Добавил:

ivanov666 Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

книги / Оболочки и пластины

..pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.11.2023

Размер:

71.66 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 7025 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Отметим, что при больших прогибах форма упругой поверхности не может быть описана одним или двумя параметрами аппроксимиру ющей функции. Действительно, для сферического купола естественной является попытка задать в первом приближении закон изменения про гибов в виде, аналогичном в случае круглой пластины

i = c ( l _ p * ) * f	(3,11,28)
п

где с — варьируемый параметр. Типичная зависимость представлена на рис. 3.25 (пунктир) и численное решение — сплошные линии.

Из сравнения видно, что при малых высотах купола согласие хоро шее, однако уже при Я =4А приближенное решение теряет смысл. Ука занное расхождение определяется тем, что функция (3,11,28) не описы вает реальной формы упругой поверхности оболочки. Как видно из

рис. 3.22, при Я>4,5Л величина ы0> 0 . Это значит, что на первой стадии

нагружения кривизна купола в центре увеличивается и упругая линия дуги меридиана (рис. 3.26) принимает форму кривой а, сильно отли чающейся от б, задаваемой выражением (3,11,28). Образование выпук лости видно на рис. 3.27, где дана зависимость w 0/h от qo при больших Я/А.

Рассмотрим процесс во времени. Пусть формы деформирования симметричны. Перепишем (3,11,22), введя в них силы инерции и члены с линейным затуханием:

pY" + 4r'--X = e(Je.p + _Le)I

(з.п,29)

16 П. М. Огнбалов. М. А. Колтунов

р0" + 0' — — =	— 12(1 — v2) 'F	Р + в )+ 6(1	v2) <7оР2 +
	Р		(3,11,30)
+	x jir p d p + 1 2 (1		(3,11,30)
	О
	Т = t v	gE_	(3,11,31)
	Т = t v	уа2	(3,11,31)

Рис. 3.26

Здесь W = w / p — безразмерное осевое перемещение, х — неопределен ный пока коэффициент затухания, у — удельный вес материала оболоч

ки, точка означает дифференцирование по безразмерному т. Примем

	W =	A 1W 1 + A 2W 2 + A 3w 3,	(3.11.32)
где А и А 2, А 3 — параметры,' зависящие от времени,
^ i =	( l - P	2)2, Г 2 = ( 1 - р 2)2 ( 1 - 6 р 2),	(3.11.33)
W 3 =	(1 — р2)2 (1 — 14р2 + 28р4).		(3.11.33)
W 3 =	(1 — р2)2 (1 — 14р2 + 28р4).

Соответствующие кривые даны на рис. 3.28. Функция 0 определяется

как производная от W, т. е.

0 =	AjQi -р Л202 -{- Л303,
01 = 4 ( - р +	р3), 02 = 4 ( - 4р + 13р3 - 9р5),	(3,11,34)

03	= 4 (— 8р + 57р3 — 105р5 + 56р7).
Из уравнения (3,11,29)	находим
Y = ~ ~ № + № + № + № и +		+
+ A lW зз + Л12¥ 12 + А гА з^13 + А 2А3У гз,		(3,11,35)

где

4's - 4 ^ - p > + - ^ p

- - i l p

- ^ p . ) ,

т “

= 8 (a“,J + Т

1Р* -

1 Г 1р‘ + -Те

р’)-

= 8 (а„{, + 8р*-

38р> +

р»_

т р П

_ 70рИ+ |4р»),

f „

= 16 ( o r f

+ - L р» -

-£■ р М -

-£■ р’ -

Р *),

V «

16 (о„р +

р* -

- f j - Р* +

- f - р’ -

f -

Р* +

р“ ) ,

^ - 16

( о * , + 4р» -

- f

P M -

р’ —

f - Р* +

р“ - З р»),

Постоянные а^ подбираются из условия

p=i = 0.

Подставляя (3,11,34) в (3,11,35) для 0 и 4я в уравнение (3,11,30) и умножая все члены последовательно на 0ь 02, 0з, производим интегри рование по р от 0 до 1. Получаем три уравнения:

Аг -(- + L (^1, ^2, -^з) — 0»

A -f *А + L2 (А, Л , А3) = 0,

(3,11,36)

А + иЛ2 + L3 (А> А> А) = 0,

где Lu L2 и L3— многочлены третьей степени относительно А и А2 и Л3. Функции Wu W2 и №3 из (3,11,33) построены таким образом, что

1 р

WfidpJ 0До = 0, i =^= /.

