книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdf(4.17) и (4.18) примут вид
|
> |
|
(4.19) |
|
= Уцк1&к1у |
|
(4.20) |
где тензоры Сцк! и ^цк^ взаимно обратные, т.е. |
|
||
|
Оцк1^к1тп = ^гзк1Ск1тп * |
Дутп> |
(4.21) |
а тензор Дутп |
определяется по формулам (4.9). |
|
|
Заметим, что размерность величин |
|
совпадает с |
|
размерностью |
напряжений, т.е. кг/см2 |
или н/м2, |
1 кг/см2 » |
98066,5 н/м2. Размерность же величин Равна (см2/кг)"
или (м2/н)п. В случае (4.17) оператор Т превращается в функцию (согласно определению, принятому в § 3).
Всякий тензор, инвариантный относительно некоторой группы преобразований, являющейся подгруппой полной собственной ор тогональной группы, может быть выражен как сумма конечного числа тензоров со скалярными коэффициентами. Это множест во тензоров, каждый из которых является инвариантным отно сительно рассматриваемой группы преобразований, называется тензорным базисом этой группы преобразований.
Таким образом, для каждой группы преобразований, харак теризующей определенный класс анизотропии, можно построить некоторый тензорный базис и на его основе конструировать раз личные тензоры, инвариантные относительно этой группы, в час тности тензор четвертого ранга Гцц.
Мы рассмотрим три самых распространенных вида анизот
ропии.
К первому виду можно отнести изотропный материал, свойс тва которого одинаковы во всех направлениях и при отражении относительно любой плоскости.
Свойства «трансверсально-изотропного» материала остаются неизменными при повороте на произвольный угол относительно некоторой оси (например, третьей) и при любом отражении отно сительно плоскости, содержащей эту ось.
Наконец, материал, обладающий свойством «ортотропии», имеет три взаимно перпендикулярные плоскости симметрии.
Упражнение 4.2. Показать, что тензорный базис для изотроп ного материала состоит только из единичного тензора 6ц и что тензор четвертого ранга Гцы, симметричный по индексам », ] и к, /, выражается через тензорный базис в виде
Г«уы = \\6ц6к1 + Лг(блбц + 6ц6;к)- |
(4-22) |
Упражнение 4.3. Показать, что тензорный базис трансвер сальной изотропии составляют вектор и тензор
^з»,7у = |
(4-23) |
и тензор четвертого ранга Гун, удовлетворяющий всем условиям симметрии, отмеченным выше для тензора, фигурирующего в определяющих соотношениях, имеет вид
Г , = А т П к ! + Л2(т*к7 )1 + 7>*7«) + А зЫ } 6зк6з1 + 7*1*з<*з,)+
+ Л4(5з,6з,%^3< + Аь(ък6з]^31 + 'У]к6&йз1 + 7.1^3;^3* + 7Л$3»$3*)-
(4.24)
Упражнение 4.4. Показать, что тензорный базис для ортотропной среды имеет вид
(« = 1.2,3) |
(4,25) |
и тензор Гу*» представляется через него следующим образом:
Г„„ = А1(^>ТЙ, + Т?>ТЙ))+
(4-26)
Упражнение 4.5. Показать, что выражения (4.24) для транс версально-изотропной среды получаются как частный случай со отношений (4.26) для ортотропной среды, если в последних по ложить
Лб = Л7 = Л» + 2Лг, Ад = Аз, Аэ = Л5 . |
(4.27) |
Упражнение 4.6. Показать, что выражения (4.22) для изотроп ной среды получаются как частный случай соотношений (4.24) для трансверсально-изотропной среды, если в последних положить
Лз = Ах, Лб = Аз, Л4 = Л1 ■+■2Лг- |
(4-28) |
Упражнение 4.7. Показать с помощью (4.19), (4.26), что если для ортотропной среды тензор напряжения является линейной функцией тензора деформаций, то между компонентами тензоров напряжения и деформации справедлива зависимость
<Гц = Лб^п + Л1С22 ■+■Лз«зз,
022 —ЛхЕп Л7®22 + ^8*33,
0зз = А3ец + ЛзСгг + Лцбзз,
(4.29)
012 = 2А2612,
013 = 2Л5С13,
023 = 2Лд€23)
где с учетом симметрии отличные от нуля компоненты тензора модулей упругости таковы:
\7 = С2222» |
Аз = С2233, Л9 = С2323, | |
