книги / Цифровая обработка сигналов в измерительной технике
..pdfотсутствует синхронизация ближайшего счетного импульса с началом временного интервала. При таком условии функция распределения W2 (л) = V?» а следовательно, и W2 ({—я}) — 1!q* Тогда из соотно шения (36) находим
|
f 1 “ |
IÊ— 0 |
+ 2 0 о |/<7 при — ? + 0 — 20о< £ < ? + 0 — 20о; |
|
® |
I |
0 |
при |
— ? + 0 - 2 0 о и 5 > ? + 0 — 20о. |
|
|
|
|
(37) |
График функции Р (g) показан на р.ис. 4, а. |
||||
2. |
Величина л |
имеет фиксированное значение,, равное т|0, что ха |
||
рактерно для времяимпульсного и частотно-импульсного преобразова телей, если первый импульс жестко синхронизован с началом времен-
Рис. 4. Графики Р (|) при неравномерном законе распределения (а) и при фиксированном (б) значении величины л
ного интервала, а также Для кодоимпульсного преобразователя, для которого, как правило, г}о ~ 0. При этом условии функция распреде ления W2 (л) превращается в дельта-функцию: W2 (л) 5= в (л — Ло) и W2 ({—х}) = 6 ({—х) — Ло)- Подставляя величину W2 ({—а:}) в формулу (37), получаем
П |
при |
« < £ < ? + « ; |
® - \ 0 |
при |
| < а и ?><7 + а, |
где а — нижняя граница погрешности квантования, определяемая со отношением
а = е - 20о- { г ь + 0 |
— 0О} |
— Ло — 0О |
при |
ïlo<<7 — 9 + 0о; |
||
Я — Ло — &о |
при |
ïlo><7 — 0 — 0в- |
||||
|
|
|||||
График функции P (g) для этого случая показан на рис. 4, б. |
(39) |
|||||
0О= |
||||||
При кодоимпульсном преобразовании, когда |
Ло = 0, 0 = |
|||||
получим: а = —q и |
|
|
|
|
|
|
n m |
« J 1 |
при |
и £ > 0 . |
|
||
vs; |
\ 0 |
при | < — q |
|
|||
Рассмотрим в формуле (35) функцию Wt ({—g}), которая |
в общем |
|||||
случае является периодической функцией £ с периодом, равным вели чине кванта q. При равномерном законе распределения величины е функция U?! ({—£}) вырождается в постоянную величину
^1 ({ -!}) = 1 /9 . |
(40) |
При этом плотность функции распределения погрешности кванто вания
W (l)= (l(q)P (l). |
(41) |
При равномерном законе распределения величины г] функция |
Р (g) |
определяется соотношением (37) и рис. 4, а, так что распределение погрешности квантования описывается «треугольным» законом.
При фиксированном значении т] = Ло функция P (g) определяется соотношением .(38) и рис. 4, б, а распределение погрешности квантова ния описывается «прямоугольным» законом. Если фиксировано зна
чение величины г = е0, то функция Wx ({—g}) есть |
сумма |
дельта |
функций, расположенных в точках gj = — е0 + lq (I = |
0, ± 1 , |
± 2 ...). |
В этом случае, при фиксированном значении величины r\ = rj0, функция распределения погрешности квантования представляет собой дельтафункцию, расположенную на интервале а <с g *< а + q. Если же рас пределение величины г\ нелокализовано (например, при равномерном законе распределения величины т)), то функция распределения погреш ности квантования есть сумма двух дельта-функций, расположенных
на расстоянии q друг от друга |
внутри интервала —q + 0 — 20о < |
|||
< £ - < 7 |
+ 0 — 20о. |
Коэффициенты при дельта-функциях |
опреде |
|
ляются |
значениями |
функции |
P (g) в точках расположения |
дельта |
функций.
С помощью функции распределения можно определить все число вые характеристики погрешности квантования. Вычислим наиболее важные для практики измерений числовые характеристики этой погрешности: предельное значение, математическое ожидание и ди сперсию.
