книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем.-1

На втором этапе в соответствии с приведенным правилом по графу работоспособности изделия составить систему дифференциальных уравнений, описывающих функционирование объекта.

На третьем этапе решаются уравнения системы и находятся искомые вероятности пребывания объекта в состояниях его работоспособности. Очевидно, что в рассматриваемом примере коэффициент готовности равен вероятности застать ответ в одном из трех работоспособных состояний:

Решение системы может быть выполнено известными способами. В дальнейшем используется способ, основанный на преобразованиях Лапласа, переводящих систему дифференциальных уравнений в систему алгебраических уравнений:

Из системы алгебраических уравнений находятся вероятности пребывания системы в состояниях Pi (Z ) . С помощью обратных пре-

образователей Лапласа полученные вероятности Pi (Z ) приводят

кискомому виду Pi (Z ) .

Вслучаях когда вероятности состояний являются постоянными, что характерно для установившегося режима работы, достигаемого в практике сравнительно быстро при существующих соотношениях ω(t) и λ(t) , система уравнений (2.105) становится системой ал-

гебраических уравнений, так как в этом случае dPi (t)dt = 0.

91

и необходимым для закрытия системы, поскольку ни одно из предыдущих уравнений не учитывает начальных условий.

Решение системы (2.108) позволяет определить установившийся коэффициент готовности. Рассмотрим порядок расчета на более конкретном примере.

Пример 2.6. Пусть необходимо определить надежность изделия, не имеющего резервирования, с заданными интенсивностями переходов – параметров потока отказов

ωω = const и интенсивностью восстанов-

Описание графа по приведенному правилу дает следующую систему уравнений вида (2.107):

ZP1(Z ) − P1(0) = −P1(Z )ω+ P2 (Z )µ,

ZP2 (Z ) − P2 (0) = P1(Z )ω− P2 (Z )µ.

Учитывая, что в момент включения t = 0 система должна быть исправна (P1(0) =1, P2 (0) = 0), получаем:

ZP1(Z ) + P1(Z )ω− P2 (Z )µ =1,

ZP2 (Z ) + P2 (Z )µ− P1(Z )ω= 0.

92

Отсюда

P2 (Z ) = PZ1(+t)µω,

(2.109)

= Z +µ

P1(Z ) Z (Z +µ+ω) .

Обратное преобразование вероятности P1(Z ) требует приведения ее к табличному виду. Для этого умножим и разделим P1(Z ) на

(ω + µ):

Отсюда, учитывая, что 1/Z соответствует 1(t), а 1(Z +ω+µ) соответствует e−(µ+ω)t , получаем:

Анализом полученного выражения устанавливаем, что P1(t) при t ∞ не может быть ниже величины µ(ω+µ) . Эта постоянная часть и является стационарным коэффициентом готовности изделия:

процесс длится 3÷4 Тпэ, после чего наступает установившийся режим.

Пример 2.7. Пусть ω = 10–2 1/ч, а µ = 1 1/ч. Тогда

Тпэ = 1+101 −2 ≈1ч.

93

Следовательно, переходный процесс длится 3 4 ч, а далее надежность системы определяется стационарным коэффициентом готовности:

На рис. 2.24 приведен график зависимости коэффициента готовности от времени.

K

1

t

Рис. 2.24. График зависимости коэффициента готовности от времени

2.3.3. Определение среднего времени наработки на отказ системы с восстановлением

Время наработки на отказ (подразд. 2.1.1) определяется как

∞

T = ∫P(t)dt .

0

В то же время преобразование Лапласа определяется следующей формулой [2]:

т.е. при Z = 0 Т = P(Z).

94

Рассмотрим систему из двух восстанавливаемых блоков, один из которых основной, а другой – резервный. Перепишем систему

Среднее время наработки на отказ всей системы T =T1 +T2 +T3 , так как 1, 2, 3 – состояния работоспособности.

Пример 2.8. Пусть

Среднее время наработки на отказ

T=T1 +T2 +T3 = 5150 ч.

2.3.4.Расчет надежности систем с восстановлением при основном (последовательном) и параллельном

соединении элементов

Рассмотрим методику, приведенную в подразд. 2.3.2, для различных видов соединения элементов. Возьмем систему, состоящую из двух образцов оборудования, соединенных последовательно так,

95

что отказ любого из них приводит к отказу всей системы (рис. 2.25). Для простоты предположим, что каждый образец имеет одинаковую интенсивность отказов ω и интенсивность ремонтов µ.

Предположим, что у нас имеется один ремонтник. Составим граф переходов системы (рис. 2.26).

Обозначим:

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны; 1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой

ремонтируется; 2 – состояние системы, когда оба образца неисправны, один

ремонтируется.

Из состояния 0 система может перейти в состояние 1 с интенсивностью отказов 2ω. Из состояния 1 система может перейти в состояние 0 с интенсивностью восстановления µ и в состояние 2 с интенсивностью отказов ω. Из состояния 2 система может перейти в состояние 1 с интенсивностью восстановления µ.

Запишем по графу переходов систему дифференциальных

Будем искать решение только для установившегося значения. Тогда система дифференциальных уравнений перейдет в систему линейных уравнений:

96

Отсюда коэффициент готовности

Пример 2.9. Пусть ω = 102 1/ч, µ = 1 1/ч. Определить коэффициент готовности:

Вобщем случае, если у нас имеется n образцов оборудования

иодин ремонтник, справедлива формула:

В качестве другого крайнего случая рассмотрим систему, когда количество ремонтников равно количеству образцов оборудования. Пусть на оба образца имеется два ремонтника. Составим граф перехода системы (рис. 2.27):

0– состояние системы, в котором оба образца исправны;

1– состояние системы, когда один образец исправен, а другой ремонтируется;

2– оба образца неисправны и ремонтируются.

97

дать, так как для каждого образца имеется свой ремонтник и Kг каждого образца не зависит от Kг остальных.

Рассмотрим систему из двух образцов оборудования, соединенных параллельно (рис. 2.28). Как уже указывалось, в этом случае отказ системы наступает только при отказе всех элементов системы.

Предположим, что у нас имеется один ремонтник, который сразу начинает ремонтировать отказавший элемент.

Составим граф переходов системы (рис. 2.29):

0– состояние системы, в котором оба образца исправны;

1– состояние системы, когда один образец исправен, а другой ремонтируется;

2– оба образца неисправны, один ремонтируется.

Запишем по графу переходов систему уравнений для установившегося значения:

0 = −2ωP0 +µP1,

0 = 2ωP0 −(ω+µ)P1 +µP2 ,0 = ωP1 −2µP2 ,

1 = P1 + P2 + P3.

Решив систему, получим:

99

Коэффициент готовности

Имеется довольно многочисленный класс систем, в которых обслуживание невозможно начать до наступления полного отказа системы. Это может произойти, если контролируется только выход из строя всей системы, а не отдельных образцов оборудования. Допустим, у нас имеется 2 образца оборудования, соединенных параллельно. После того как откажет вся система, два ремонтника начинают ремонтировать каждый свой элемент.

Составим граф переходов системы (рис. 2.30):

0 – состояние системы, в котором оба образца исправны; 1 – состояние системы, когда один образец исправен, а другой

неисправен, но не ремонтируется; 2 – состояние системы, когда оба образца неисправны и ремон-

тируются.

2ω ω

2µ

Рис. 2.30. Граф переходов системы

Запишем по графу переходов систему уравнений для установившегося значения:

100