книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfЯ« |
К |
- Уа |
а = 1,2, |
(2.49; |
|
к |
+ К ’ |
||||
|
|
|
где \'а и А" определяются из (2.35) для преобразованных величин:
А'Л = -— г - - ■ |
\п __ |
— |
1 а |
. |
а = 1.2. |
(2.50) |
А" = |
Г? |
|||||
1 + (За г'0 |
* |
1 + /?«г"’ |
|
|
||
здесь |
|
|
1 |
|
|
|
0а = Ро ~ |
|
|
|
(2.51) |
||
|
|
|
|
|||
\/»^Г
Поэтому, обозначив меру обусловленности матрицы С„
г" “ через 1/а = ^ (а = 1,2), получим
(2.52)
+ 1
откуда
( ^ - 1 ) ^ - 1 )
(2.53)
(л/*Г+ 1)(л/^+ 1)’
Упражнение 2.7. Показать, что из неравенств (2.24) и основ ной теоремы следует, что если известны величины Я и /3, то
// 1 ± 5 |
и |
' - 1 - * ? |
(2.54) |
/? ’ |
* |
~ ~ - |
|
Рассмотрим теперь более общий случай для системы (2.1) и итерационной схемы (2.18), а именно будем считать, что оператор Ь не представим в виде (2.25), Но существует некоторый оператор Л, й Ь , такой, что
Ф ~ $1 + Л2, |
(2.55) |
|
т.е. |
|
|
•? ^ ^ ^ |
0 < р{ ^ /<". |
(2.56) |
Предположим, что |
|
|
|
|
(2.57) |
Тогда, очевидно, |
|
|
А'4 ^ I |
^ А"Л, |
(2.58) |
где
А' = /,/4, А" = Д Д . |
(2.59) |
При этом считаем, что числа ц\ и ц" известны. Тогда из рас смотрения предыдущего случая становятся известными величины /? = /?1 + /?2 и ф. По формулам (2.54) определяем /4 и а по формулам (2.59) — А' и А". Тогда по основной теореме итера ционный процесс (2.18) сходится со скоростью геометрической прогрессии со знаменателем (?1 = \"+х' >причем в (2.18) следует
ПОЛОЖИТЬ /? = /?! = Хг+Х "'
Рассмотрим теперь так называемый двухступенчатый метод, предложенный Е .Г. Дьяконовым [23]. Для решения системы (2.1) составим итерационную схему (2.4). Основным вопросом является выбор оператора обращения Ат. Он должен быть выбран так, чтобы уравнение
А т ш = д, |
(2.60) |
где |
|
й = й(т +1)] д = Лт й(т ) - В ^ Ь и ^ - /], |
(2.61) |
было разрешено наименее трудоемким способом.
Рассмотрим оператор О, который может быть получен из Ь выбрасыванием членов, соответствующих производным младшего порядка, смешанным производным, и изменением коэффициентов в некоторых слагаемых. Пусть для решения уравнения
дй> = д |
(2.62) |
существует хороший в некотором смысле итерационный процесс, приводящий после М итераций к соотношению
|
У(М) = Тл/У(°\ |
(2 63) |
где |
= и>(м ) —и>* — вектор ошибки, Тм |
— линейный раз |
решающий оператор, причем существует оператор (Е — Г а/)"1
Введем |
оператор |
|
|
С = д ( Е - Т м Г '. |
(2.64) |
Тогда |
решение уравнения |
|
|
С г = д |
(2.65) |
совпадает с М-й итерацией в методе (2.63) для решения (2.62) с нулевым начальным приближением. В самом деле,
- и> = Т(й(0) - Ф) = -Г л ® , |
(2-66) |
или
а = ( Е - Т ^ ) - 1^ ”*). |
(2.67) |
Подставляя это выражение в (2.62), получим совпадение и» и г. В качестве оператора обращения Ат выбираем оператор р .
Итак, итерационный процесс (2.4) можно реализовать следую щим образом. По известному «(”*) вычисляем
5 = рй<т ) - В т[Ь и ^ - /). |
(2.68) |
Для решения уравнения (2.62) применяется метод, основанный на схеме (2.63), с начальным приближением, совпадающим с й^тК Тогда
Й (") - ю = Т м { и*”*) - Й). |
(2.69) |
Отсюда |
|
й> = { Е - Тм ) - \ & м ) - 7,Л#8(т >). |
(2.70) |
Подставим это выражение в (2.62). Тогда получим |
|
Ш - 1 м Г \ ^ М )- Т м й^ )) = д, |
(2.71) |
или |
|
д { Е - Т м ) - ^ м ^ = 0 ( Е - Т м ) - \ Е - Т м + Т м ) ь > ^ - В т [Ь й ^ - / ] .
|
(2.72) |
Сравнивая (2.72) и (2.4), видим, что |
|
Й(М) _ й(т+1) |
(2.73) |
Следовательно, итерационный процесс (2.4) для нахождения й^т+1^ использует итерации по внутреннему итерационному процессу, т.е. является двухступенчатым итерационным процессом.
