книги / Оболочки и пластины

Компоненты напряженного состояния, как видно из этих формул, имеют ярко вы­ раженный эллиптический_характер относительно а — угла между осью £ и произволь­

ным радиусом-вектором г (£, <р).

Полагая в (3, 2, 58) S = E 2/E i= 1, v1= v 2=v, получаем известные асимптотические -формулы для изотропной цилиндрической оболочки:

Решение аналогичной задачи для ортотропной цилиндрической оболочки сводится к определению комплексной функции уравнения (при G= Go)

Приведенный модуль G = Go позволяет установить следующую физиче­ скую аналогию между изотропией и ортотропией:

т. е, усредненные механические характеристики ортотропного материала соответствуют характеристикам изотропного материала.

Если цилиндрическая оболочка подвергается осесимметричной де­ формации, то уравнения равновесия для изотропной и ортотропной оболочек совпадают по форме (независимо от G), если установить соответствие

2 Ь] -» 2Ь\

К такому же результату можно прийти в случае несимметричной деформации, произведя аффинное преобразование

Таким образом, можно сформулировать следующее предложение: если оболочка свободно оперта по краям или имеет на краях скользя­ щее защемление, то граничные условия в терминах комплексной функ­

ции F для изотропной и ортотропной оболочек тождественно совпадают, при этом любое решение задачи об изгибе ортотропной цилиндрической оболочки может быть получено из решения аналогичной задачи для изотропной оболочки. Пересчет результатов осуществляется по форму­ лам (3, 2, 62) —(3, 2, 64).

Иллюстрацией могут служить асимптотические соотношения (3, 2, 58) и (3, 2, 59), которые переходят одни в другие при помощи формул (3, 2, 62), (3, 2, 64).

Кроме того, указанная выше аналогия позволяет использовать го­ товый табличный материал. Имеется следующая зависимость безраз­

Для проверки этих формул можно использовать числовые данные, при­ веденные в табл. 3.1 и 3.2.

При действии двух самоуравновешенных сил на бесконечно длин­ ную цилиндрическую оболочку В. М. Даревским [32] выведена простая формула для максимального прогиба. Эта формула на основании ана­ логии для ортотропного материала будет иметь вид

(3,2,65)

Эта формула может быть использована и для расчета оболочек конеч­ ной длины, у которых

Пусть на ортотропную оболочку с относительной длиной, удовлетворяю­ щей условию (3, 2, 66), действуют m равных по величине радиальных сосредоточенных сил, расположенных с одинаковыми интервалами на направляющей окружности. Тогда при

wп = пгя^0т г - ( 1<646 + 1,6:17 + 1,905 -L-j [3 (1 -

При значениях т , удовлетворяющих неравенству

можно пользоваться формулой

W0 = — е- ^ 1(cos Ь\ -f sin b 11 \),

которая характеризует прогиб длинной ортотропной цилиндрической оболочки, нагруженной равномерным радиальным давлением, распре­ деленным по направляющей окружности.

Для свободно опертой по торцам короткой цилиндрической оболоч­ ки при действии одной радиальной оси, приложенной в середине про­ лета, обобщается формула, полученная в статье [56]:

Юо = 1.6291/2-/2

(2я) '2 L ® J

Изложенный выше метод применим не только к задачам прочности,, но и к задачам устойчивости и колебаний ортотропных оболочек [55].

2) Рассмотрим действие нагрузки локального типа на сферическую оболочку.

Общий интеграл уравнений равновесия тонкостенной сферы был исследован в работе А. Л. Гольденвейзера [57], который доказал возможность разложения истин­ ного напряженного состояния сферической оболочки на три состояния — безмоментное, чисто моментное и смешанное, что значительно облегчает получение окончательного решения. В этой же статье точно решена задача для замкнутой сферы, находящейся под действием произвольно расположенной сосредоточенной силы, уравновешенной в полюсе. Основываясь на этих результатах, В. 3. Чернина [69, 70] построила прибли­ женные решения для изотропного сферического сегмента, находящегося под действием сосредоточенной силы или момента. Г. В. Чернышев [71] получил решение для сосре­ доточенной нагрузки, действующей на сферу переменной толщины и анизотропную сферу постоянной толщины. Лекки [64], используя теорию Хаверса, привел приближен­ ное решение для осесимметричных сосредоточенных нагрузок.

Точные уравнения равновесия для непологой сферы тбыли получены И. Н. Векуа* [58, 59] в комплексной форме и В. 3. Власовым [60] в действительной форме. Общее

уравнений равновесия сферической оболочки для некоторых видов локальных нагрузок, а также общее решение этих уравнений для жестко защемленного внешнего контура

даны в статье Н. Г. Гурьянова [79].

