+

aikdxtdxk.

(1,5,3)

r2dx212 =

 

 

i=\ k=l

 

 

 

В дальнейшем повторяющийся индекс будет означать

суммирова­

ние от 1 до 2. Знак суммы при этом опускается.

Выражение

(1, 5, 3)

запишется в виде

 

 

 

 

 

ds2 = |dr |2= | г{дх* |2=

aikdx‘dxk = I

(i,k = 1,2).

(1,5,4)

Выражение (1, 5, 3) или (1, 5, 4) является первой квадратичной фор­

мой поверхности 5, а величины

— коэффициентами

этой

формы,

или ковариантными

компонентами

первого основного

метрического

тензора поверхности 5.__

 

 

 

 

 

 

Обозначим _через m единичный

вектор нормали к

поверхности S.

Так как вектор m коллинеарен вектору [гь г2], то найдем

 

m =

J*1- =

i!i ^ L ;

а = аи022— а?2 =* det (°£а)-

(1.5,5)

|[г1(г2]|

Уа

 

 

 

 

 

Для координатной тройки векторов

/ч, от

существует

взаимная

тройка векторов г\ от, определяемая равенствами

 

 

 

~i _

Сгг, т] .

-а _ (in, rj .

—_

IV»]

 

 

У а

У a

Y~a

Отсюда получим, что

r‘rk — blk, rlm = О,

где б* — символы Кронекера:

б* = 1 при i —'k; б* = 0 при i Ф k.

Аналогично формуле (1, 5, 2) для скалярных произведений г1' rh введем обозначения aik

a‘k = r lrk,

(1,5,7)

называемые контравариантными компонентами первого основного мет­ рического тензора. Внося сюда г» из (1, 5, б), найдем

au _

а22= - ^ - ; fl12 _ _

(1,5,8)

а

а

а

Тогда вместо (1,5,6) будем иметь

r‘ =

a'Vft,

пг =

ki, 'd

(1,5,9)

 

 

 

Га

 

Отсюда, умножая на гп и ain,

получим

 

 

бп‘ = а‘*апк,

~гп -= а1п?.

(1,5,10)

Пусть кривая Г, лежащая на поверхности S, задается векторным

уравнением r = r(s), где s —длина дуги кривой. Тогда единичный век­ тор касательной к кривой будет равен

т — — — 7 —

Обозначим через v единичный вектор главной нормали Vp — ее кривизну. По формуле Френе получим

 

v

 

dx

— dxl

dxk

. — d?xl

 

T

_

"dT _

r‘k~dT '

ds

+

Г‘ ds2 ’

Здесь через

обозначены вторые производные от г:

 

~

_

~ _

&г __

d?j

_

drk

 

ik

 

ki

дх‘дх*

dxk

 

dxi

кривой, через

(1,5,11)

(1,5,12)

Обозначив через tp угол между v и m и умножая скалярно (1, 5, 11) на пг, найдем

cos ф

Ьц4хЦхЬ

И

(1.5.13)

р

dsds

I

 

где

 

 

 

Ьи = тг№; bik=--bki.

(1.5.14)

Выражение II = bihdx{dxk является

второй квадратичной

формой

поверхности, а величины б,л — коэффициентами этой формы, или ко-

вариантными компонентами второго основного метрического тензора поверхности.

Найдем кривизну нормального сечения. Так как за положительную нормаль к поверхности принята ее внешняя нормаль и, кроме того,

плоская кривая всегда отклоняется от касательной в сторону вектора v,

то ср = я. Тогда из

(1, 5, 13)

получим кривизну нормального

сечения

 

 

1 _ bikdxldxk _

И

 

(1,5,15)

 

 

R

aikdxldxk

I

 

 

 

 

 

Полагая здесь

сначала

х2 = const, а затем

x l = const,

получим кри­

визны координатных линий

 

 

 

 

 

 

= _

_Ьп_.

1

Ьъ2

 

 

 

Rx1

аи

Rx2

@22

 

 

В каждой точке поверхности 5 существуют два нормальных, взаим­

но перпендикулярных сечения, для

которых

кривизна

l/R

достигает

максимума или минимума. Такие сечения называются главными в этой точке, а направления, касательные к ним, главными направлениями. Кривизны главных сечений называются главными кривизнами, а линии, касательные к которым в каждой точке совпадают с главными направ­ лениями, называются линиями кривизны. Для линий кривизны выра­

жения первой и второй квадратичных форм

упрощаются, так

как в

этом случае ai2= &i2= 0.