(3,11,37)

о о

Вследствие условия (3,11,37) в уравнениях (3,11,36) остаются соответ ственно члены с А\ и А\ в первом уравнении, А2, Л2 во втором и Л3, Л3 в третьем.

Для четвертого приближения W4 имеет вид
	V4 = (1 — Р2)2 (1 + ар2 + Ьр* + Ф5)
и постоянные а,	Ьу с подбираются в соответствии			с условием			(3,11,37).
Наиболее трудоемкие вычисления связаны			с Lu Ь2 и L3, но их де-
ро	лает машина, поэтому число парамет
	ров А можно брать большим.
	Проинтегрируем				(3,	11,	36). Обо
	значим
	А — % >			А и	—2 ,		— и А 3	3.
	Тогда
	ДА —u-i&x,		ДА	- ы^Дт,		ДЛ3 = ц3Дт,
	Ди2 = (— хи1— Lx) Дт,						(3,11,38)
	Д«2 = (— хы2 — L2) Дт,

	Ды8 = (— ш 3— Ls) Дт.
	Пусть qo есть заданная функция вре
	мени. Примем qo= qo т,					где qo — по
	стоянная,	выбранная			достаточно			ма
	лой, чтобы	нагружение				можно		было
	рассматривать как статическое.

Вопрос о ^0 и Дт решается, исходя из периода собственных колеба ний оболочки. Ее легко определить, если в L ly L2, L3отбросить нелинейные

члены. В данном случае <7о=1. Дт=0,001. При т= 0

— и2 :—■Ug = 0,			J4J А2 ==А3 ■- 0.
Из (3,11,38) находим последовательно
Д А , Д А . Д А	. А	-	А ДгД. . АД «.2. Д « з и т. д.
и строим зависимость между	—	и q0. Для #//г = 4 и Я/Л = 8 зависи

мость показанана рис. 3.29 и 3.30. При первой критической нагрузке прогиб быстро растет (хлопок), который сопровождается колебаниями около нового положения равновесия. Для полного изображения физи ческой картины введено затухание. В данном случае х=3. При раз-груз* ке происходит обратный хлопок, сопровождающийся также колебания ми. На рис. 3.31 для сравнения представлены кривые графика рис. 3.24 и найденная зависимость. Совпадение даже при трех параметрах

хорошее.

Введя фактор времени, приходим к однозначности, определяемой историей процесса, нелинейность задачи практически не создаёт труд ности.

Если не вводить фактор времени и отыскивать обычным методом возможные формы равновесия, то (3,11,36) следует рассматривать ина

че. Полагая А 1=А2=А3 = 01получим систему трех кубических уравнений L, (Ль Л2, Л3) =0, Ц(Аи Л2, Л3) =0, L3= (Ль Л2, Л3) =0,

которая должна решаться при различных qo. Но эти задачи гораздо

труднее, а с увеличением числа параметров Лгтрудность быстро воз растает.

Предложенный метод от этого недостатка свободен. Наконец, не нужно связывать себя ни с каким критерием устойчивости. В зависи

мости от расчетов можно принять за предельное состояние то, при ко тором появляются пластические деформации, либо начинают быстро расти перемещения, либо снижается несущая способность и т. д.

В.МЕТОД СЕТОК

§12. УРАВНЕНИЯ В КОНЕЧНЫХ РАЗНОСТЯХ

Споявлением быстродействующих вычислительных машин для ре шения дифференциальных уравнений теории пластин и оболочек широ кое применение нашел метод сеток. При применении метода сеток диф ференциальное уравнение заменяется уравнением в конечных разно стях, которое получается из дифференциального уравнения путем за мены в нем производных и ворбще дифференциальных операций их приближенными выражениями через разностные отношения или значе ния функции в отдельных точках. Эти точки задаются узлами сетки,

налрженной определенным	образом	на область задания функции.
В связи с тем что теория	пластин	и оболочек приводит к неоднород

ным бигармоническим уравнениям, рассмотрим метод построения ко нечно-разностного уравнения, соответствующего неоднородному бигар^- моническому уравнению. Начнем с напоминания некоторых положений

теории конечных разностей [114].	ап независимой пере
Пусть даны произвольные значения а0, аь	ап независимой пере
менной х и соответствующие им значения	*/о = /(яо), y \ = f ( a\)>

..., yn—f{an)• Рассмотрим разностные отношения, построенные по сле дующему закону:

/ {fhflo) =	/ ( ° l ) — / (а о ) .
	ai — OQ
f(a2a1) =	/ Ы - / Ы .	(3,12,1)
	а2— fli
/ (а3а2) -	/ (аз) - / (аа)
	Аз — Ag

И т. д.

