книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем.-1

Поэтому f (t) можно рассматривать как среднее число отказов

в единицу времени непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент из множества всех объектов, поставленных на испытания. В связи с этим f(t) на практике обычно называют частотой отказов.

6. Интенсивность отказов λ(t) определяет вероятность возникновения отказа в момент времени t с учетом числа объектов, работоспособных к моменту времени t:

Поэтому λ(t) можно рассматривать как среднее число отказов

в единицу времени непосредственно после момента t, приходящееся на один элемент, из всех объектов, продолжающих работать к этому моменту t. Отсюда видно, что λ(t) характеризует надежность объекта в момент t, этим и объясняется более широкое применение на практике данного показателя. Поскольку на практике единицы времени достаточно велики (при испытаниях ∆t может достигать нескольких десятков часов), в числителе стоит усредненное число работоспособных изделий на начало и конец интервала времени ∆t.

7. Среднее время наработки на отказ T определяется как математическое ожидание времени до отказа:

41

Дисперсия характеризует величину разброса наработки относительно среднего значения:

где Ti – время отказа i-го объекта.

Пример 2.1. Пусть на испытания было поставлено 35 объектов. Количество отказавших объектов подсчитывали каждые 2 ч. В результате получился следующий ряд значений:

42

Среднее время наработки на отказ

T = (2 3 + 4 3 + 6 5 + 8 8 + 10 7 + 12 6 + 14 2 + 16 1) / 35 ≈ 8,52.

Следует обратить внимание, что при расчете среднего времени наработки на отказ число отказавших элементов на данном интервале умножается не на время, соответствующее концу интервала, а на время, соответствующее началу. Действительно, обратившись к исходной таблице, мы видим, что за период с 0 до 2 не отказал ни один элемент. С 2 до 4 ч отказали 3 элемента. Эти три элемента не проработали 4 ч. Все, что мы можем сказать, это то, что они проработали 2 ч и, возможно, еще некоторое время после этого. Поэтому эти три элемента входят в выражение для подсчета среднего времени наработки на отказ с временем работы 2, и, таким образом, оценка получается несколько заниженной.

Дисперсия

Dt = (6,522 3 + 4,522 3 + 2,522 5 + 0,582 8 + 1,482 7 + 3,482 6 + 5,482 2 +

+7,482) / 35 ≈ 12,193.

σt = 12,193 ≈ 3,49 .

44

2.1.2.Законы распределения случайных величин, используемые в теории надежности

Использовать надежностные характеристики объекта, заданные

ввиде таблицы, весьма неудобно. В теории вероятности существуют различные законы распределения случайных величин, выраженные

ваналитической форме [2]. Поэтому в теории надежности принято аппроксимировать статистические результаты эксперимента одним из таких законов распределения. Данная задача решается с помощью теории гипотез и соответствующих критериев достоверности. В настоящей главе этот раздел теории вероятности не рассматривается. Поскольку цель данного параграфа – изучить типовые законы распределения, используемые в теории надежности, в примерах приводятся только специально подобранные статистические выборки, числовые характеристики которых адекватно отражают исследуемые законы распределения. Рассмотрим наиболее распространенные законы.

Показательное (экспоненциальное) распределение

Показательное распределение характерно тем, что интенсивность постоянна (λ = const). Отсюда

P(t) = e−λt , Q(t) =1−e−λt , f (t) = λe−λt ,

Примерный вид соответствующих кривых показан на рис. 2.2.

λ(t)

f(t) P(t)

Рис. 2.2. Примерный вид основных показателей надежности при экспоненциальном распределении

45

Показательное распределение применяется на практике очень широко. При этом отказы элементов рассматриваются как пуассоновский поток отказов, обладающий следующими свойствами: простейший (время между отказами распределено по экспоненциальному закону), ординарный (два события не могу произойти в один и тот же момент времени), стационарный без последействий.

Некоторые данные об интенсивности отказов компонентов вычислительных систем приведены в приложении.