Предельное значение погрешности квантования. При произвольных законах распределения величин е и г\ погрешность квантования, как вытекает из соотношений (35), (36), заключена в пределах интервала 2q:
— 7 + 9 — 20о ^ ^ 7 + 0 — 20о. |
(42) |
В частных случаях пределы возможных изменений погрешности квантования могут оказаться уже, например, при фиксированном зна чении величины п = Т1о они заключены на интервале q:
|
|
a < g < a |
+ |
ç, |
|
|
(48) |
где величина а |
определяется соотношением (39). |
= 0 |
и 0 = 0О=* q, |
||||
При кодоимпульсном преобразовании, когда |
|||||||
из (39) получаем а = |
так что —q ^ |
g < 0. |
|
|
|||
Если фиксировано значение е = |
е0, то |
возможные значения пог |
|||||
решности квантования также заключены на интервале |
q, а границы |
||||||
интервала легко определить из формулы |
(34) и рис. 3. |
|
|||||
Математическое ожиданиепогрешности |
квантования, согласно |
||||||
соотношению (35), |
|
|
|
|
|
|
|
|
«7+0-00 |
«7+0-00 |
|
|
|
|
|
щ = |
} |
W ( t) d ï= |
{ |
|
|
|
(44) |
|
—«7+0—©о |
—<7+0—6о |
|
|
|
||
Вначале рассмотрим случай, когда фиксирована величина у\ (г) = = *По). Тогда функция P (g) описывается выражением (38) и математи-
q+OL |
|
M t= J P M I - I M - |
(45) |
a.
Вчастности, при равномерном законе распределения величины е функция Wi ({—I}) постоянна и определяется равенством (40). Поэ тому математическое ожидание
M l = q/2 + at |
(46) |
где а — определяется из формулы (39). |
—q. Тогда для любых |
При кодоимпульсном преобразовании а = |
законов распределения е из выражения (45) получим Щ = — Ме, а при равномерном законе распределения е из соотношения (46) находим Ml = -ç /2 .
В другом предельном случае, когда распределение величины е сильно локализовано вблизи точки е = е0> функция распределения этой величины Wi (е) = fi (е — е0). Из формулы (44) найдем матема тическое ожидание погрешности квантования
<7+0-200
f i P ( i ) ô ( { - i } - 8 0)di.
—<7+0—20о
Для вычисления интеграла заметим, что внутрь интервала интегри рования при любых значениях величины е0 попадают две точки, в ко торых аргумент дельта-функции обращается в нуль:
|
Ь = 0 - |
20о- { е о+ е - |
20о); |
l2 = lx + q. |
|
Пользуясь |
свойством |
дельта-функции |
и тем, что Р (& +• q) = |
1 — |
|
— Р (gx), найдем |
|
|
|
|
|
т |
- ЬР (SO + & + q)P & + q) = h + q - q P &). |
|
|||
При равномерном |
законе распределения |
величины т) функция |
|||
P (6i)» в соответствии с формулой (37), принимает значение |
|
||||
|
P (Si) e 1 — (1/7) (ео + 9 — 20о). |
(47) |
|||
Тогда математическое |
ожидание |
|
|
|
|
|
|
М% = 0 — 20о. |
|
(48) |
|
Таким образом, при равномерном распределении величины г\ мате матическое ожидание погрешности квантования не зависит от величины е0. Это значит, что при любых законах распределения величины е и рав номерном законе распределения величины г] математическое ожидание погрешности квантования одинаково, т. е. не зависит от измеряемой величины х и определяется формулой (48). Сказанное, в частности, от носится и к равномерному закону распределения величины е. Незави симость математического ожидания погрешности от значения измеряе мой величины позволяет учесть и компенсировать систематическую погрешность, определяемую формулой (48). Равномерный закон распре деления величины г| при времяимпульсном и частотно-импульсном преобразовании можно получить, если не принимать никаких мер по
синхронизации начала измеряемого интервала с передним фронтом пер вого счетного импульса..Если распределение величины т| отличается от равномерного, то математическое ожидание погрешности будет зави сеть от величины е0.
