книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

откуда, учитывая произвольность величин 6а, т.е. 6й, 6е и 6<т, получим (7.26)-(7-29).

Бели воспользуемся преобразованием Лежандра, то оператор

где под символом а понимается теперь совокупность величин « и <г. Упражнение 7.8. Исходя из оператора Рейсснера (7.56), сфор­ мулировать вариационный принцип и вывести из него соотноше­

ния (7.26), (7.29) и соотношение

Упражнение 7.9. Показать, что лагранжиан является частным случаем оператора (7.53), если считать заранее справедливыми соотношения Коши (7.27) и определяющие уравнения (7.28).

Упражнение 7.10. Воспользовавшись преобразованием

показать, что кастильяниан является частным случаем операто­ ра (7.56), если удовлетворяются уравнения равновесия (7.26) и статические граничные условия (7.29//).

Упражнение 7.11. Воспользовавшись принципом Д ’Аламбера, т.е. вводя инерционные силы заменой

сформулировать вариационные принципы Лагранжа, Кастильяно, Рейсснера для случая, когда учитываются силы инерции. Ш

Предположим теперь, что определяющие соотношения (7.28) таковы, что для любого тензора Н

Тогда можно доказать, что стационарная точка лагранжиана (7.31) является точкой минимума. В самом деле, полагая в тождестве (7.15) й2 = 3 (любой кинематической системе), а Зх = 3 (решению задачи (7.26)-(7.29)), имеем, учитывал (7.60),

^ {3} = ^{3} - А(е\$) ^ ^ {3} - Л(е)(и)+

+ у I еу(3 - 3)еу(3 - 3) ё У > ф{Ь) - А ^ ( 3) = Г {3 }. (7.61)

V

При выполнении условия (7.60) справедлива также теорема един­ ственности обобщенного решения задачи (7.26)-(7.29).

Всамом деле, предположим противное: существуют решения

«1 и 32. Тогда из (7.3) следует, что они удовлетворяют тождеству

Поэтому, полагая в (7.63) еу(3) = еу (32)-е у (Йх), получим из (7.60)

®^ У[0у'{*Ь} —^»>{21}][еу(32) —еу(й\)]ёУ ^

у

V

Отсюда следует, что

т.е. поля «х(5) и й2(х) могут различаться между собой только на смещение тела как жесткого целого. Однако в силу условий (7.297) такое смещение недопустимо. Отсюда следует единственность решения задачи (7.26)-(7.29).

Бели же граничные условия являются только статическими, то решение задачи М Д Т Т единственно с точностью до движения тела как жесткого целого:

где й° и й00 — два произвольных постоянных вектора. Исклю­ чить жесткое смещение тела можно, закрепив его какую-нибудь точку х°:

или, например, потребовав, чтобы

Заметим также, что при статических граничных условиях о разрешимости задачи М Д Т Т можно говорить лишь в том случае, когда «система самоуравновешена», т.е. для всего тела выполня­ ются уравнения (2.2), (2.3), которые для случая равновесия можно записать в виде

Упражнение 7.12. Используя доказанную теорему единст­ венности, доказать, что точка минимума лагранжиана является единственной. ■

Потребуем теперь, чтобы для определяющих соотношений (7.44) выполнялось неравенство для произвольного симметрич­ ного тензора й:

Тогда можно доказать,что стационарная точка кастильяниана (7.47) является точкой максимума.

§ 8. НОВАЯ ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ М ДТТ И НОВЫЙ ВАРИАЦИОННЫЙ ПРИНЦИП

Рассмотрим уравнения совместности в форме (1.40) гл. 1:

где ^ — произвольный симметричный тензор-константа второго ранга. Рассмотрим далее уравнения движения

или в в случае квазистатических (статических) задач М ДТТ уравнения равновесия

Очевидно, вектор 5 получается из вектора 3* пренебрежением инерционными членами ри ". Применим оператор БеГ к вектору 5* (или вектору 3):

Предположим, что ф является симметричным тензором-операто­ ром от тензора 5* (или тензора 3), таким, что выполняются условия (7.60), т.е. для произвольного симметричного тензора Л выполняется неравенство

Тогда в силу доказанной в предыдущем параграфе теоремы един­ ственности следует, что уравнения

имеют единственное тривиальное решение (8.2), если на границе области V заданы граничные условия

571= = о.

Пусть теперь нам заданы определяющие соотношения (4.60), граничные условия (6.5) и начальные условия (6.6). Будем счи­ тать область односвязной. Выразим уравнения (8.1) и (8.4) с

при удовлетворении граничным условиям (8.18) и

Тогда можно сформулировать основные уравнения в дивергентной форме. Для этого заметим, что

Динамическая задача М ДТТ в напряжениях (8.26) заключается в решении шести уравнений

с использованием определяющих соотношений (4.60) при выпол­ нении граничных условий (8.7), (8.8) и начальных данных (8.9). Соответствующая квазистатическая (статическая) задача М ДТТ в напряжениях заключается в решении шести уравнений (8.26) с использованием определяющих соотношений (4.60) при удовлет­ ворении граничным условиям (8.8), (8.15). Покажем, что при­ веденная постановка задачи эквивалентна классической. Пусть, например, дана постановка квазистатической задачи (8.26), (8.8), (8.15). Свернем уравнения (8.26) с единичным тензором 6ц:

Учитывал граничные условия (8.15) и свойство оператора (8.24), (8.25), получаем уравнения равновесия (8.3), что и требовалось доказать.

Введем теперь следующие обозначения:

и рассмотрим тензор третьего ранга

Еик = Схз.к + бы^2^ “ е}^ + Ы ^2^» ~ е«^ +

Пусть, кроме того, заданы взаимнообратные определяющие со­ отношения (4.1) и (4.60):

Очевидно, что квазистатическая (статическая) задача МДТТ в напряжениях заключается в решении уравнений (8.33) с учетом определяющих соотношений (8.39) при удовлетворении граничным условиям (8.36), (8.37). Та же задача в деформациях заключает­ ся в решении уравнений (8.33) при удовлетворении граничным

условиям (8.36) и (8.37), если воспользоваться определяющими соотношениями (8.38).

Ладим теперь вариационную постановку рассматриваемой за­ дачи. Для этого определим такой скалярный оператор 93, за­ висящий от градиентов напряжений, что выполняются условия

Назовем тензором потоков симметричный тензор второго ранга X, определенный на поверхности Е:

где А я В — некоторые размерные постоянные.

Упражнение 8.4. Показать, что формулировка задачи (8.33), (8.36), (8.37), (8.39) вытекает из вариационного принципа

причем при варьировании функционала (8.42) потоки х не варьи­ руются (считаются «замороженными»), а подставляются их вы­ ражения по формуле (8.41).

Упражнение 8.5. Показать, что для линейной изотропной среды при