Пример 2.2. Пусть в результате испытаний получены следующие значения:

Проведя расчеты λi, видим, что λi ≈ 0,05 и не зависит от ti. Следовательно, можно сделать вывод, что закон распределения надежности данного объекта является экспоненциальным, при этом λ = 0,05. Тогда Т = 1/λ = 20 ч. Найдем Р(t) и Q(t) за 30 ч соглас-

но (2.16):

Р(30) = е–0,05 30 = 0,223, Q(30) = 1 – P(30) = 0,777

и за 100 ч:

Р(100) = е–5 = 0,067, Q(100) = 1 – P(100) = 0,9933.

В теории надежности существует правило: считается, что распределение экспоненциальное, если результаты эксперимента явно этому не противоречат.

Экспоненциальное распределение дает завышенное значение числовых характеристик рассчитываемой случайной величины (например, времени наработки на отказ).

46

Усеченное нормальное распределение

При нормальном (гауссовом) распределении случайной величины ось абсцисс имеет протяженность от –∞ до +∞. Поскольку время t не может быть отрицательной величиной, в теории надежности используется усеченное нормальное распределение.

Усеченным нормальным распределением случайной величины называется распределение, получаемое из нормального при ограничении интервала возможных значений этой величины.

Основными параметрами для нормального распределения являются: Т – среднее значение наработки на отказ, σt – среднеквадратическое отклонение:

деления. Значения Ф(и) приведены в литературе. При этом Ф(–и) = = 1 – Ф(и),

Значения θ(и) приведены в литературе. При этом θ(–и) = θ(и),

f(t)

Рис. 2.3. Примерный вид основных показателей надежности при усеченном нормальном распределении

47

Нормальное распределение может использоваться при исследовании надежности объектов, отказы которых обусловлены действием какого-то одного доминирующего фактора.

Пример 2.3. Пусть параметры нормального распределения

Т = 100 ч, σt2 = 1000 ч2. Найти Р(70), Q(70), λ(70), P(130), Q(130), λ(130). Из формул (2.17)–(2.19):

Усеченное нормальное распределение дает заниженное значение числовых характеристик рассчитываемой случайной величины (например, времени наработки на отказ).

Распределение Вейбулла

Основными параметрами распределения Вейбулла являются λ0 – масштаб кривой по оси абсцисс и α – острота и асимметрия распределения. Обычно берут 1 ≤ α ≤ 2 (см. рис. 2.3).

48

При α = 1 распределение Вейбулла переходит в экспоненциальное. Примерный вид соответствующих кривых дан на рис. 2.4.

Рис. 2.4. Примерный вид основных показателей надежности при распределении Вейбулла

С законом Вейбулла хорошо согласуется время безотказной работы качественных полупроводниковых приборов.

Пример 2.4. Пусть λ0 = 0,05, α = 1,5. Определить Р(10), Q(10), λ(10), P(100), Q(100), λ(100). По (2.20):

P(10) = e−(0,0510)1,5 = 0,702,

Q(10) = 1 – 0,702 = 0,298, λ(10) = 1,5 0,05 100,5 = 0,237,

P(100) = e−(0,05100)1,5 = 0,0000139,

Q(100) = 0,9999861, λ(100) = 1,5 0,05 1000,5 = 0,75.

Гамма-распределение

Гамма-распределение имеет те же параметры, что и распределение Вейбулла – λ0 и α. Форма кривых Р(t), f(t) и λ(t) также аналогична форме кривых при распределении Вейбулла:

49

где Г(α) – гамма-функция, для которой имеются соответствующие значения. Однако гамма-распределение чаще всего описывает распределение времени безотказной работы резервированных изделий, при этом параметр α равен суммарному качеству объектов, поэтому чаще всего α – целое число. При целом α

При α = 1 гамма-распределение переходит в экспоненциальное, а при больших α – в нормальное.

Примеры областей применения законов распределения времени безотказной работы

технических изделий

На практике обычно при расчете параметров надежности технических систем используют экспоненциальное распределение. Это обусловлено тем, что для правильно организованных (т.е. отвечающих стандартам отрасли) этапов изготовления и эксплуатации изделий (подразд. 2.1.3) результаты вычислений удовлетворяют требованиям практики, при этом математические формулы комплексной оценки показателей надежности для экспоненциального распределения значительно проще, чем для остальных законов распределения случайных величин.

50