Дисперсия погрешности квантования. При условии г) = г|0 для дис персии погрешности квантования с учетом выражения (38) получим формулу
q+a
a
При кодоимпульсном преобразовании а = —q9 так что Dg *= De. При равномерном законе распределения величины е, учитывая со
отношения (40) и (46), находим |
|
Dg = ?2/12. |
(49) |
Таким образом, при равномерном законе распределения величины е дисперсия погрешности квантования не зависит от величины %. Если же закон распределения величины е неравномерен, дисперсия погреш ности квантования для разных значений величины т]0 будет различна. Анализ, проведенный в работе [80], показывает, что значения дисперсии при всех возможных законах распределения величины е заключе ны в границах
0 < D g < 7 2/4. |
(50) |
Граничные значения дисперсии достигаются для предельно локализо ванного закона распределения величины е, так что дисперсия величи ны е значительно меньше значения кванта (DE q).
Из сравнения формул (49) и (50) видно, что, если величина е нерав номерно распределена в пределах кванта, то дисперсия погрешности квантования может втрое превышать дисперсию при равномерном рас пределении величины е. При условии е = е0 дисперсия погрешности квантования
Я! = м \ ' - № ? = ?P(îi) U — Р Ы . |
(51) |
где ^ = 0 — 20о — {ео + 0 — 20о}. |
|
видно из |
Минимальное и максимальное значения дисперсии, как |
||
формулы (51), достигаются соответственно при |
P (fj) = 1 и |
Р (gj) = |
= 1/2, следовательно, и в этом случае'границы |
возможных |
значений |
дисперсии определяются соотношением (50). |
|
|
При равномерном распределении величины к] для функции Р (£0 справедлива формула (47), а для дисперсии погрешности квантования из выражения (51) получим
DI - |е0 + 0 - 20о} (д - {е0 + 0 - 20о}).
График зависимости дисперсии погрешности квантования от величины водля условия 0О< 0/2 показан на рис. 5, а и для условия 0О> 0/2 — на рис. 5, б. При е„ = (20о — 0} дисперсия погрешности квантования обращается в нуль, а при е0 = [q/2 + 20о — 0} она максимальна и равна дгИ.
Если обе величины е и г\ распределены равномерно в пределах кванта, то, как следует из формул (41) и (37), погрешность квантования распределена по «треугольному» закону, и дисперсия погрешности квантования
DÊ = ?2/6. |
(52) |
Формула (52) обычно используется для оценки погрешности кванто вания при частотно-импульсном и времяимпульсном преобразовании. Необходимо, однако, иметь в виду, что если одна из величин е или g фиксирована, то дисперсия погрешности квантования может не умень-
Рис. 5. Графики дисперсии погрешности квантования при равномер ном законе распределения величины TJ и фиксированном значении ве
личины е: при 0О< - 1 в ( а ) и 0О> -i- 0 (б)
ÀЛ
шаться в 2 раза, согласно формуле (49), а возрасти в 1,5 раза, как вид но из формулы (50). Это объясняется тем, что формула (49) справедли ва только при фиксированном значении величины г\ и равномерном рас пределении величины е.
Зная математическое ожидание и дисперсию погрешности кванто вания отдельных мгновенных значений, можно решить вторую часть задачи, т. е. определить результирующую погрешность АЦОС, обуслов ленную квантованием мгновенных значений. Задача сводится к опре делению погрешностей, вносимых квантованием в результат АЦОС для каждого из алгоритмов, в соответствии с методикой, изложенной в гл. 1.2.
Как следует из проведенного анализа, математическое ожидание и дисперсия погрешности квантования существенно зависят от законов распределения величин в и г\. В связи с этим заметим, что при фикси рованном значении квантуемой величины х значение остатка е = {лс} полностью определяется величиной х и поэтому, строго говоря, не яв ляется случайной величиной. Если к тому же и величинах! фиксирова на, то числовой эквивалент N измеряемой величины является строго детерминированным и будет неизменно воспроизводиться при много кратном измерении величины х. Погрешность измерения при этом оп ределяется формулой (34), в которой величина е хотя и фиксирована, но неизвестна и по результатам измерения не может быть определена. В этих условиях имеет смысл предельная погрешность квантования, которая при известном значении величины jj = г\0 определяется
формулой (43), а если значение величины т]также неизвестно, то форму лой (42). Применение алгоритма усреднения в этом случае не приво дит к уменьшению погрешности, и результирующая погрешность алго ритма усреднения совпадает с предельной погрешностью отдельного измерения.
