книги / Оболочки и пластины

§19. ТЕОРИЯ ТРЕХСЛОИНЫХ ОБОЛОЧЕК

Впоследние годы в различных областях техники (авиастроение, судостроение, гражданское строительство и др.) находят применение слоистые конструкции, в частности трехслойные пластинки и оболочки. Трехслойная конструкция состоит из двух высокопрочных внешних

слоев, соединенных при помощи заполнителя — материала, обладающе­ го меньшей прочностью, чем внешние слои, но обеспечивающего их совместную работу. В качестве внешних слоев могут служить металл, высокопрочная фанера, пластмасса. Заполнителем может быть пено­ пласт, бальзовое дерево, твердая пористая резина, гофрированный лист металла, армированные и неармированные пластики, металлические соты. Бурное развитие химической промышленности позволило в каче­ стве материалов внешних слоев и заполнителя широко применять стек­ лопластики и эпоксидные смолы различных сортов. Трехслойные конст­ рукции обладают многими качествами, которых нет у обычных конст­ рукций, выполненных только из металла. Они имеют высокую удель­ ную жесткость и могут выдержать большие удельные нагрузки. Слоистые пластины и оболочки обладают хорошими тепло- и звукоизо­ ляционными качествами, демпфирующими и вибропоглощающими свой­ ствами. Благодаря тому, что на наружной поверхности трехслойных конструкций отсутствуют какого-либо рода крепления и поверхность идеально гладкая, они обладают высокими аэродинамическими каче­ ствами.

Раньше трехслойные конструкции выполнялись из одинаковых несущих слоев. В последние годы потребности техники привели к тому, что несущие слои стали выполняться из разных материалов и разной толщины. Это в значительной мере расширяет область использования трехслойных конструкций. Такие конструкции, по принятой в литерату­ ре терминологии, называют конструкциями несимметричного строения или несимметричной структуры, в отличие от конструкций, имеющих несущие слои одинаковой толщины и изготовленных из одинакового материала, называемых конструкциями симметричного строения.

В зависимости от характеристик среднего слоя различают трехслой­

внешним слоям, то заполнитель называют легким. Отношение модуля упругости наружного слоя к модулю упругости заполнителя в этом слу­ чае бывает порядка 102—104. Таким образом, всю нагрузку на растяже­ ние — сжатие берут на себя наружные слои. Их называют несущими. Работа заполнителя сводится к передаче нормального давления на не­ сущие слои и поперечных сдвигающих усилий. Если жесткость заполни­ теля в продольном направлении значительна, то он способен восприни­ мать и нормальные напряжения в плоскости, параллельной внешним слоям. Такой заполнитель называют жестким. Отношение толщины заполнителя к толщине несущего слоя обычно колеблется в пределах 10—100.

В зависимости от модуля упругости заполнителя в поперечном направлении трехслойные конструкции могут испытывать и поперечные деформации. При малых значениях модуля упругости бывает необходи­ мость учитывать поперечную сжимаемость заполнителя. Это нужно при­ нимать во внимание, например при местной потере устойчивости несу­ щих слоев или их сморщивании. В ряде случаев деформации трехслой­

ных пластин и оболочек, .например при изгибе или общей потере устойчивости, поперечной сжимаемостью можно пренебречь.

Теория и методы расчета изгиба и устойчивости трехслойных пла­ стин и оболочек разработаны усилиями советских и иностранных авто­

Здесь мы дадим вывод уравнений Э. И. Григолюка —П. П. Чулкова [39] для трехслойных оболочек.

При построении уравнений для внешних слоев используются гипо­ тезы Кирхгофа—Лява, для среднего слоя — заполнителя — гипотеза о несжимаемости материала в направлении оси г и неискривляемости нормали при деформации. Последнее означает, что сдвигающие напря­ жения распределены равномерно по толщине заполнителя.

Будем считать оболочку пологой, различием радиусов кривизны слоев пренебрегаем. Принимая за исходную поверхность срединную поверхность заполнителя, отнесем ее, учитывая пологость оболочки, к декартовой системе координат х\, х2, причем оси х\ и х2 направим по касательным к линиям кривизны.

Положительную нормальную координату z будем отсчитывать в сторону внешней нормали к исходной поверхности. Назовем несущий слой, расположенный со стороны внешней нормали, первым слоем, со стороны -внутренней нормали — вторым, заполнитель—третьим.

Обозначим через /гь Л2, Л3= 2с толщины слоев, h — толщину стенки

Коэффициент Пуассона v будем считать одинаковым для всех слоев. Это допущение мало влияет на конечный результат. Без него основные уравнения получены, например, в статьях [23, 22, 52]. Перемещения то­ чек исходной поверхности обозначим через ии w, тангенциальное пере­ мещение точек оболочки, расположенных на расстоянии z от исходной

поверхности, обозначим через wf. Числовой индекс вверху означает слой, к которому относится данная величина, например а1 — напряже­

направлении х*. Здесь и далее нижний индекс, следующий после запя­ той, означает частное дифференцирование по координате х\.

пряжения, действующие в 1-м, 2-м и 3-м слоях, к статически эквива­

лентным системам усилий 7* и Qi и моментов М?/, приложенным к поверхностям z=c, z= —с и 2= 0.

Формулы (2,19,8) —(2,9,11) заменяют напряжения, действующие во всей оболочке, усилиями 7t;-, Qi и моментами Mi,, Нц, приложенными’к исходной поверхности 2= 0.

Преобразуя уравнение (2,19,7), получим выражение для вариации

Кроме того, ©ведем безразмерные жесткостные характеристики и без­ размерные толщины слоев

Для более компактной записи формул удобно ввести осредненный мо­ дуль упругости

з

Суммируя полученные удельные усилия, найдем

Т'„ = т ^ г |(l- v )e ,( + v6,At] +

а и? — новые произвольные функции, смысл которых будет выяснен ниже.

Обобщенные удельные моменты Hi} и полные удельные моменты Mtj согласно формулам (2,19,9) — (2,19,13) равны

Л з = 4 (yrf + Y2й) + й (3YI + 3Y2+ Ya) + 6*3 (YI*I + y2t2) — 3c?3.

Если перемещения исходной поверхности и* заменить в выражениях (2,19,14) — (2,19,16) по формулам (2,19,26), произвести интегрирование по частям членов, содержащих ш>-, то аналогично предыдущему можно получить следующие уравнения равновесия:

и силовые граничные условия (х± = х°{)

Таким образом, все усилия и моменты оболочки приведены к новой поверхности приведения, расположенной от исходной на расстоянии

C\2h/2 в направлении положительной нормали. Тогда функции и? пред­ ставляют тангенциальные перемещения новой поверхности приведения. Можно видеть, что теперь усилия 7\-?- оказываются не связанными с де­

Отметим, что в случае оболочки симметричного строения, когда Е\= Е2, h\ = h2, коэффициент у!=у2, a Ci2= Ci3= 0. При этом выполненного выше преобразования не требуется, а поверхностью приведения является сред­ няя поверхность заполнителя.

Выведем разрешающие уравнения задачи. Сначала составим урав­

нения и вычтем удвоенное третье. В результате по-сле очевидных пре­ образований получим уравнение совместности деформаций в виде