книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfобразец охлаждается приблизительно на 0,5° С. При нагруз ке, соответствующей временному сопротивлению на разрыв <ть, получим приближенную формулу для нагревания образца
|
1 - А |
6 рСрС |
(5.46) |
|
т = х |
X = |
|||
|
||||
Для стали х и 0,8. |
|
|
|
|
Б . Кручение (фугового стержня. Направив ось г |
вдоль оси |
|||
цилиндра, получим решение уравнения равновесия |
|
|||
ехг = |
еуг = |
^кгсоз<р, |
(5.47) |
|
где к(1) — крутка (угол закручивания на единицу длины). Введем
вектор |
касательного напряжения |
|
|
Р = |
(5-48) |
Тогда |
имеем |
|
|
о-и = \/2Р, еи = |
(5.49) |
Крутка к определяется заданием крутящего момента М :
ка/у/2
о - п |
г |
|
|
|
|
М = Ск1р — |
|
/ ше1<кя, |
|
(5.50) |
|
|
С . |
|
|
|
|
или, при линейном упрочнении материала, |
|
|
|
||
М = Ск1р - 0(1 - А) (к1р - |
7 2 е .5 , + |
|
к(г - г,), |
(5.51) |
|
где 1Р — полярный момент инерции сечения, 1Р = |
Зр — |
||||
статический момент площади поперечного сечения 5 = |
а |
||||
г„ — радиус упругой области при кручении, г, |
= \/2^. |
|
|||
После определения крутки находим функцию рассеивания |
|||||
РГ = СА( 1 - А) ( к г |
1 - А |
V |
Н (г - г г). |
(5.52) |
|
\ ^ 2 + |
А |
е‘ ) |
|
|
|
Функцию И7* можно считать обобщенным источником тепла в уравнении теплопроводности
рсрТ= |
+ |
Т\г=а= 0а, Т|<=0 = ^0- (5.53) |
Так как для круговой области известна функция Грина д(т,р,1), «решение» этого уравнения можно представить в виде
X |
а |
|
|
0 = / |
ёт I Ш*(р, т)д(г,р,1 —т)4р+ |
|
|
О |
о |
(5.54) |
|
* |
а |
||
|
+ 1 д(г,1 - т)0а(т)<1т + 1 д(г,р,1)0о{р) &р.
В случае, когда А=сопз4, выражение (5.54) дает решение постав ленной задачи. Если же Азависит от температуры, то выражение (5.54) представляет собой интегральное уравнение, которое реша ется методом последовательных приближений. Полагая в нулевом приближении А = -/4(0) =сопз1, находим по формуле (5.54) темпера туру 1?о- Затем определяем Л(1) = А (Т^), снова решаем уравнение (5.54) и.т.д. Сходимость этого процесса доказана в работе [71].
В. Задача о давлении со стороны сферической полости.
Пусть на границе полости действуют равномерно распределенное, возрастающее во времени давление р(<) и некоторая температура 1?„(<). Тогда имеет место первый интеграл уравнения равновесия
<ти + |
= В ^1?(г) - 0а- ^5 ^ г2М г^ + ^ , |
(5.55) |
где В = - 3 у !\ к а , а величину С можно найти путем удовлетворе
ния граничным условиям. Используя соотношение (5.36):
<т„ = 2С[1 —ш(е„, Т)]е„, |
(5.56) |
получаем из (5.55) выражение для <г„:
<ти = ф(С,0). |
(5.57) |
После этого находим другие величины:
тг = - Р а +л/б^ |
<т= |
+ От- |
(5.58) |
Величина С($) определяется из условия на бесконечности
оо
Ра = ^ ] - ф{С, Я) ёр. |
(5.59) |
а
Введем теперь фиктивный источник тепла
<р = —3«Т0<т + ам[шек] . |
(5.60) |
Для определения температуры среды воспользуемся формулой Грина для сферической полости:
т(г,г)=^ 4т^ |
3^е~^ ~ Г>~ е~ |
М л т)4р+ |
оо
о |
|
|
|
+ / 2 г \ Л г ~ е< |
} |
Лр' |
(5-61) |
а |
|
|
|
где х = Так как величину С(1) нельзя подсчитать, не зная распределения температуры, то задачу можно решить следующим образом. Полагая в качестве нулевого приближения распределе ние температуры Т(о), являющееся решением обычного уравнения теплопроводности, определяем величины <ти(о), <7(о), <Р(о) по фор мулам (5.56)—(5.60). После этого находим с помощью квадратур (5.61) распределение температуры Т(ц и т.д. Как уже указыва лось, сходимость этого процесса доказана в публикации [71].