Выражения (3,12,1) называют разностными отношениями первого по

рядка. По ним	образуем разностные отношения второго порядка:
		/(а,, а , , - , ) -				А3 — «О			,
						А3 — «О
	/(а3, а2,а х) =			f	~ ^(aa0l) - и т. д.						(3,12,2)
					а3 — ах
Соответственно по выражениям (3,12,2)							образуем разностные отно
шения третьего порядка:
	На,. а„ а„ щ) =					Аз — Ао				_
						Аз — Ао
/(а4, а,, а,, ах) =			/(а4' аз’а2) - /(аЗ’а2'- 1-Ь и т. д.								(3,12,3)
					• А4 — а1
Наконец, образуем по (3,12,3) разностные отношения четвертого
порядка:
f / s t	„	^ ^		/ ( fl4. а 3 ,		а 2, fll)	—	/ ( fl3i	° 2 , Я1»	До)
/ Va4»	а3»	Ui, a0; ------------------------------ ----------- ,
						A4— AQ
f(a5, a4, a3, a2, a j =			/(g*’		*з,				**. %)_	и т. д> (3(12)4)
						a 5 — a i
Для равноотстоящих значений аргумента-
	Яо>	®i = ^o4-h, й2 = йо"Ь2Л, ...,					ап= d o tih
разностные отношения можно записать в следующем виде:
	/ К , flo) =		Д'/e .		/(a« .ai)=			д1 ;
	/ К , flo) =		h	'	/(a« .ai)=			д1 ;
			Д2<л> .		А К	а,, ах) - 2) Л ,
/(fll.Oi, «о) = •2! Ла				’	А К	а,, ах) - 2) Л ,
/ (a3. ^2> #i> ao) =			Д3Уо .		f(ai,a3,a2,a1) =
/ (a3. ^2> #i> ao) =			3! Л3	’	f(ai,a3,a2,a1) =				3! /г
/ (^4) ^3» #2»		AQ) —	Д4Уо .		/ (ai> а4» Д3» а2» ai)					>	(3,12,5)
/ (^4) ^3» #2»		AQ) —	4! Л*	’	/ (ai> а4» Д3» а2» ai)					>	(3,12,5)
Согласно Ньютону [111] будем искать полином степени п, который
при значениях	аргумента		а0, щ,		аг,	..., ап		принимал		бы	значения
г/0=/(ао), У\=Ца\),		..., yn—f(cin). Для				построения полинома будем счи-

тать, что разностные отношения порядка п для полинома степени п постоянны.

Для примера найдем полином третьей степени, принимающий зна чения f(ah) в заданных четырех точках а0, аь а2, я3. В силу постоянства разностных отношений имеем

/(•*> а0, alt а2) = f(a0, аг, а2, а3).

Используя (3,12,3), можно записать, что

И	х .	о , , а , ) =	/ ( « . » . ■
откуда			х — а2
откуда
f (х, а0, аг) = / (а0, д„ а2) — (х — а2)/ (х, а0, av а2) =
=	f («о» я,, а2) + (.г— а2)/ (я0, а,, а2, а,,).			(3,12,6)
В силу (3,12,2) можно записать
			х — а0
f (х, а0) =		/ (д0, ах) тЬ (х — аг)/ (х, а0, а,) =
= / (я0. а,) + (х —а,) f (а0, аъ а2) +			(х —аг) (х — д2) / (а0, а,, а2, а3).

Так как

/(*) = / (а,,) — (х — я0) / (л:, д0).

то для искомого полинома третьей степени получим

f(x) = f (а„) + (х — я0) / (а,,, ях) + (х — я0) (х — дЛ/ (До, а,, <ц) +

+ (х — а0) (х — аг) (x — a j f (д0, а,, а2, а3).

(3,12,7)

Если провести аналогичные рассуждения для полинома степени п в задаче с п -\-1 узлом интерполяции, то получим

/ (х) = / (а0) + (х —д„) / (д„, ах) + (х — а0) (х — ах) / (а0,	я2) +	... +
+ (х — Д0)(х —я,)(х —а2) ... (х — an_ x)f{a0, дх,	,ал).	(3,12,8)

Если функция Дх) есть полином степени не выше п, то интерполирующий полином точно совпадает с интерполируемой функцией. В против ном случае существует разница между функцией f(x) и интерполирую щим полиномом, т. е.

f (х) = Рп {х) + Rn+1(х),

(3,12,9)

