книги / Цифровая обработка сигналов в измерительной технике

7. ОЦЕНКА ПОГРЕШНОСТЕЙ, ВНОСИМЫХ ПОМЕХАМИ. ПОМЕХОУСТОЙЧИВОСТЬ ЦИФРОВЫХ ПРИБОРОВ

При наличии помех во входных сигналах и в тракте измерительного прибора возникает добавочная погрешность результата измерения. Дисперсию этой составляющей погрешности можно вычислить в соот­ ветствии с общим подходом (гл. 1.2). Как видно из соотношений (13), (15), дисперсия погрешности зависит как от алгоритма обработки, т. е от алгоритмической функции, так и от интенсивности помех.

Чтобы оценить возможность метода или реализующего его измери­ тельного прибора уменьшать воздействие помех на результат обра­ ботки (измерения), вводят критерии помехоустойчивости, в которых обусловленная помехами составляющая погрешности на выходе при­ бора нормирована по отношению к интенсивности помех на его входе. Впервые такие критерии были введены в технике связи, в задачах оп­ тимального обнаружения и приема сигналов [95].

В цифровой технике критерием помехоустойчивости обычно явля­ ется степень подавления помех на выходе цифрового устройства по отно­ шению к входу, характеризуемая отношением мгновенных значений ЭДС помехи до и после обработки [98]. Этот критерий определяет «мгновенную помехоустойчивость» и в процессе обработки сигнала может изменяться. Поэтому более удобной является оценка, в которой интенсивность помехи усреднена за время обработки (измерения).

Обозначим дисперсию алгоритмической функции, обусловленную воздействием помех в момент времени tit

В качестве усредненной оценки интенсивности помехи на входе прибора •выберем величину средней дисперсии за время измерения

/2 М—1

D. - - 4 r S 1—0

В качестве критерия, характеризующего степень ослабления помех при прохождении через прибор, возьмем отношение дисперсии резуль­ тата измерения DYg, обусловленной влиянием помех, к величине D0 : : р = DYIIDQ и назовем это отношение коэффициентом помеховосприимчивости. Дисперсия DY$ в случае, когда помеха не коррелирована с сигналом, определяется из соотношения (15)

m—1

Коэффициент помеховосприимчивости может принимать значения

р^ 1 и чем он меньше, тем выше помехоустойчивость 'АЦОС. Равенство

р= 1 соответствует отсутствию помехоустойчивости алгоритма, т. е.

тому, что данный алгоритм обработки не обеспечивает уменьшения влияния помех, и дисперсия помехи на входе прибора полностью вхо­ дит в дисперсию суммарной погрешности. Коэффициент помеховосприимчивости однозначно определяет абсолютную и относительную сред­ неквадратичные погрешности, обусловленные помехами,

где 60 = V^W jY — относительное значение среднеквадратичной погрешности на входе прибора.

Величину D0можно вычислить для всех алгоритмов из соотношения (96). Приведем оценки дисперсии D0для каждого из алгоритмов в слу­ чае стационарной помехи.

1. Алгоритм усреднения

где а | — дисперсия помехи во входном сигнале.

2. Алгоритм корреляционной обработки при ф (f) =; cos (v<ùt + pv)

3. Алгоритм взаимно корреляционной обработки

0)

=& [c\X\ + o%XÏ + - f щ щ г12 (T) Y ] .

где a?g, — дисперсии помех в сигналах; г12 (т)— коэффициент взаимной корреляции помех в первом ц втором сигналах.

4. Алгоритм автокорреляционной обработки

только от дисперсии помехи og. Для алгоритма взаимно-корреляци­

онной обработки D0 зависит от дисперсии помех a?g и o|g и ко­ эффициента корреляции помех в сигналах, который может изменяться от единицы (при т ^ Tg) до нуля (при т Tg), где Tg — время корре­ ляции помех в первом и втором сигналах. Оценка средней дисперсии

Для алгоритма корреляционной обработки

Для алгоритма взаимно корреляционной обработки

t= 0

X2(Q) = - i- '7g ‘ e/% ^ ) . <«=o

Представим входные сигналы рядом Фурье:

(0 = S Аи cos

г=о

оо

х2(/ — т) = J] A2I COS (tat + фг: — lax),

1=0

где Au, Av и фц, фг< — амплитуды и начальные фазы гармоник вход­ ных сигналов.