Пусть известно, что несвязанная задача механики сплошной среды имеет единственное решение. Точнее говоря, пусть для за данных массовых сил и заданного температурного поля, а также для некоторых функций, заданных на достаточно гладкой границе и определенных в некоторых пространствах Банаха, существует единственное поле функций перемещений и, непрерывных по Г ельдеру 2 € Са (0 ) . При этом для всех функций Т(х,1), удовлетворя
ющих неравенству |Т|1+а < М, справедлива оценка |2(2, <)| < /V,
где М и N — некоторые постоянные.
Тогда решение связанной задачи (5.1)-(5.6) существует и един ственно.
В самом деле, если решение несвязанной задачи существует, т.е. существует вектор-функция 2 как вполне непрерывный опе ратор от Т, то оператор, стоящий в правой части уравнения
(5.2), является также вполне непрерывным от Г и удовлетворяет условиям теоремы, доказанной в [71].
Отсюда и следует существование и единственность связанной задачи механики сплошной среды.
Связанная задача (5.1)-(5.6) может быть решена методом мало
го параметра. Пусть оператор |
—а0) разлагается некоторым |
||
образом в ряд по параметру ж = аТо: |
|
|
|
Ш ~ «*>) = &>(€) + * ? !( € - |
«*>) + |
-«»>) + ••- , |
(5.62) |
где Т 0(е) — оператор, не зависящий от а. Ищем решение постав ленной задачи в виде рядов по степеням >с:
2 = Е 3(«)*”’ |
т = Е 7^*"- |
(5б3> |
|||||
|
п=0 |
|
|
|
п=О |
|
|
Для нулевого приближения решаем несвязанную задачу |
|
||||||
|
Т 0( Ш |
и) + рХ = рй |
, |
(5.64) |
|||
рсрТ' —й|у(А &таА Т) — р^+ \Уо |
(5.65) |
||||||
с граничными условиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
а<»>^0(1)еГи)й + |
|
|
(5.66) |
|||
|
в(»)Г + б («)^ |
= ^ ,) |
|
(5.67) |
|||
|
|
|
|
дп |
|
|
|
и начальными данными: |
|
|
|
|
|
|
|
|
при 1 = 1о |
и = щ, |
и0 = Уо> |
(5.68) |
|||
|
при |
( = 10 |
Т = Т°. |
|
(5.69) |
||
Решаем сначала уравнение (5.64) с краевыми и начальными |
|||||||
условиями (5.66) и (5.67). |
Получим нулевое приближение 2(о)• |
||||||
Подставим его в выражение |
|
и решим уравнение теплопро |
|||||
водности (5.65) с |
источником |
р^ + И^0*(П(о))- |
Для последующих |
||||
приближений (п ^ |
1) имеем уравнения |
|
|
||||
01у?(п )(°е^2(п) - |
а1>(„_!)) = Р% У |
(5-70) |
|||||
РсРТ(п) - ^ у(Л8гааГ(п)) = |
- «*>(*>-!))] + |
<• граничными условиями |
|
«(,)<?(п)(ОеГ2(п))й + 6(,) й(п) = О, |
(5.72) |
а ^ Т (п) + Ь ^ ^ - = 0 |
(5.73) |
и однородными начальными условиями. Вначале решаем урав нения (5.70) с граничными условиями (5.72), а затем, подставляя полученное решение и(„) в IV *, решаем уравнение теплопровод ности с источником тепла р^ + №*.
В каждом конкретном случае нужно исследовать сходимость рядов (5.63).