где рп {х) — выражение (3,12,8), a Rn+\(x) —остаточный член. Оценку величины Rn+\{x) можно найти в [115]. Не делая подробных выкладок для случая, если ak не равностоящие точки, запишем окончательное вы ражение интерполирующего полинома п-й степени:

f (х) = f (aQ) +	ао/ (а0ах) ^j- а0аJ (а0, alt а2) +		+
+ а0ах ...	ал-1 /(а0> alf ...	, ап) + Rn+\ (дс),	(3,12,10)

Рассмотрим теперь вопрос о выражении производных через разно стные отношения. Эта задача решается следующим способом. Строится соответствующей степени полином по известным точкам ак (3,12,9), за тем отбрасывается остаточный член Rn+i (*) и вычисляются от этого полинома без остаточного члена производные нужного порядка:

? (х) =	/ (<30ai) + (а0 + ах) / (ао<аъ аа) +
+ (а0а1+	аоа2+ а1аг) f (ао>Ои аз>аз) +	(3,12,11)

Г (*) = / (ао. вх. <h) + («о + <*1+ а2) / (а0. аъ «2. аз)

+ (аоа1+ аоа2+ ао“з + Оха2 + aias + а2«з) / (а0, alt а2, а3, а4) +

и т. д. Чтобы получить выражение производных через значения в узлах сетки, положим х = а0, где а0— узел сетки. Полагая в (3,1-2,11) ак = = а0—ак и ао= 0, получим

/' Ы = f (aoai) + aif (а0, ах, а2) г)-	(а0, av	а2, а3) +
Г Ы = / (а0, ах. <h) + («х +	а2) / (а0. ai>«г. аз) +
(а1а2“Ь а1а3+ а2а3) / (^0>а1>^2>Аз, А4) +		И т. д. (3,12,12)

6 2 5

// 3 D 1 9

7 4 8

Все 'вышесказанное легко обобщается и на случай функции п переменных.

Перейдем к задаче нахождения конеч но-разностного уравнения, соответствую щего бигармоническому уравнению

d*W	.	о	d*W .	0%	Г/ V /о 1П Ю\
- s r	+	2 s	^ +	—0/	(3-\|2 ’13)

Замена дифференциальных уравнений мо

12жет быть выполнена разными способами. Рассмотрим здесь способ замены производ ных, входящих в уравнение, линейными

Рис. 3.32	комбинациями значений функции шг(х, у)
Рис. 3.32	в узлах квадратной сетки с				шагом h
	(рис.	3.32).	и	симметрии	уравнения
В силу симметрии расположения узлов			и	симметрии	уравнения
относительно х и у	будем искать его аппроксимацию в виде
	4	8 *		12
J£w0 = C0w0+		wl -f- С2 Л	+	С3 ^	(3,12,14)
	i=1	i= 5		i= 9

где — конечно-разностный оператор, соответствующий бигармониче скому оператору, С*— константы, — значение функции в точке i (см. рис. 3.32). Если w(x, у) имеет производные шестого порядка, то разложение по формуле Тейлора дает

wi + w2 +• % + ^4 = 4^о + h2(w*x%+ w'y9)о +	Л4	(w\Y + ^Y)0 + Я(1),
	12

Я(1)|< 4Mehe

-»

d2w

dPw

d*w

d4w

W_, = —---_

дЦ*~’

wiy.=

W™=^y*T’

*г~

wb+we+Wi +wB= 4w 0 + 2/г2 (w’x, + %.)0+ ^ К

+ 64 v

+ ш™)о + Я(2>,

где

4 ■26M6/i6

d4^

Ri2)

л2!/2

dx2dr/2

^9 + W10+

wn + Щъ = 4^0 + 4А2 (аГ2+ оГ2)0 +

24/i4

+ ^ ) о + « (3).

(3,12,15)

где

4 • 2»M6ft8

|Я(3)|<

Здесь везде Мв означает

Мл

- шах • dew

d6w

дхв ’

dx3d//3 1

д(/6

Подставляя выражения (3,12,15) в (3,12,14), получим

££WQ =

(с0

4сг + 4с2 +

4с3) w 0 + h2 (сх +

2с2 + 4cs) (wxt -f- w yt)0 +

™ fa + 2C2 + 16c3) (w% + <Y)o +

6c, «

у,)о + Я. (3,12,16)

где

R = £<» + RW+ RW.