|
|||||
А 4 = С з з з з , |
Л 5 = |
С |
щ з , А б |
— С |
ц ц , |
> |
( 4 . 3 0 ) |
Ах = 62211, |
Л 2 = |
С |
1212, А 3 |
= С |
ц з з - |
^ |
а |
Для изотропной среды связь между напряжениями и деформа циями (4.19) с учетом (4.22) имеет вид
0ц — А96ц + 2 , |
(4.31) |
где Л и р —так называемые постоянные Ламе:
А=АЬ р = А2. |
(4.32) |
Связь (4.20) в изотропном случае приобретает вид
€ ц = Х ' в б ц + 2рЧ ,. |
(4.33) |
Упражнение 4.8. Показать, что коэффициенты А' и р' связаны с коэффициентами Ламе следующим образом:
Если свернуть левую и правую части равенства (4.31) с единич
ным тензором |
то получим |
|
|
<г = |© = К в, |
(4.35) |
где величина |
|
|
|
К = Ь + \ц |
(4.36) |
назьшается модулем всестороннего растяжения (сжатия). |
Если |
|
теперь из (4.31) вычесть равенство (4.35), помноженное на единич
ный тензор |
то получим |
|
|
8Ц = 2рец . |
(4-37) |
Коэффициент Ламе р называется иногда модулем сдвига и обоз начается С.
Если рассматривается одномерное напряженное состояние, т.е. когда единственная компонента тензора напряжения, например
<г11( отлична от нуля, то отношение сгцАп |
назьшается модулем |
Юнга и обозначается Е: |
|
<гц = Е ец , |
(4.38) |
а отношение поперечного сужения к продольному удлинению --Е22А п — коэффициентом Пуассона и:
Е22
I/ (4.39) ЕЦ
Упражнение 4.9. Лля одномерного напряженного состояния доказать, что
- |
л |
(4.40) |
|
2(А + р) |
|
Иногда бывает удобным ввести другой безразмерный параметр ы [33]:
2С7_ 1 —2*^ |
(4.41) |
|
ш ~ г к ~ 1 + и ' |
||
|
Соотношения между возможными упругими постоянными линей ной изотропной среды приведены в приложении V.
Если тензор напряжения является изотропной тензорной фун кцией тензора деформации, то наиболее общее выражение (4.1) для этого случая имеет вид [112 ]
= а06ц + а геу + а2е,ке у , |
(4.42) |
где ао, «1, а2 — функции от трех независимых инвариантов тен зора деформации. Если зависимость (4.42) предполагается ква зилинейной, то
— а0$у + <»1еу, |
(4-43) |
причем в этом случае ао и <ц являются функциями только двух независимых инвариантов, в качестве которых мы будем выбирать в и еи (1.29) и (1.30).
Упражнение 4.10. Показать, что равенство (4.43) адекватно
двум скалярным соотношениям |
|
|
ву=<*1еу, |
|
(4.44) |
<г = ао + ± а 10. |
Ш |
(4.45) |
Для очень многих материалов изменение объема в происходит пропорционально среднему напряжению <т, т.е. соотношения (4.45) имеют более простой вид (4.35).
Соотношения (4.35) иногда принимаются и для более сложных определяющих соотношений, имеющих операторный вид. Так, например, в случае теории малых упругопластических дефор маций Ильюшина [27], справедливой при рассмотрении простых процессов (когда все компоненты тензора еу(<) изменяются про порционально одному параметру), связь между девиаторными составляющими тензоров напряжения и деформации имеёт слож ную операторную зависимость
= М .;, |
(4.46) |
а шаровые части этих тензоров изменяются по закону (4.35). Оператор а г входящий в (4.46), не является гладким. Он зави
сит от направления процесса (разгрузка или нагрузка), и поэтому записать его в явном виде трудно. Поэтому вместо аналитической записи применяют словесную формулировку закона (4.46). Гово рят, что если процесс происходит активно (нагрузка), то имеет место соотношение
(4-47)
где и = ц>(е„) — так называемая функция пластичности Ильюши на, зависящая от интенсивности тензора деформации и определя ющаяся экспериментально. Бели же рассматривается пассивный процесс (разгрузка), соотношения (4.46) имеют вид
+ 2**(еУ ~ е0')’ |
(4-48) |
где тензоры ву и «у соответствуют началу протекания процесса разгрузки.