Часть II
МЕТОДЫ ВЫЧИСЛЕНИЙ
Глава 4
ВВЕДЕНИЕ В РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. РА ЗН О СТН Ы Е О П ЕРА ТО РЫ |
|
Пусть на отрезке [а, 6] дана непрерывная функция /(*)- |
Рас |
смотрим конечное множество точек этого отрезка {х ,}: |
|
Хо = а , х ! , 2Х, ■■. , Х Ы = ь , |
(1.1) |
называемых узловыми точками или узлами отрезка [а, 6]. Каждый
отрезок |
|
х< < х < х,+1 (г - 0 , . . . , N - 1) |
(1.2) |
называется конечным элементом [«, 6]. Совокупность узлов (1.1) называется сеточной областью, а совместно с множеством ко нечных элементов (1.2) — разбиением отрезка [а, 6]. Диаметром конечного элемента А< и шагом сетки А называются соответст венно величины
А,-= х,+ 1 — х,, А = тахА*, * = 0,1, . . . , N — 1. |
(1.3) |
Если все А,- = А, то сетка называется равномерной. Именно с такими сетками мы и будем в основном иметь дело. Каждой функции /(х), заданной на отрезке [а, 6], поставим в соответствие так называемую сеточную функцию {/*}:
/, = / (* ,) (| = 0 , . . . . А) |
(1.4) |
или N + 1-мерный вектор Д . Оператор г*, с помощью которого осуществляется это соответствие, называется оператором проек тирования. Мы будем всегда считать, что оператор г* ставит в соответствие каждой функции /(х) однопараметрическое семейст во сеточных функций или векторов Д ,,зависящее от параметра А.
Обратно, каждой сеточной функции Д (или однопа раметрическому семейству таких функций) можно поставить в соответствие
(по г нет суммирования). Очевидно, эта задача эквивалентна за даче определения таких функций р*(х) (к = 1 ,..., т ), называемых базисными функциями элемента, что в интерполяционных узлах их значения равны дельтам Кронекера:
|
Рк(У])=Рк(х[з)) ^ 6 3к. |
(1.10) |
Тогда функция |
(1*8) может быть представлена в виде |
|
|
т |
|
|
Ъ (*) = Е / ! % к ( х ) |
(1.11) |
|
*=1 |
|
и оператор восстановления Яд каждой сеточной функции Д ставит
всоответствие кусочно-непрерывную функцию
ЛГ-1
/°(*) = Е В Д - |
(1.12) |
»=0 |
|
Теория кусочно-полиномиальных приближений функции называ ется теорией сплайнов [116].
Упражнение 1.1. Показать, что если за интерполяционные функции принимаются полиномы степени т —1, то базисными функциями являются интерполяционные многочлены Лагранжа:
|
|
|
|
О) |
|
ш(у) |
(1.13) |
|
" |
« |
|
- |
И |
= |
|||
Зфк |
(у - Ук)и'(Ук)' |
|||||||
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
"(») = Ц |
у ~ 2/')’ |
ш>(»*) = Щ |
(1.14) |
|
|
У = У к |
|
Упражнение 1.2. |
Показать, |
что для достаточно |
гладкой |
функции /(х ) внутри элемента (1.7) ошибка аппроксимации |
|||
|
6 Г = / ( у ) - Ъ ( у ) |
(1.15) |
|
может быть оценена следующим образом: |
|
||
\6/\ ^ ~ЬМ а^ ь ММ
771! й%^ у ^ 0 |
(1.16)
М = шах /(т\ у ).
Заметим, что, располагая интерполяционные узлы внутри ко нечного элемента (1.7), можно добиться того, чтобы правая часть
ь
^ /1 (ж) ^х —/ 0Л1 + ДЛг + ---- |
1- /м-гкя, |
||
а |
|
|
(1.23) |
ь |
|
|
|
|
|
|
|
I |
= / 1^1 +/2^2 + ----- |
|
|
а |
|
|
|
Вообще, формулы вида |
|
|
|
0 |
Ы- 1 |
N |
|
[ р(х)/(х)Лх» Е |
к Е |
с1-24) |
|
|
1=0 |
.'= 1 |
|
называются квадратурными. (Здесь р(я) — так называемая весо вая функция.) Левую часть (1-24) можно представить в виде суммы
ь |
|
|
У р(х) Я х) йх = |
р ( у ) / ( у )<*у , |
(1.25) |
где отрезок [а,, 6,] представляет собой конечный элемент. Тогда, представляя на этом элементе функцию /(х) с помощью интерпо ляционных полиномов Лагранжа:
№ * П |
у ) = Е / % * ( » ) ; / (*> = / Ы > |
(1-26) |
||
|
|
*=1 |
|
|
получим квадратурную формулу |
|
|
||
»1 |
|
|
|
|
/ |
рЫ/(2/)^ = Е С^ (*:) + ^> |
(1.27) |
||
|
*=1 |
|
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
р{у)ш{у)йз |
1 ,..., т. |
(1.28) |
|
|
к = |
||
(У ~ Ук)и'(Ук) ’
Здесь 6 / — ошибка аппроксимации квадратурной формулы. Квад ратурная формула (1.27) при выборе коффициентов Сд, в виде (1.28) называется интерполяционной. Говорят, что квадратурная