Чтобы разностный оператор X w0 аппроксимировал бигармонический оператор, нужно потребовать выполнения условий

		с0 + 4 (C-L+ с2 + с3) = 0,
			ci ~Ь 2с2+			4с3 =	0,
		(сх 4- 2с2 +		16с3) — 1,			h4c2 — 2.			(3,12,17)
Решая систему (3,12,17), получаем
		20		8			2		1	(3,12,18)
	С° “	h4 ’	Cl ~	/I4	’	2	Ь4 '	3	h4 '	(3,12,18)
	С° “	h4 ’	Cl ~	/I4	’	2	Ь4 '	3	h4 '
Отсюда следует, что
<£W 0 =	---------- 7- ( ^ 1		+ ^ 2 +	^ 3	+	^ 4) +	"7 " ( ^ 5	+	+ W 7 + ^ в ) +
	/i4	h4					л
	+ 4г к	+ и»ю+ wn +				+	2®УУ‘ + w™+ R>
	п*
	IR I< — I-		8Ril) + 2R(2) + R{3)I<					Meh\

Следовательно, разностное уравнение

20о>0 — 8 (ш, + да2 + Щ + ад4) + 2 (ш5 + шв + ш7 + оу8) +

+ (®д +

+ wn rh ^ 12) = А4/о

(3,12,19)

аппроксимирует уравнение (3,12,13) с точностью до /г2.1 Аналогично строятся разностные уравнения и для других видов сеток (треугольная, шестиугольная и т. д.).

Исходные дифференциальные уравнения желательно аппроксимировать во всех узлах сетки однотипными разностными отношениями симметричной структуры. При этом в зависимости от порядка высшей производной уравнения и принятой погрешности аппроксимации приходится вводить один или два ряда законтурных точек.

Значения функции в этих точках выражают,через ее значение в предконтурных, используя краевые условия задачи, а иногда прием экстраполяции. Рассмотрим некото рые из формул для определения функции прогиба в законтурных точках в случае пла стины при граничных условиях защемления и свободного опирания.

. ■■■ ■ — •----	• — •-----		•	•	----- •---------------
i~ 3 L ~2 L~1		i	i+ f		i+3
		Рис. 3.33
Пусть точка i рис. 3.33 принадлежит			контуру, точки i— 1, i—2, i—3 расположены
внутри области (предконтурные), а точки			i + 1, i+'Q		расположены вне области (закон
турные). Условие защемления в точке i		имеет вид

Полагая

дх

Щ= 0,	(3,12,20)
1	w'" (\|) = 0
— (даг+i — Ш£-а)	w'" (\|) = 0
	6

и пренебрегая величиной /г2/ 6 iw'"(g) по сравнению с —— w ^ l9 получим
					2h
			Wi+i = W£-1.				(3,12,21)
Если для производной воспользоваться 4-точечным выражением вида
dw	l ~~	6h (Wi~2—		4- Зщ +	%WL+I) 4*
дх	l ~~	6h (Wi~2—		4- Зщ +	%WL+I) 4*	^ V (?) = 0»
то, пренебрегая остаточным членом			~ h 3 и учитывая, что а»,- =			0, получим
		Щ+1= 3Wi-i — 0,5ш£_2.					(3,12,22)
Наконец, записывая производную в узле i через значения w в пяти точках, полу
чим
dw I	1
	~m	(~ “-• *■6“'4-2~		18ш/-1 * 10щ *		—	wМ 9 = °.
Отсюда, пренебрегая остаточным членом				~ Л 4 и учитывая, что шг =			0, имеем
		Wi+i =	6a/j-x— 2ш;_2		-j - wi-з.		(3,12,23)

<<< < Предыдущая 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 2425 / 7025 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке книги

#
13.11.202322.72 Mб0Обнаружение и исправление ошибок в дискретных устройствах..pdf
#
12.11.202312.6 Mб19Обнаружение, распознавание и пеленгация объектов в ближней локации..pdf
#
19.11.202329.24 Mб0Обобщенная нелинейная модель учета рассеяния энергии при колебаниях..pdf
#
12.11.202312.55 Mб0Обобщенная теория анизотропных оболочек..pdf
#
12.11.202317.06 Mб14Обогащение полезных ископаемых..pdf
#
19.11.202371.66 Mб19Оболочки и пластины..pdf
#
12.11.202321.81 Mб6Оборотное водоснабжение химических предприятий..pdf
#
12.11.202316.36 Mб4Оборудование для добычи нефти и газа. Т. 1.pdf
#
19.11.202328.38 Mб8Оборудование для добычи нефти и газа..pdf
#
19.11.202335.36 Mб138Оборудование для дуговой электрической сварки. Источники питания дуги.pdf
#
12.11.202312.57 Mб0Оборудование для подготовки материалов..pdf