Отсюда видно, что при протекании только активного процесса тензор напряжения является функцией тензора деформации. По этому очень часто говорят, что соотношения (4.47) описывают физически нелинейную упругую среду.
Упражнение 4.11. Доказать, что квазилинейные трансвер сально-изотропные соотношения между напряжениями и дефор мациями могут быть записаны в виде
<г = |
а 1 + -а г + 2а4е33, |
(4.49) |
= «2 ^31^3/ - |
+ “ зсу + а 4 ^з»е3;- + $з;-е3<- |
- е 33<5у^ , |
|
|
50) |
где « 1, 02, а3) оц являются функциями инвариантов
0, езз, л/еа-е.-з, е„. |
(4.51) |
Упражнение 4.12. Доказать, что квазилинейные ортотропные соотношения между напряжениями и деформациями могут быть записаны в виде
а — <*1 + д(<*2 + а з ) + д ( « 5 с 11 + « б ^ г г )) |
(4.52) |
|
®Ч = «2 |
—3 ^0'^ + а3 ^ 2^2 ~ 3 ^4 ^ + <*4&ч+ |
|
+ а 5 ^<( 6це^$>1 1 + <5;1е,1 - -ец6у^ + а 6 ^,-2^2 + <5>2е,2 —-егг^о ) , |
||
|
|
4.53) |
где в 1, . . . , а б — |
функции инвариантов |
|
|
0. ^11> ^22, ■у/сцвц, л/е2»е,2, |
(4.54) |
Упражнение 4.13. Пользуясь определением функциональных производных (3.13) и (3.14), показать, что из (4.47) следуют со отношения
|
(4.55) |
д 2ец |
|
+ 6кт ^ 1г»е«7 +Л,т^„еы)| - — |
(4.56) |
Упражнение 4.14. Пользуясь определением функциональных производных (3.13) и (3.14), показать, что из (4.15) следует
|
|
1 |
|
|
Я *у {ец ,Ь ы }= ^ г уы(<>г)Аы(г)^ + |
|
|
о |
|
|
< < |
|
+2 |
,т2 ) к к1,1 ( ,п ) е к 3ъ (т 2)<1т1(1т2+... |
X |
|
О о |
X |
||
- + п I - |
/ |
П ...гп)Лк1,1(г1)ек,,1(г2)...€кж|.(г п)<1т1...«1г„, |
« |
<5 |
(4-57) |
Д2*{е*,,Л *,}=21 1 Г ^ 1,1к2,2(1,пт>г)Л*1,1(т1)Ак,,2(г2)<1г1^+...
<<
...+п(п—1) I ...
оо
••ек,_2«,_2(г„_2)Ак1,_1»»_1(п.-1)Ак»и(г„)«1гх...<1т„, (4.58)
Г>Н0,^}=1 т\]1(г,т)кк1(т)аг. Ш |
(4.59) |
В заключение параграфа заметим, что операторные соотноше ния (4.1) разрешены относительно деформаций,т.е. если заданы (4.1), то всегда справедливы и операторные соотношения
5 = ?(?). |
(4.60) |
где оператор О является обратным по отношению к Т . Част ными видами обратных соотношений (4.1) и (4.60) являются: (4.3) и (4.6); (4.13) и (4.14); (4.15) и (4.16); (4.17) и (4.18); (4.19) и (4.20).
§ 5. О П РЕД ЕЛ ЯЮ Щ И Е СОО ТН ОШ ЕН И Я ПРИ Н ЕИ ЗО ТЕРМ И Ч ЕС К И Х П РО Ц ЕССА Х
Если рассматриваются неизотермические процессы, то требу ется привлечение законов термодинамики, сформулированных в § 2, и их следствий. Прежде всего установим физические соотно шения между вектором потока тепла $ и градиентом температуры
5 = —Ат яга<1Г, <?, = -АТ.Г,-. |
(5.1) |
Положительно определенный симметричный тензор Ат называется тензором теплопроводности. Размерности величин, входящих в (5.1), следующие (размерность будем обозначать заключением соответствующей величины в квадратные скобки): [5] = кал/с-см2, \Т\ = °С, [А^] = кал/с •см •°С (1 кал » 4,1868 Дж » 42,7 кг •см).
