книги / Надежность и диагностика компонентов инфокоммуникационных и информационно-управляющих систем.-1

На первом этапе, как уже говорилось, рассчитывается k – число ячеек ОРС ИП, в предположении об идеальной надежности ячеек.

Рассмотрим процесс обслуживания заявок ОРС ИП. Этот процесс является марковским, т.е. для каждого момента времени вероятность любого состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние [1]. Пусть для данной системы λ – плотность потока заявок, а µ – плотность потока освобождений. Введем понятие приведенной плотности потока заявок α, где

Тогда, в соответствии с формулой Эрланга,

где n – количество каналов обслуживания системы.

Qобс выбирается на основе формулы (2.82) в каждом случае по своим конкретным соображениям, в зависимости от того, что важнее – повысить вероятность обслуживания идеального преобразователя или повысить вероятность того, что заложенного в систему резерва окажется достаточно.

Таким образом, зная плотности потока заявок и потока освобождений и задавшись Qобс, можно рассчитать n. Если считать, что в среднем на формирование канала требуется a ячеек, то требуемое число ячеек идеальной ОРС ИП

На втором этапе рассчитывается r – число резервных ячеек ОРС ИП, в предположении того, что ячейки ненадежны. Методика расчета является многошаговой и основана на переборе.

81

Для пуассоновского потока вероятность того, что число отказов за время tзад будет не больше r,

Методом перебора находим такое количество резервных ячеек r, при котором вероятность выхода всех резервных ячеек из строя меньше заданной.

Проиллюстрируем данную методику примером. Пусть требуется определить количество ячеек w при следующих исходных данных: плотность потока заявок λ = 100 1/с, плотность потока освобождений µ = 50 1/с, среднее количество ячеек на канал a = 10, вероятность отказа системы Qзад = 0,001, интенсивность отказов ячейки и связанной с ней коммутационной аппаратуры λяч = 10–4 1/с, заданное время tзад = 1000 ч.

В соответствии с алгоритмом определяем, что для нас важнее: повысить вероятность обслуживания идеального преобразователя или повысить вероятность того, что заложенного в систему резерва окажется достаточно. Предположим, обе вероятности важны одинаково. Тогда Qобс = Qяч. = Qзад/2 = 0,0005 и, соответственно форму-

ле (2.87), Pяч = 0,9995.

На первом этапе рассчитывается число ячеек ОРС ИП, состоящей из абсолютно надежных элементов. По формуле (2.85) подбираем нужное количество каналов

n = 7.

Тогда требуемое количество ячеек без учета вышедших из строя в соответствии с формулой (2.86)

k = an = 70.

82

На втором этапе рассчитывается число резервных ячеек r ОРС ИП, состоящей из ненадежных элементов.

Интенсивность отказов системы λΣ в предположении об экспоненциальном распределении наработки на отказ равно сумме интенсивностей отказов элементов системы:

Предположим, что в систему не добавлено ни одного резервного элемента, т.е. r = 0.

При r = 0

Вероятность того, что на заданном интервале времени не выйдет из строя ни одна ячейка, значительно меньше заданной. Начинаем добавлять резервные элементы:

при r = 1

в системе на заданном интервале времени число ячеек не опустится ниже k, превысит заданную.

Таким образом,

w = k + r = 70 + 19 = 89.

83

Следовательно, в соответствии с разработанным алгоритмом преобразователь должен в начальной стадии содержать 89 исправных ячеек.

Данная система, безусловно, не охватывает все стороны функционального резервирования, однако является достаточно типичной, чтобы приведенная методика расчета могла быть принята за базовую.

2.3. Расчет надежности восстанавливаемых систем

2.3.1.Критерий надежности систем

свосстановлением

Как было указано в основных определениях теории надежности, все системы, рассматриваемые в теории надежности, разделяются на восстанавливаемые, допускающие перерыв в работе для восстановления и ремонта, и невосстанавливаемые, работоспособность которых в случае отказа не подлежит восстановлению. Большинство технических систем являются восстанавливаемыми.

В общем случае функционирование восстанавливаемого объекта представляет собой с точки зрения надежности последовательность чередующихся интервалов работоспособности tр и восстановления tв (рис. 2.20).

Рис. 2.20. Функционирование восстанавливаемого объекта

Конец интервала работоспособности определяется случайным событием – отказом. Поэтому отрезок работоспособности tр – величина случайная. Время восстановления, определяясь многими факторами: временем поиска дефектов, квалификацией обслуживающего персонала, запасом инструментов и принадлежностей и т.д., также является случайной величиной. Для конкретного потока можно определить То – среднее время между отказами и Тв – среднее время восстановления.

84

Для определения характеристик надежности с восстановлением необходимо описать поток отказов, поток восстановлений и их взаимодействие. Рассмотрим данные потоки по отдельности и комплексные характеристики, их связывающие.

Характеристики потока отказов

Для получения характеристик потока отказов может быть использована следующая модель испытаний. Пусть на испытании находится N восстанавливаемых изделий. Отказавшие объекты немедленно восстанавливаются (вплоть до замены новыми). По каждому изделию фиксируется число отказов mi (t) за время испытаний t. На-

дежность изделий в этом случае можно характеризовать средним арифметическим числом отказов H(t):

i=1

Другой характеристикой является параметр потока отказов

ω(t) :

где n(∆t) – число изделий, отказавших за момент времени ∆t.