_

 

Для вторых производных от радиуса-вектора г имеют место

фор­

мулы Гаусса

 

 

rik = IV , + bikm.

(1,5,16)

Коэффициенты Г,* называются символами Кристоффеля второго рода и могут быть выражены через символы Кристоффеля первого рода Г,-, ik

rik = a/sr s,«; Г,.л = Г.,« = 4" (-Т Т +

-ТТ — "ГГ )•

(1 >5>17>

2 \ dxk

дх1

dxs /

 

Для производных от вектора нормали m имеют

иместо

формулы

Вейнгертена

 

 

 

ml = дст = — b\rk,

 

 

(1,5,18)

где Ъ\ являются смешанными компонентами тензора bik:

ЬЧ = аь%.

(1,5,19)

Для производных от сопряженных векторов г* = dkrLимеют место формулы

?k = - r ti.kri + mbtk.

(1,5,16')

_ Пусть а — произвольный поверхностный вектор, некомпланарный с fi и г2. Тогда этот вектор можно представить в виде

а = а^г' + OJJг2 = а'г1 + агг2.

Коэффициенты разложения аг- и а* называются ковариантными и контравариантными компонентами вектора а в системе координат х к Для вектора Ь, некомпланарного с г,- и пг, имеют место разложения

 

Ъ =

Ь / + Ьъш = b‘rt -f bzm,

(1,5,21)

причем Ьъ — Ьъ.

 

 

 

 

_

__

Рассмотрим диадное произведение двух векторов а и Ь, обозначае­

мое символом

а Ь. Это произведение есть тензор второй

валентности

(второго ранга)

 

 

 

 

 

 

Т

- а Ь -

\ ^

а‘Ч

 

 

 

1 #2^1

^2^2 )

 

Любой тензор

второй валентности

можно

представить в

виде суммы

четырех диад:

 

 

 

 

 

 

 

Т =

Т‘V * =

T it/ } k =

тЪ?Гг\

(1,5,22)

где через Tih, T ih и 7У обозначены ковариантные, контравариантные и смешанные (ковариантные по k, контравариантные по i) составляющие тензора Т.

В случае ортогональных координат о и

р с коэффициентами Ламе

А 1 =

] / а 11, А 2= В = ] / а 22, а12 =

0 физические составляющие

at

вектора а

и f ik

тензора Т

выражаются формулами

 

 

 

 

 

й1 =- а'А^,

= a j A f ,

=

T ‘kAiAk\

T ik = Т ‘^/А^А^.

(1,5,23)

Продифференцируем

(1, 5, 20)

по x h. Учитывая

формулы

(1, 5, 16) и

(1, 5, 16'), получим

 

 

 

 

 

 

 

 

~

=

ПУка1 +

 

=

''V/A + mafik,

 

(1,5,24)

где выражения

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

= <V‘ +

ГA/а';

Vtai =

d kai — r i*ai

 

(1,5,25)

называются ковариантными производными от а 1 и а;- в системе коорди­ нат x i.

Для ковариантных производных от составляющих тензора имеем формулы

V j ^ t k = djTik

T skTij

T LSTjk,

 

S!jTik = d p *

+ T ^ r i j +

T isr kSj,

(1,5,26)

— Т*Г-/ + TtV*,.

Здесь и далее знак у означает символ ковариантного дифференцирова­ ния относительно первого метрического тензора поверхности а**.

2 П. М. Огибалов, М. А. Колтунов

Приведем правило операции поднятия и опускания

индексов. Для

вектора А имеют место формулы

 

Ае= а'МЛ; Лг = % Л*,

(1,5,27)

а для симметричного тензора Т они имеют вид

 

Tik = а"а*Т,„;

Tik = alflknV>‘, П = a‘’Tjk.

(1,5,28)

Элемент площади поверхности da в общих координатах равен

da = Vadx1eUfl,

(1,5,29)

где а выражается формулой

(1, 5, 5).

 

Г л а в а II

ОСНОВЫ ТЕОРИИ ДЕФОРМИРОВАНИЯ ОБОЛОЧЕК И ПЛАСТИН

Здесь строятся основные уравнения теорий оболочек и пластин, исходя из тех или иных гипотез, и записываются краевые условия для разных случаев закрепления. Основное внимание уделено линейным и нелинейным теориям, базирующимся на гипотезе прямых нормалей Кирхгофа — Лява, а также теориям, исходящим из соотношений трех­ мерной теории упругости.