Подставив Xi (t) и x2 (t — т) в формулы для Xi (fi) и Хг (fi)> полу­ чим

ющими свойствами. При этом для алгоритма усреднения полоса пропус­

периодически повторяются на оси частот с периодом, равным частоте дискретизации 2nlAt. Поэтому для положительных частот в интервале 0 ^ £2 2л/At для алгоритма усреднения полосы пропускания на­ ходятся вблизи частот £2 = 0 и £2 = тсо = 2зт/Д/, для алгоритма кор­

Величины pgr представляют собой парциальные коэффициенты ослаб­ ления помех в каждом канале (при q = г) и между каналами (при q Ф Ф г), возникающего в результате обработки сигнала. Общий коэффи­ циент помеховосприимчивости выражается через парциальные коэффи­ циенты следующим образом:

т. е. представляет собой средневзвешенное значение парциальных ко­ эффициентов.

Заметим, что даже в том случае, когда имеется лишь ограниченная информация о спектре помех, можно получить приближенные количест­ венные оценки коэффициентов помеховосприимчивости. Для этого' не­ обходимо знать положение центральной частоты спектра помехи отно­ сительно полосы пропускания фильтрующей функции соответствующе­ го алгоритма и ширину спектра помехи. Поскольку фильтрующие функ­ ции различных алгоритмов имеют при данном т одинаковую ширину и отличаются только положением полосы пропускания, то результаты, полученные для одного какого-либо алгоритма, можно без труда пере­ нести и на другие алгоритмы. Поэтому ограничимся анализом коэффи­ циента помеховосприимчивости алгоритма усреднения. Для этого алго­ ритма

~ n / A t

Обозначим ширину спектра мощности помехи через a, a положение центральной части «свернутого» спектра на интервале (—я/Д/, л!At)

чить суперпозицией вкладов от отдельных максимумов. Ширина спек­ тра мощности определяется временем корреляции помехи rg : а ^ ~ 1/т6.

Рис. 10, Графики широко­ полюсной (а) и коррелиро­ ванной (б) помех

Анализ помехоу­ стойчивости проведем отдельно для трех ха­ рактерных случаев:

1)аД *»1;

2)1/nu^uAt <£1;

3)аА/<^1/т.

по отношению к периоду фильтрующей функции (рис. 10, а). В этом

Этот результат в равной мере относится ко всем алгоритмам и его мож­ но получить в общем виде из формул для D0 и DY$. Если Gqr (Q) ~

чески этот результат является очевидным, так как, если погрешности мгновенных отсчетов алгоритмической функции независимы, то при усреднении т таких отсчетов дисперсия уменьшается в т раз.

Во втором случае соседние отсчеты сильно скоррелированы, однако интервал корреляции помехи много меньше времени измерения, т. е.

Рассмотрим отдельно две возможности.

1. Центральная частота Q0 «свернутого» епектра помехи близка к полосе пропускания фильтрующей функции, так что | Й0 1<£ а (кривая

1 на рис. 10, б). Для исходного спектра это означает, что центральная частота спектра помехи близка либо к нулю, либо к одной из частот, кратных частоте дискретизации 2n/At.

Для оценки коэффициента помеховосприимчивости заметим, что

поскольку площадь под кривой g (й), как следует из формулы (99),

равна единице, а ширина функции g (й) равна а, то значение функции

£ (й) в максимуме имеет порядок 17а, т. е. g (й0) ~ 1/а.

Из формулы (98) видно, что из всего спектра помехи фильтрующая функция | ф0 (й) !*■«вырезает» участок, ширина которого равна ширине фильтрующей функции, т. е. 2n/mAt = 2п1Т. При этом условии полу­

<где а — численный коэффициент порядка единицы.

2. Центральная частота й 0 «свернутого» спектра помехи не близка к полосе пропускания фильтрующей функции, так что | й 01 а. Для исходного спектра это значит, что центральная частота не близка к нулю или к одной из частот, кратных частоте дискретизации, т. е. рас­ стояние между ними много больше ширины спектра помехи (кривая 2 на рис. 10, б). В этом случае основной вклад в интеграл (98) вносят две области: область вблизи Й = 0 — главного максимума фильтру­ ющей функции | ф0 (Û) |2 и область вблизи й = Й0 — максимума функ­

ции g (й). Вклад от области вблизи й = 0 имеет порядок величины р Гл — g (0) (2nlmAt). Значение g (0) определяется характером убыва­

ния спектра помехи g (й) при удалении от центральной частоты. Боль-1 шинство случаев может быть охвачено степенным законом спадания ' спектральной плотности, т. е.

g (й) ~ g (й0) | а/(й — й0) |" при | Й — й01> а.

Так как £(Й0) ~ 1/а, то g(0) ~ (1/а) (а/й0)п-

Таким образом, для вклада в коэффициент помеховосприимчивости от области вблизи главного максимума получим

Ргл - (1/аТ) ( а / й / = (aT)n- lI(Q0T)n.