книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Выш е было показано, что решение задачи «А» является также обобщенным ее решением.

Покажем, что если обобщенное решение является достаточно гладким, то оно является решением задачи «А».

В самом деле, решение задачи «А * должно удовлетворять условиям (4.1)-(4.4). По определению обобщенного решения вы­ полняются соотношения (4.1), (4.2) и первое из соотношений (4.4). Применяя к тождеству (4.12) теорему Остроградского-Гаусса, получим

Предположим теперь, что тензор напряжений является потен­

Если соотношения (4.15) достаточно гладкие, то можно пост­ роить функциональные производные типа

(4.16)

и справедливо тождество (7.15) гл. 1.

Рассмотрим теперь некоторый линейный тензор-оператор от

такой, что в функциональном пространстве и € Уо величина

(4.18)

удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения [53], так что рассматриваемое функциональное пространство П является гильбертовым. Пусть, кроме того, оператор (4.17) таков, что для произвольного симметричного тензора Л выполняются нера­ венства

Заметим, что если

то первое из неравенств (4.19) эквивалентно при т0 = т неравен­ ству (7.60) гл. 1, причем гильбертовость пространства П в этом случае следует из неравенств Корна [58].

Если теперь существует единственное обобщенное решение задачи «А» для случая, когда оператор Р определяющих соотно­ шений (4.1) является оператором р,; (4.17) (задача «Ар»), можно организовать метод последовательных приближений

Ро(«(п+1))п/|Еа = Р о («(п))«/1е 2 - ^ п)[^ (« (л)К | е 3 -■??],(4.22)

начиная с некоторого нулевого приближения й(°) и полагая п = 0,1,2,....

Теорема 4.1. Пусть существует единственное обобщенное решение задачи «Ар», справедливы условия (4.19), объемные и поверхностные силы принадлежат пространствам Ь ^ У ), причем

существует обобщенное решение «* задачи «А», единственное в этой окрестности, и при любом значении итерационного пара­ метра /? € (0, ^ ) к нему сходится начинающийся с й(°) процесс последовательных приближений (4.21), (4.22), причем

Для доказательства рассмотрим тождество

I Рц («) 4У = ! ру (2)су (3) АV- Р ^ «ту (2)су (3) (IV-А* (г)

(4.28) Слева в (4.28) стоит скалярное произведение (2,2)р. Правая часть представляет собой согласно (4.19) линейный функционал от V . Используя теоремы вложения Соболева [100], легко устаг новить, что для этого необходимо, чтобы выполнялось условие (4.23). Тогда по теореме Рисса этот функционал мажет быть представлен в виде скалярного произведения (и',ь)р где 2' € П. Следовательно, некоторый оператор <3 ставит в соответствие каждой функции 2 Е П функцию и' 6 П. Поэтому вопрос нахож­ дения обобщенного решения задачи «А» заключается в решении операторного уравнения

2 = ф2. (4.29)

Для двух векторных полей 2х и 22 и их разности й> = щ —й2

Используя равенство (7.63) гл. 1 и условие (4.19), получим из (4.30)

выполняется условие для д < 1. Введем единичный оператор Е

Тогда для функциональной производной оператора Ё, которую обозначим Ё 1, имеем

||<521-022|К8ир||^-^/(31 +^(22 - и 1))||||и1 - 2 2||^д||^ (4.35)

т.е. оператор С}, совершая сжатые отображения, не выводит ни одну точку из окрестности (4.25). Поэтому согласно принципу сжатых отображений [49] существует обобщенное решение задачи «А». Его единственность следует из соответствующего примене­ ния теоремы, доказанной в § 7. гл. 1.

Из формулы (4.35) следует, что процесс последовательных приближений сходится как геометрическая прогрессия со зна­ менателем д. Более практическое значение имеет следствие формулы (4.35):

|Й<В>-Й*| 1 - д 110й(0 )- й (0)||„ (4.39)

Теорема доказана.

Из сходимости й(") к й* следует также сходимость ^(й^")) к И й*) [76].

Предположим теперь, что операторные соотношения (4.1) од­ нозначно разрешимы относительно деформаций:

Условиями интегрируемости системы дифференциальных уравнений (4.2) относительно перемещений являются уравнения совместности Сен-Венана, обращающие в нуль симметричный тензор несовместности Г):

Для односвязной области V условия (4.41) являются необходи­ мыми и достаточными для однозначной разрешимости уравнений (4.2) относительно перемещений, например, в виде, предложенном Чезаро. Таким образом, если выполняются условия (4.41), то найдется такой вектор и, для которого справедливы соотноше­ ния Коши.

Если подставим соотношения (4.40) в (4.41) и (1.19) гл. 1, то получим систему шести уравнений относительно компонент тензора напряжений

Таким образом, в (4.3), (4.40), (4.41),.(4.43) или (4.3), (4.42) и (4.43) дается постановка квазистатической (статической) задачи М Д ТТ

Назовем обобщенным решением задачи « В » тензор а € Т, для которого справедливы соотношения (4.40) и который удовлетво­ ряет тождествам (4.44) для всякой достаточно гладкой тензорфункции т € То. Другими словами, обобщенным решением задачи

удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения, так что рассматриваемое пространство 5 является гильбертовым. Пусть, кроме того, оператор (4.50) таков, что для произвольного симмет­ ричного тензора Л выполняются неравенства

то первое из неравенств (4.52) эквивалентно при п = По нера­ венству (7.71) гл. 1. При таком выборе оператора П обозначим гильбертово пространство 5 через 5<>.

Если теперь существует единственное обобщенное решение за­ дачи «В » для случая, когда оператор определяющих соотношений (4.40) является оператором П (4.50), то можно организовать метод последовательных приближений

начиная с некоторого нулевого приближения о^°) и полагая тп =

0,1.......

Теорема 4.2. Пусть существует единственное обобщенное решение задачи «В *», справедливы условия (4.52), заданные пе­

Теорема 5.1. («быстросходящийся» метод). Пусть оператор (4.17) имеет вид

и существует единственное обобщенное решение соответствующей задачи «Ая». Пусть выполнены неравенство (5.1) и неравенство

Пусть, кроме того, а — такое положительное число, что

У[*<Д2(0))-р{Ди(0))]е*Ди(0))</1' ^ тща^ су(3(0))ео(и(0))ЛУ. (5.5)

что задача «А» имеет единственное обобщенное решение «* в окрестности

При /? = 1 к этому решению сходится начинающийся с «(°) процесс последовательных приближений (4.21), (4.22), причем