Задача об изгибе изотропной пологой сферической оболочки при различных видах осесимметричного нагружения подробно исследована М. Н. Ручимским [62]. В работах

решение уравнений равновесия для сферической оболочки, находящейся под действием •сосредоточенной силы, действующей в любом из характерных направлений, в общем виде получено в работе [72]. В. Н. Гнатыкин [63] получил частные интегралы для сфе­ рического сегмента, равномерно нагруженного по одной из параллелей или по площади круга с центром в произвольной точке. Общее решение подобной задачи для произволь­ но расположенной радиальной сосредоточенной силы при жестком защемлении гранич­

прочности анизотропного однослойного и слоистого изотропного сферического сегмента, нагруженного сосредоточенной силой. Экспериментальному исследованию прочности и устойчивости сферического сегмента при действии на него сосредоточенной силы или нагрузки, распределенной по круглой площадке, посвящена работа [44].

Задача стыковки сферической оболочки с цилиндрическим патрубком бесконечной жесткости исследована в работе Бейларда [61], причем ось патрубка совпадает с осью вращения сферы. Джонсон [77] обобщил задачу Бейларда на случай наклонного дефор­ мируемого патрубка. Туус [63] опубликовал экспериментальные данные, подтверждаю­ щие теоретическое решение Бейларда.

Точное решение задачи о действии на сферическую оболочку произвольно распо­ ложенной и гармонически меняющейся во времени сосредоточенной силы с учетом по­ перечного сдвига и инерции вращения получено в [74], причем особо рассмотрен случай статического нагружения оболочки сосредоточенной силой.

В работе [47] решается задача о предельном равновесии сферического купол? пере­ менной толщины, на который действует внутреннее давление и сосредоточенная сила, приложенная в полюсе. Вместо обычного методаоценки напряженного состояния пред­

легко сводятся к одному уравнению относительно комплексной функции

F = Dk2w ---- — ср.

R

Если решать задачу об изгибе сферической оболочки сосредоточен­ ной силой, приложенной в-произвольной точке х=%, то разрешающее уравнение будет иметь вид

где

— I, 0 — У) = Ь(х— I) £ 6(6 — у — 2пп).

П= — оо

Используя известные свойства б= функции (3, 2, 37) и разлагая функцию F в ряд

Для более полной расшифровки этого решения можно использо­ вать теорему сложения для функции Макдональда [80]

п = \

Чтобы получить решение для нагрузки, равномерно распределенной по окружности радиуса а с центром в полюсе, необходимо (3, 2, 72) про­ интегрировать по у от нуля до 2я, считая £= а. При этом следует поль­ зоваться формулами (3, 2, 73—3, 2, 76).

Для х> а получаем

Чтобы получить частное решение уравнений (3, 2, 67), соответствующее нагрузке, равномерно распределенной по круговой площадке с центром в полюсе, необходимо взять двойной интеграл от (3, 2, 72) в пределах для у от 0 до 2л и для £ от 0 до а. Если х> а, интегрирование проводим, пользуясь формулами (3, 2, 73),(3, 2, 75). В итоге получаем

In = [b^r„ ^ к е г ^ 0 — 3L кег„ *0) —bei„| (kei'nx0 — j - kei„

На рис. 3. 15 приводится график зависимости величины прогиба в точке приложения сосредоточенной силы от положения последней на меридиане.

Интересно отметить, что до опре­ деленного момента при перемещении :илы вдоль меридиана величина проги­ ба под нагрузкой практически не ме­ няется.

§ 3. МЕТОД К. 3. ГАЛИМОВА ИНТЕГРИРОВАНИЯ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ РАВНОВЕСИЯ ПОЛОГИХ ОБОЛОЧЕК

Рассмотрим задачу определения больших прогибов пологой прямо­ угольной в плане цилиндрической панели, находящейся под действием равномерного поперечного давления q. Метод решения основан на раз­ ложении в ряды Фурье искомых функций и последующем точном удов­ летворении всех граничных условий и условия совместности деформа­ ций. Уравнение равновесия при этом удовлетворяется в среднем по, методу Бубнова — Галеркина. Этот метод интегрирования довольно общий и может быть успешно распространен на прямоугольные в плане пологие оболочки, подверженные действию различного рода локальных и переменных нагрузок.

1. Цилиндрическая панель

Функция напряжений Ф и функция прогиба w удовлетворяют систе­ ме нелинейных уравнений

ление, действующее на поверхность панели, х — координата, направлен­

и условия свободного опирания

Здесь Р\ и Рг—заданные растягивающие — сжимающие усилия на кром­ ках х = ± а и у = ± Ь , а касательное усилие S принимается равным нулю.

Если взять w в виде ряда

(Ат п — постоянные), то граничные условия (3, 3, 5) и (3, 3, 6) удовле­ творяются. Чтобы удовлетворить статическим граничным условиям точно, необходимо использовать решение типа краевого эффекта. Поэто­ му функцию напряжения возьмем в виде ряда