Рассматриваются изотропные и анизотропные оболочки, изготов­

ленные из упругих, упруго-пластических и вязко-упругих материалов.

1

§ 1. О П Р Е Д Е Л Е Н И Я . Г И П О Т Е З Ы

Тело, ограниченное двумя поверхностями, расстояние h между ко­ торыми мало по сравнению с другими размерами, называется оболоч­ кой.

Поверхность, делящая оболочку пополам по толщине, называется срединной поверхностью. Срединная поверхность предполагается не­ прерывной и достаточно гладкой, за исключением, может быть, некото­ рых точек или линий.

Рассмотрим оболочку постоянной толщины. Поверхность, проходя­ щую внутри оболочки на постоянном расстоянии от срединной поверх­ ности, будем называть параллельной поверхностью.

Проведем в некоторой точке срединной поверхности нормаль к ней, а затем через нормаль проведем плоскость. Эта плоскость пересечется со срединной поверхностью по линии, называемой нормальным сече­ нием.

На срединной поверхности зададим ортогональную координатную сеть, совпадающую с линиями главных кривизн.

Будем рассматривать оболочки, нагруженные внешними силами и Моментами. Внешние силы и моменты делятся на массовые, поверхно­ стные и краевые.

Примером массовых сил служит сила тяжести и центробежные силы. В качестве примера массовых моментов можно назвать моменты, Действующие на оболочку из ферромагнитного материала в магнитном Поле.

Рис. 2.1

Из поверхностных сил в теории оболочек наиболее часто рассмат­

риваются силы гидростатического давления.

 

внешние силы

На края оболочки могут действовать как активные

и моменты, так и силы реакций.

 

нагрузки,

распре­

Кроме того, к оболочке могут быть приложены

деленные вдоль линии или сосредоточенные в точке.

 

 

 

оси х>

Проведем четыре нормальных сечения: два, параллельных

и два, параллельных оси у. Эти сечения вырежут элемент

срединной

поверхности и одновременно элемент оболочки (рис.

2. 1). На

элемент

действуют внешние объемные и по­

верхностные нагрузки. Они

уравнове­

шиваются

внутренними

напряжения­

ми, действующими

на

вертикальные

грани элемента со стороны оставшей­

ся части

оболочки.

вектор внутренних

Если

главный

напряжений направлен

по

касатель­

ной к срединной поверхности, а глав­ ный момент равен нулю, напряжения называются цепными.

Если, напротив, главный вектор равен нулю, а главный момент не равен нулю, напряжения называются моментными.

На реальную оболочку обычно действует комбинация цепных и моментных напряжений. С точки зрения прочности конструкции наибо­ лее опасны моментные напряжения. При расчете и конструировании оболочек их нужно избегать или сводить к минимуму. Забегая вперед, скажем, что отсутствие моментных напряжений существенно упрощает расчет оболочек.

Под действием внешних нагрузок точки оболочки получают пере­ мещения. Перемещение в направлении нормали к срединной поверх­ ности называется прогибом.

Задачей теории оболочек является определение внутренних напря­ жений и перемещений.

В настоящее время существуют два пути решения этой задачи. Первый заключается в том, что оболочку рассматривают как трехмер­ ное тело. Решения соответствующих уравнений теории упругости разы­ скиваются путем разложения всех величин в ряды по степеням расстоя­ ния точки оболочки от срединной поверхности. Этот метод, в принципе точный, весьма громоздок, поэтому в большинстве случаев идут по дру­ гому пути.

Второй подход состоит в том, что путем принятия некоторых гипо­ тез трехмерная задача теории упругости сводится к двухмерной задаче о равновесии и деформации срединной поверхности, нагруженной си­ стемой усилий и моментов, статически эквивалентной системе нагрузок оболочки.

Наиболее простой и употребительный вариант теории базируется на гипотезах Кирхгофа — Лява, которые можно сформулировать сле­ дующим образом.

1. Прямоугольные волокна оболочки, перпендикулярные к средин­ ной поверхности до деформирования, после деформирования остаются

Соседние файлы в папке книги
Помощь Обратная связь Вопросы и предложения Пользовательское соглашение Политика конфиденциальности