Часто двухступенчатый метод оказывается существенно эф фективнее других итерационных методов [23].
§ 3. РЕШЕНИЕ СТАТИЧЕСКИХ ЗАДАЧ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрим первую краевую задачу теории упругости для изотропной среды
(А + /1)вга(1(Ну« + /1Д« + X = 0, |
(3.1) |
3|в = 3°. |
(3.2) |
Запишем разностную схему для задачи (3.1), (3.2). Для этого нужно ввести разностные производные по трем переменным. Что бы упростить выкладки, мы будем рассматривать плоскую задачу теории упругости. Нетрудно составить аналогичную разностную схему для трехмерной задачи теории упругости.
Вводим разностные операторы на симметричном шаблоне. Для этого вторые производные по одной переменной будем обозначать
Ллл = дад ; (а = 1 ,2 ), |
(3.3) |
т.е. берется один раз левая и один раз правая производные. Для смешанных производных рассмотрим линейную комбинацию разностных производных:
Ас,13 = ^ (дадр + д~др + д ~ д р + д ад р ), а ф 0 , а , 0 = 1,2. (3.4)
Тогда задачу теории упругости в разностном виде можно записать следующим образом:
Ьци$ + Х? = 0, |
(3.5) |
в граничных точках |
|
«? = «?■ |
(3-6) |
Здесь |
|
Ху = (Л +А*)Ау +ц8уА кк, {,}, к = 1,2, |
(3.7) |
«,-= {«.(»,к)}, » = 1,2, п = 0 ,1 , . . . , Аь к = 0,1,. .. ,А 2. |
(3.8) |
Для простоты мы рассматриваем прямоугольную область с рав номерной сеткой, причем Лх — шаг по переменной х\ и Лг — по переменной хг-
0Ь% ] — —А { ) + В { ] . |
(3.9) |
Тогда уравнения (3.5) запишутся в виде
А ц и ) = В ц и ) + 0 Х ? . |
(3.10) |
Из (3.7) следует, что диагональные и недиагональные элементы матрицы Ту можно соответственно представить в виде
Ь а а = (А + 2 у ) К а а + ц А р р ,
(3.11)
Ь а р = (А + ц ) А а р , а Ф 0 { а , 0 = 1,2).
Если матрицу Иу выберем в виде диагональной факторизованной:
Л а а = |
[1 - |
0 |
( Х + 2//)Лвв][1 - 0 ц А р р ] , |
(3.12) |
|
|
|
А а р ~ 0, |
|
|
|
|
|
|
то для матрицы Ву |
получим |
|
||
В а а |
= |
1 4" 0 ^(А 4" 2/<)ЛЛ0[Ар р , |
(3.13) |
|
|
В а р |
= /?(А + р ) А а р . |
||
|
|
|||
Поэтому можно рассмотреть итерационную схему, предложенную А.Н. Коноваловым [38],
лу«;т+ 1)= в у « и + /? х ,- |
(3.14) |
Здесь и далее мы опускаем верхний индекс Л у разностного вектора щ . К схеме (3.14) применим метод расщепления, ибо
А ц является факторизованным оператором. Соотношения (3.14) можно записать в виде
[1 - |
0 ( Х + 2р)Логв][1 - /^Л/>/>]«4т+1) = |
|
||
= [1 + 0 2ц{Х + |
2р)Ааа\ рр]и ^ + |
0(Х + |
р ) А а р ^ т ) + 0Х а , |
(3.15) |
|
<* Ф Р («,/? = |
1,2). |
|
|
Им эквивалентны две системы |
|
|
|
|
[1 - /?М/*/*Кт+1) = «1т+^ + [1 - |
Р1^рМГ\ |
(3 16) |
||
[1 - 0{Х + 2(х)\аа]и{т+^ = 0[Ьа а и ^ + Ь а р ^ + Ха),
которые можно решать методом прогонки. Вопрос о граничных условиях для операторов, стоящих в левых частях (3.16), будет рассмотрен ниже.