Уменьшить результирующую погрешность квантования при изме рении фиксированной величины х с помощью алгоритма усреднения можно следующим образом. При равномерном законе распределения величины т] математическое ожидание погрешности квантования опре деляется формулой (48) и не зависит от величины е. Равномерный закон распределения величины т| может быть получен при времяимпульсном и частотно-импульсном преобразованиях при отсутствии синхрониза ции между началом временного интервала и счетными импульсами, за полняющими этот интервал. В этом случае можно считать, что вели чины г], относящиеся к различным временным интервалам, некоррелированы. Число импульсов Niy полученное при измерении на каждом временном интервале, при этих условиях является случайной вели чиной, а результат измерения-при использовании алгоритма усредне ния — есть среднее арифметическое этих случайных величин:
у* |
= — Е |
ц |
1 |
т i=0 |
‘ |
На основании центральной предельной теорёмы можно утверждать, что результат измерения при большом значении числа отсчетов т бли зок к математическому ожиданию:
У « М (qN) = х + 0 — 20о, |
(53) |
что позволяет определить величину х по результату измерения У\. Тогда дисперсия результата измерения, обусловленная погрешностью квантования,
D (AYJ « Dl/m < |
(1/4) (q2lm). |
|
■г В этой формуле оценка дисперсии |
D% проведена в |
соответствии а |
формулой (50). При больших значениях числа отсчетов |
т дисперсия |
|
становится малой, что позволяет после учета систематической погреш ности в формуле (53) получить результирующую погрешность, значи тельно меньшую величины кванта.
Рассмотрим погрешнрсти квантования переменных во времени сиг налов. Как правило, мгновенные значения сигнала в разных точках отсчета различаются больще, чем на квант (в противном случае чувстви тельность и точность АЦП будут крайне низкими). Так как мгновенные значения сигнала никак не связаны с внутренним устройством АЦП, то остатки е{ в различных точках дискретизации будут не коррелиро вания друг с другом и распределены внутри кванта q практически с оди наковой частотой. При этих условиях величины в,- не коррелированы с сигналом. Покажем это, для чего рассмотрим математическое ожида ние М (ея). Величина х = N0q + е. Поскольку целая часть числа х>
т.е. величина N0, не коррелирована с его дробной частью в, то
М(ех) = М [в (N0q + в)] = МеМ (N0q) + Me2.
Здесь М (N0q) = Мх — M e тогда М (ex) = МеМх + De.
Если величина х значительно |
больше кванта, то De <£ МеМх и |
М (гх) ~ МъМх, что и доказывает |
практическую некоррелированность |
вёличины е, а значит и погрешности квантования с величиной х, т. е. с измеряемым сигналом. Погрешности квантования в разных каналах также не коррелированы. При этих условиях из формул (10), (17) по: лучим следующие оценки математического ожидания и дисперсии по грешности квантования:
п / т—1 \
(54)
(55)
где A'Icç и Dçq— математическое ожидание и дисперсия погрешности квантования в каждом канале.