Параметр потока отказов, определяемый как отношение числа изделий, отказавших в единицу времени, к числу испытываемых изделий, представляет собой интенсивность, или плотность, потока. Чтобы предупредить смешение этой величины с интенсивностью отказов λ(t) восстанавливаемых изделий, ГОСТом установлен термин

ности отказа в момент t при условии, что до момента t объект работал исправно, т.е. это частота отказов изделий, имеющих наработку t.

85

Между λ(t) и ω(t) могут быть установлены следующие соотношения:

1.Если λ(t) увеличивается, то λ(t) > ω(t) .

2.Если λ(t) уменьшается, то λ(t) < ω(t) .

3.Если λ(t) = const, то λ(t) = ω(t) .

Третье соотношение описывает важный частный случай, характерный для периода нормальной работы, когда λ(t) = const.

В этом случае поток отказов будет пуассоновским, т.е. простейшим, ординарным, стационарным потоком без последствий. Как было показано в подразд. 2.1.2, в этом случае λ = 1/То.

Характеристики потока восстановления

Поток восстановления может характеризоваться параметром потока восстановления µ(t) , представляющим интенсивность пото-

ка. Физический смысл µ(t) – вероятность восстановления в течение

достаточно малого отрезка времени. Если поток восстановлений также рассматривать как пуассоновский, то µ(t) является величиной,

обратной среднему времени восстановления Тв :

Tв

Уменьшить среднее время восстановления помогают методы, разработанные средствами технической диагностики и описанные в главе 4.

Комплексные характеристики надежности систем с восстановлением

Потоки отказов и восстановлений описывают процесс функционирования объекта с двух сторон независимо друг от друга. Для связи потока вводятся комплексные показатели, в качестве которых

86

используются обычно коэффициент готовности Kг(t) и коэффициент оперативной готовности Kог(t,τ) .

Коэффициент готовности – это вероятность застать объект исправным в произвольно выбранный момент времени t. Для простейших потоков

Коэффициент оперативной готовности – это вероятность то-

го, что объект, будучи исправным в момент t, проработает безотказно в течение времени τ. Kог(t,τ) вычисляют как произведение вероятности застать объект исправным в момент t(Kг) на вероятность безотказной работы Рост(τ) в течение оставшегося интервала времени:

Если время безотказной работы имеет экспоненциальное распределение и Рост(τ) = e−ωt , то:

Если ω(t) ≠ const , то Рост(τ) вычисляется с помощью общей формулы:

2.3.2. Расчет надежности по графу работоспособности объекта

Для расчета надежности невосстанавливаемых объектов достаточно применения теории случайных событий и величин. Но, поскольку для восстанавливаемых объектов имеют место не только отказы, но и восстановления, исследование надежности восстанавливаемых систем с необходимостью требует привлечения аппарата случайных процессов, описывающих возможность перехода изделия

87

из одного состояния в другое в случайные моменты времени, т.е. аппарата марковских цепей.

Ниже рассматриваются по этапам наиболее иллюстрированный метод расчета надежности, основанный на составлении графа переходов изделия в различные состояния работоспособности.

На первом этапе составляется граф работоспособности объекта (он же граф состояний марковской цепи). Для этого определяются все состояния работоспособности с учетом блоков системы и устанавливаются интенсивности переходов по данным состояниям. Например, для системы с восстановлением из двух блоков (рис. 2.21), один из которых резервный, могут быть выделены следующие состояния:

1.Блок 1 и блок 2 исправны (система полностью исправна).

2.Блок 1 отказал, блок 2 исправен.

3.Блок 2 отказал, блок 1 исправен.

4.Отказ блока 1 и блока 2 (отказ системы).

Вероятность нахождения системы в i-м выделенном состоянии обозначается Рi. Вероятность перехода из i-го состояния в j – Рij. Например, Р12 – вероятность отказа первого блока, Р21 – вероятность восстановления первого блока и т.д.

Граф работоспособности системы (см. рис. 2.21), построенный с учетом введенных обозначений, представлен на рис. 2.22.

88

Граф переходов по состояниям можно представить также матрицей переходов, используемой в дальнейшем для автоматизации расчетов:

Как видно из определений, граф переходов аналогичен марковской цепи [2].

Вероятности P14 , P41, P23, P32 вследствие ординарности потока

равны нулю.

Система уравнений, определяющая вероятности состояний, имеет следующий вид:

образом: вероятность того, что система во время t + ∆t будет находиться в первом состоянии, равна произведению вероятности того, что система в момент времени t находилась в первом состоянии, и вероятности отсутствия перехода во второе и третье состояние, плюс вероятности того, что система находилась во втором или третьем состоянии в момент t, умноженные на вероятности перехода из этих состояний в первое за промежуток ∆t.

Если ∆t достаточно мало, то Pij (∆t) = λij∆t , где λij – интенсив-

ность перехода из i-го состояния в j-е состояние.

Система, записанная в функциях интенсивностей, имеет следующий вид:

89

В окончательном виде система описывается следующими дифференциальными уравнениями:

При расчетах надежности систему уравнений составляют по графу работоспособности сразу в виде (2.105), минуя рассмотренные пояснительные этапы. Существует следующее правило составления системы. В левой части каждого уравнения записывается dPi (t)dt .

В правой части уравнения содержится столько членов, сколько стрелок связано (входит и выходит) с данным состоянием. Каждый член равен произведению интенсивности потока λ, переводящего систему по данной стрелке, умноженной на вероятность того состояния, откуда стрелка исходит. Если стрелка входит в описываемое состояние, то произведению присваивается знак «+», если исходит, то знак «–».

Приведенное правило позволяет после получения графа работоспособности изделия составить систему дифференциальных уравнений, описывающих функционирование объекта.

90