Рассмотрим некоторое обобщение итерационной схемы. Вве
дем вектор невязки |
|
|
|
|
|
г ^ = Ьи и ^ |
+ Х,, |
«,/=1,2, |
|
(3.17) |
|
и запишем итерационную схему |
|
|
|
|
|
А ц и -т+1) = Аци^т) + № > г 4 т) + Х<], |
т = 0,1....... «',/ = |
1,2. |
|||
Оператор Ау можно выбирать различными способами. |
(3.18) |
||||
Если |
|||||
можно каким-либо способом найти решение уравнения |
|
||||
Луш]т+ 1)^ ^ т) |
«>(т+1) = |
/ |
( т + 1 ) |
(т )ч |
|
К ____ ~ 3 . 1 |
(3.19) |
||||
|
|
|
Ргг |
|
|
(.,/ = 1,2) ( т = 0,1,...) |
|
|
|||
в виде |
|
|
|
|
|
ад(т +1) = л - ' г(т) |
|
|
(3.20) |
||
то переход от т-го приближения к т + |
1-му будет осуществляться |
||||
с помощью итерационной схемы |
|
|
|
|
|
и,<т+1и « < т >+ /?ти4т+1>, |
|
(3.21) |
|||
т.е. с помощью схемы Ричардсона или при одинаковых /?т , равных /?, с помощью простой итерации.
В качестве оператора Ау можно выбрать, например, факто ризованный оператор
А а а — [1 ^(А + 2р)Лвог][1
(3.22)
Аа0 = 0, а ф /? (а , Р = 1,2),
где итерационные параметры &, $2, и /? находятся из соображе ний, приведенных в предыдущем параграфе. Пусть, например, рассматривается смешанная задача теории упругости, когда при х\ = 0 и = /1 заданы напряжения, а при ж2 = 0 и х2 = /2 — перемещения. Тогда
Ро |
, _ |
Д> |
= |
____ |
(3.23) |
1+а/?0’ |
|
1 - а р о ’ |
|
1 + д ’ |
|
|
|
|
л |
1 |
1 |
|
ш—л |
§ I |
|
^ _// |
а л |
||
а = |
|
= |
|
г» = г 1 + «* г» - г» + в * |
||||||
-/ _ „/ |
л |
_ |
// |
„ |
_ — |
г ^ |
' - г Х ' |
|
(3.24) |
|
г2 “ г2 |
|
г2 * |
г2 *“ а) |
а " 4 |
+ < |
+ Г2 + ^ |
’ |
|||
. |
« |
4 |
/ |
4 |
. , |
тАг |
|
4 |
2 т*2 |
|
Г1 " |
Г 1 |
— |
д 2 ’ Г2 ~ |
^2 8,П |
к |
Г 2 = Ц С08 |
т |
|||
|
|
|
|
|
||||||
Тогда получаем из (3.19) и (3.22) |
|
|
|
|
||||||
[ 1 - ^ ( А |
+ 2^)Ааа] [ 1 - 6 М д о К го+1) = г«ГО)> <*ФР </*•? = 1>2)> |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(3.25) |
или |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
[1 - |
&М/»р]«4т+1) = и;1т+ 2^ + <?аг<»и4го) + (2ари>^\ |
|||||||||
|
|
[ 1 - 6 ( А |
+ 2/х)Ааа]ш1т + *)) = |
|
(3.26) |
|||||
= -[1 - |
6(А + 2/|)][двви,М + |
|
+ г&"\ |
|
||||||
|
|
а ф /? (а,/? = 1 ,2 ), |
т = 0 , 1 , . . . , |
|
|
|||||
где оператор |
|
может быть выбран произвольно, в частности |
||||||||
можно взять <3^ = 0. Каждую из схем (3.26) можно решать методом прогонки, рассмотренным в § 3 гл. 4 для разностной системы,
г п+1—Оп%п + Ьп%п—1+ ст») о —1,..., IV 1, |
(3.27) |
20 = XI21 + 7Ь 2ДГ = Х22ДГ-1 + 72- |
(3.28) |
Рассмотрим только второе уравнение (3.26) при <5у = 0 и обоз
начим и>а +2^ = и>\ индексы, обозначающие узлы сетки п = 0,1,... ,АГа , будем отмечать только для координаты ха ( « = 1,2), /в/АГ„ = На .