Используя формулы (54) и (55), получаем оценки математического ожидания и дисперсии погрешности измерения, вносимой квантова
нием для различных алгоритмов АЦОС. |
|
|
1. |
Алгоритм усреднения, для.которого f{ = х (/,), |
|
|
М (ДУКВ) = Ш £; |
(56) |
|
D.(AYKB) = (k*lm)Dt |
(57) |
2. |
Алгоритм корреляционной обработки (ft = xt cos (vw^ + |
(iv)) |
|
Л4(ДГКВ) = 0 ; |
(58) |
|
D(AYKB) = (k2/2m)Dt |
(59) |
3. Алгоритм взаимно корреляционной обработки сигналов (3) мо жет быть реализован двумя способами. Если вначале проводится кван тование каждого сигнала, то для математического ожидания и диспер сии из формул (54), (55) соответственно получим
М (ДYKB) = k (XlüMl2-+ Х М ) ’. |
(60) |
D (АГ кв) = (**/«) (X\D\, + XlDtJ,- |
(61) |
где Хю, X20— постоянные составляющие в сигналах х± (t) и |
х2 (t)\ |
Хх и Х 2— действующие значения сигналов. |
|
Если постоянные составляющие в сигналах отсутствуют, то, с точ ностью до членов первого порядка малости погрешности, М (ДУ^) = = 0. При Х10 = Х20 = 0 с точностью до членов второго порядка ма лости погрешности, из формулы (11) имеем
M iA Y ^^kM txM lz. |
(62) |
Возможен и другой способ взаимно' корреляционной обработки; когда вначале сигналы перемножаются, а затем результирующий сиг нал квантуется, например, при комбинированном использовании вре мя- и частотно-импульсного АЦП. В этом случае математическое ожидание и дисперсия погрешности квантования вычисляются как
и при алгоритме усреднения: |
|
М (ДГКВ) = ШЁ; |
(63) |
D (bY KB)~ (k*/m )D t |
(64) |
4. Математическое, ожидание и дисперсию погрешности квантова ния для автокорреляционной обработки сигнала можно получить из приведенных выше формул. Если вначале сигналы квантуются, а за тем перемножаются, то, полагая в формулах (60)и (61)
*ю = *2о = *оГ Х 1 = Х 2 = Х; |
= |
= |
D g ^ D g ^ D g , |
получаем |
2kXQMl; |
|
|
М (ДУкв) = |
(65) |
||
D (ДУкв) = 2 (k2!m) ХЮ%. |
(66) |
||
При Х0 = 0 из формулы (62) находим |
|
|
|
М (ДУКв) = |
k(MQ2. |
(67) |
|
При х = 0 алгоритмическая функция |
Д- = |
х2 (Д). В этом случае |
|
математическое ожидание по-прежнему определяется формулами (65)
при Х0 ^ О и (67) |
при Х 0= |
0, а дисперсия погрешности квантования |
||
в соответствии с формулой (55) |
|
|
||
|
0(ДУкв) = |
4(42/т )Х 2Я |. |
(68) |
|
Если же вначале сигналы |
перемножаются, а затем |
квантуются, |
||
то математическое |
ожидание |
и |
дисперсия определяются формулами |
|
(63), (64). |
|
|
|
|
В формулах (56) — (68) величины Mg и Dg являются математичес ким ожиданием и дисперсией погрешности квантования каждого от дельного отсчета. При фиксированном значении величины г\ = % мате матическое ожидание определяется формулой (46). В частном слу чае, для кодоимпульсных преобразователей при т]0 = 0, 0 = 0О— q получим Mg = —q!2. Дисперсия погрешности квантования при фик сированном значении величины г\ определяется формулой (49).
При равномерном законе распределения величины rj, что характер но для время- и частотно-импульсного преобразователей при отсут ствии синхронизации между началом временного интервала и счетными импульсами, математическое ожидание погрешности квантования оп ределяется формулой (48), а дисперсия погрешности квантованияформулой (52).
Математическое ожидание погрешности квантования в принципе может быть скомпенсировано введением поправки в результат измере ния. Тогда погрешность будет определяться только дисперсией DY. Анализ полученных формул показывает, что относительную погреш ность результата измерения, обусловленную погрешностью квантова ния, для всех рассмотренных алгоритмов цифровой обработки сигналов в общем виде можно записать так:
ôKB (a/Vri) (1IN), |
(69) |
где N — код амплитудного .значения сигнала для алгоритмов кор реляционной и автокорреляционной обработки или код среднего зна
чения сигнала для алгоритма усреднения. При взаимно корреляцион ной обработке под N следует понимать числовой код амплитуды мень шего по амплитуде сигнала.