Линейные определяющие соотношения (5.1) носят название законов Фурье. С помощью этих соотношений второй закон термодинамики в дифференциальной форме (2.32) можно записать в следующем виде:
р Т Н = <Ку(Ат •8га<! Т ) + рд + Ш * . |
(5.2) |
Уравнение (2.34) запишем в дифференциалах:
р<№ + рНсГГ + IV* И = <гу«ку. |
(5.3) |
Упражнение 5.1. Показать, что для изотропной ^реды с по мощью единичного тензора .7 тензор теплопроводности \т может быть представлен в виде
АТ = АТ У, А? = А % . |
(5.4) |
Величина Ат носит название коэффициента теплопроводности. Упражнение 5 .2 . Показать, что для трансверсально-изотроп ной среды тензор Ат может быть представлен с помощью тензор
ного базиса (4.23) в виде
Ау- = )ч6з,6з) + АгТу. |
(5.5) |
Упражнение 5.3. Показать, что для ортотропной среды тензор Ат мажет быть представлен с помощью тензорного базиса (4.25) в виде
Л5 = Л(Ь)Т!?). &= 1,2,3. ■ |
(5.6) |
Для неизотермических процессов на напряженное состояние среды будет оказывать влияние не только деформация, но и тем пература. Тогда операторные соотношения (4.1) можно записать в виде
? = ? { е ,Г } . |
(5.7) |
Гипотеза Люгамеля-Неймана заключается в том, что в уравнени ях (5.7) аргументом правой части будет единственный тензор ет:
<т = ( { е т}, |
(5.8) |
представляющий собой комбинацию
ет = е —а д , |
(5.9) |
где а — симметричный тензор теплового расширения среды ([1/°С]; мы будем считать, что его компоненты являются постояв ными), д — перепад температуры, т.е. разность между текущей температурой Т и температурой недеформированного состояния Го (предполагается, что такое состояние существует).
Упражнение 5.4. Показать, что тензор теплового расширения для изотропной среды имеет вид
а = о <7, |
= аёц , |
(5.10) |
для трансверсально-изотропной — |
|
|
«у = |
+ «270 |
(5.П) |
и для ортотропной среды — |
|
|
“О = “ (*)78°, |
* = 1,2,3. ■ |
(5.12) |
Величина а в (5.10) носит название коэффициента теплового расширения среды.
Функции состояния Я, Ф, входящие в уравнения (5.2) и (5.3), зависят от температуры Г и некоторых термодинамических пара метров состояния (1 = 1 , . . . , Я ), которые при описании среды
не всегда просто указать явным образом. Мы примем «основ ную» гипотезу, заключающуюся в том, что параметры состояния /х являются операторами вида (3.4) от тензора ет [28]:
* (0 = #(,){€Т}- |
(5-13) |
Тензор ет в каждой точке является функцией времени ет , т.е. процессом.
Полную вариацию 6М{ представим в виде суммы двух незави симых вариаций: изохронной вариации ц ^ ё е т, когда при фикси
рованном I варьируется вид функции ет (г) (0 ^ г ^ <), и вариаций /х|.^хЙ, обусловленной варьированием независимого аргумента
*А*(0 = е(1)^Т + й ) Л - |
(5-14) |
Если /х^ является тензором второго ранга, то под величиной ре.
ац
понимается функциональная производная д~У, т.е. тензор чет
вертого ранга, а под величиной /х^ — частная производная
оператора М по |
времени. |
|
|
|
Поэтому уравнение (5.3) запишется в виде |
||||
|
+ р М - ? |
|
<1? + |
+ рМёТ+ |
дТ |
де « ) ' |
1) |
% ) |
(5.15) |
+Ш*ё1 = Т {е |
- |
а д }ёе, г = |
1 ,2 ,... ,ЛГ. |
|
Приравнивал в (5.15) выражения при независимых вариациях ёе, ёТ, А получим
дФ |
дФ |
(5.16) |
д Т |
»'<*<* = ~ Н> |
|
д/х,Л-(0 |
|
|
|
-(•) |
|
|
|
(5.17) |
Р |
р - ^ ) = -и '* - |
(5.18) |
|
% ) ' ( ) |
|
Предположим, что все термодинамические функции состояния Ф, Н, V имеют аддитивную составляющую, зависящую только от температуры. Например,
N
Ф(Г.р ) = Фо(Т) + ^ н « |
(5.19) |