«■ - 6(А + 2я)У,+1~ % , + <* - 1 = гЁ«). |
(3.29) |
Введем обозначения |
|
(А + 2//)Л |
(3.30) |
»?1= -— г ^ - , 42 = 1 + 2111. |
|
па |
|
Тогда, сравнивал (3.29) и (3.27), находим
« п = — , Ь„ = - 1 , Сп —* “ |
(3.31) |
*?1 |
|
Граничные условия для ю, как упоминалось ранее, нужно опре делить из первого уравнения (3.26):
[1 - |
= Щ ъ*)- |
(3 32) |
Если на границе заданы перемещения, то
и^т+1) - и<,т)
СО.*) |
(3.33) |
|
(О,*) |
||
|
Однако можно выбрать граничные условия для и/ по-другому: во втором уравнении (3.26) положить п = 0 и п = ЛГа , а величины для законтурных точек с индексами п = —1 и п = + 1 положить равными нулю. Тогда из (3.29) имеем
- т т + |
|
|
= г $ в0) |
(3.34) |
||
и, сравнивая с (3.28), находим |
|
|
|
|||
*\ |
51 |
•у. |
+ |
_ , ( ” ») |
(3.35) |
|
т ' |
7 |
+ |
1)2 ОГ(П=0) |
|||
|
|
|||||
Аналогично определяются величины при п = ЛГЛ. Заметим, что последним способом выбора граничных условий можно пользо
ваться лишь в случае, если |
определено во всех граничных |
||||
точках. |
В |
описанном методе |
построения |
разностных схем это |
|
не так. |
К |
тому |
же возникает |
вопрос об |
устойчивости постро |
енной разностной |
схемы. Ниже мы остановимся на построении |
||||
разностных схем вариационно-разностным методом, свободным от указанных недостатков.
Заметим в заключение, что при решении задач теории уп ругости можно пользоваться двухступенчатым методом. В этом случае в качестве вспомогательного оператора можно выбрать оператор А,-у (3.22), а в качестве оператора обращения —
Ву = Ацс{6к] - Т ы ) - 1, |
(3.36) |
где Ты — разрешающий оператор для А^^ (3.22).
$ 4. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ НЕЛИНЕЙНОЙ М ДТТ
Пусть в некоторой декартовой системе координат определя ющие соотношения, связывающие тензор напряжений а и тензор деформаций е, задаются в операторном виде (4.1) гл. 1:
(4-1)
Деформации будем считать малыми, так что выполняются соот ношения Коши, связывающие их с вектором перемещения и:
+ “>.*) (§ = 1>еГи). |
(4.2) |
Пусть заданы уравнения равновесия среды
®1|\» + А,- = 0, |
(4.3) |
где X — заданные объемные силы, и заданы граничные условия смешанного типа: на части границы тела^Ех заданы перемещения и0, а на другой части Ег — нагрузки 5®:
= и,?, ^ч »»у1е, =5?. |
(4.4) |
Будем считать, что все рассматриваемые функции обладают глад костью, необходимой для проведения используемых преобразова ний, и изменяются на временном отрезке [0,<х], т.е. О ^ ^ <1. Кроме того, будем предполагать наличие «естественного* состо яния, т.е. считать, что в момент, предшествующий < = 0, тензоры деформаций и напряжений вместе со всеми своими производными
равны |
нулю. |
|
|
Если подставим соотношения (4.2) в (4.1), а результат — в |
|||
(4.3) |
и (4.4), то получим систему трех уравнений |
относительно |
|
компонент вектора перемещения |
|
||
|
|
*.ш(2) + А,-= 0 |
(4.5) |
с заданными граничными условиями |
|
||
|
«<1=1 = |
<тч (“)п>1=2 = 5 °- |
(4-6) |
Здесь сокращенная запись <7у(й) обозначает следующее:
<г,7(Й) = ЛДе(Й)), е0 (Й) = |(и и + и/,0- |
(4.7) |
Таким образом, соотношениями (4.1)-(4.4) или (4.5), (4.6) дает ся постановка квазистатической (статической) задачи М Д ТТ в перемещениях (задача «А»). Назовем кинематической системой произвольное векторное поле ь(х, <), а статической системой — произвольное поле симметричных тензоров второго ранга Кинематически допустимой системой называется кинематическая система, удовлетворяющая кинематическим граничным условиям (4.4). Будем писать
у Е1/, если »,-|е 1 = й®. |
(4.8) |
Статически допустимой системой называетсясистема, удовлет воряющая уравнениям равновесия (4.3) и статическим граничным условиям. Будем писать
т Е Т , если гу ^ |
= 0, тцп, |е 2 = 5?. |
(4.9) |
Разность двух кинематически допустимых систем удовлетворяет однородным кинематическим граничным условиям
у Е11о, если |
= О, |
(4.10) |
а разность двух статически допустимых систем — однородным уравнениям равновесия и однородным статическим граничным условиям
г € То, если Г у ^ = 0 , гуп7|Еа = 0. |
(4.11) |
Назовем обобщенным решением задачи «А » функцию 3 € С/, для которой справедливы соотношения Коши (4.2) и определяю щие уравнения (4.1) и которая удовлетворяет тождествам
^= Ае{у),
V
(4.12)
Ае(3) = ^ Х1Щ<1У + !
V |
Е » |
для всякой достаточно гладкой функции ь 6 Чо- Другими сло вами, обобщенным решением задачи «А » называется функция й Е (/, удовлетворяющая для всякой гладкой функции у Е Уо интегральному тождеству
I »«(«)*« (3) ЛУ = Ае(у). |
(4.13) |
V