Численный коэффициент а зависит от закона распределения пог решности квантования и различен для разных алгоритмов. Так, на пример, для алгоритма усреднения при «треугольном» законе распре деления погрешности квантования из формул (57) и (52) находим а =
= 1 //6 ; для алгоритма _автокорреляционной обработки из формул
(66) и (52) имеем |
а = |
2/3 и т. д. |
Числовой код |
N yв свою очередь, зависит от числа отсчетов т и па |
|
раметров, определяющих быстродействие измерительных узлов прибо ра. Так, для времяимпульсного преобразователя Nt = f0At{, где f0— частота импульсов, заполняющих интервал Atit пропорциональны» мгновенному значению сигнала. Интервал- Atl должен быть меньше
интервала дискретизации At = Tim, т. е. Дtt = уAt, где |
у — коэффи |
||
циент восстановления преобразователя (у < |
1). Окончательно из фор |
||
мулы |
(69) получим |
|
|
|
0Й = ак„ К Я |
|
(70) |
где дКв = а/Су/0:Г). |
зависимость |
числа N от |
|
Для |
кодоимпульсных преобразователей |
||
числа отсчетов будет иной. В частности, для преобразователей, работа
ющих в двоичном коде, N = 2 \ Число разрядов k = yT/(mx0), где т0 — время отработки каждого разряда. Тогда относительное значение погрешости квантования
Ôg = (a/j/m ) 2~v77<mto). |
(71) |
Сравним погрешность квантования для времяимпульсного и кодоим пульсного преобразователей при одинаковом числе точек дискретиза
ции т . Отношение погрешностей бЗ и б^ можно представить в сле дующем виде:
« М = %hk2~k.
Время отработки одного разряда в кодоимпульсном и частота генера тора импульсов у времяимпульсного преобразователей ограничива ются быстродействием элементов и узлов и определяются техническим состоянием элементной базы. Обычно величина т0/0 лежит в пределах 10—1000. Погрешность квантования кодоимпульсных преобразовате лей становится меньше погрешности квантования времяимпульсных
преобразователей при выполнении условия (Ilk) 2fe > т0/0. Так, при Ч/о = 10 k > 5; при т0/0 = 100 Л > 8; при т0/0 = 1000 k > 12.
5. ОЦЕНКИ ДИНАМИЧЕСКИХ ПОГРЕШНОСТЕЙ ПЕРВОГО РОДА И ПОГРЕШНОСТЕЙ,
ОБУСЛОВЛЕННЫХ СМЕЩЕНИЕМ МОМЕНТОВ ДИСКРЕТИЗАЦИИ
Динамические погрешности первого рода (запаздывание сигнала) приводят к измерению не мгновенных значений сигнала х (Z,) в точках th а значений, смещенных во времени на At^c, т. е. х — Д^смО-
Аналогичный эффект вызывает смещение моментов дискретизации ù tcKi в ту или иную сторону от требуемого. В общем случае погреш ность измерения, вносимая этим смещением, содержит как детермини рованную, так и случайную составляющие.
Детерминированная составляющая обусловлена временными за держками, вызванными инерционностью входных цепей, неточным заданием частоты генератора импульсов, погрешностью в определении периода исследуемого сигнала и т. [. Случайная составляющая обусловлена нестабильностью порога срабатывания электронных клю
чей, нестабильностью частоты задающего генератора, по грешностями делителей частоты
и т . д .
<Рис. 6. Диаграммы стохастического (а) и ярогрессирующего (б) смещения точек дискретизации
В зависимости от принципа построения дискретизатора сиг нала возможны два вида измене ния погрешностей.
1. Детерминированная со ставляющая смещения моментов дискретизации одинакова во всех точках дискретизации, т. е. происходит смещение моментов дискретизации на постоянную величину. В этом случае систе матическая составляющая AtCM есть сумма детерминированной составляющей и математического ожидания случайной составляю щей смещения и для смещения можно записать
А^смÎ — А/см -f- АН;,
где АН; — случайная составляющая, имеющая нулевое среднее зна чение (рис. 6, а). Величины Agr в разных точках отсчета можно считать некоррелированными.
2. Дискретизация сигнала х (t) осуществляется через равномерные интервалы Atit не равные At. Возникающее при этом временное сме щение Atcut моментов дискретизации tt прогрессивно нарастает с каж дой точкой дискретизации (рис. 6, б). Назовем такое смещение прог рессирующим. Случайную составляющую смещения в этом случае можно не учитывать, поскольку она, как правило, значительно меньше детерминированной составляющей.
Проанализируем первый вид. Рассмотрим погрешность, обусловлен ную систематической составляющей АtCM♦С учетом временного систе
матического смещения |
At |
моментов дискретизации алгоритмическую |
функцию запишем в виде |
f [х {tt — At), а]. Возникающая из-за этого |
|
погрешность |
|
|
LY? - |
"S {/ й ^ - Д0, а] -/(*(*< ). в)}. |
|
|
i=Q |
|