книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Полежим, как и ранее, что точка 1п = Ап остается всегда узловой при уменьшении шага. Тогда имеем при достаточно малом А

в(2.30) неограниченно возрастает при Л —►0. Лаже если выбрать

вкачестве начальных условий (2.24), (2.25), то из (2.28) имеем

и мы неизбежно приходим к катастрофе, ибо малейшая ошибка в начальных данных (2.31) вызывает ошибку, нарастающую с но­ мером п. При этом уменьшение шага А только ухудшает дело. В табл. 2.1 в столбцах 3 и 6 дано решение (гЛ) разностных уравнений (2.23) при н — —10 и начальных условиях (2.24), (2.25), где Со = 1.

абсолютному значению катастрофически растет с ростом номера п и при уменьшении шага А. Такое явление называется неустой чивостью счета. В этом случае решение разностного уравнения не стремится к решению исходного уравнения.

Будем говорить, что разностная система (2.2) является устой­ чивой, если малое изменение правой части влечет за собой малое изменение решения. Чтобы сформулировать это условие точнее,

вычтем из (2.2) выражение !./,(//,. Тогда, используя определение

Используя обозначение (2.32), условие аппроксимации (2.4) можно записать в виде

Л -0=»||*Л||->0. (2.34)

Сравнивая (2.34), (2.33) и (2.11), мы видим, что из аппроксимации и устойчивости следует сходимость. Это утверждение называется теоремой Лакса.

§ 3. М ЕТОЛ ПРОГОНКИ

Рассмотрим задачу теории упругости о бесконечно длинной трубе, на внутреннем радйусе которой г = а задано равномерное давление ра, а снаружи (г = 6) эта труба армирована тонкой упругой оболочкой и подвержена внешнему давлению рь- Пусть задано температурное поле #(г) и модуль сдвига О зависит от радиуса. Тогда единственное уравнение Ламе для этого случал имеет вид (2.55) гл. 3, а граничные условия — вид'(2.61) гл. 3. Переход к численному решению задачи начинается прежде всего с ее «обезразмеривания», т.е. введения безразмерных параметров и характеристик. Будем считать, например, что все модули и давления отнесены к некоторой постоянной ро — модулю сдвига при г = а. Вводятся безразмерный радиус и безразмерные пере­ мещения, отнесенные к внутреннему радиусу трубы г = а. Введем сеточную область {х ,}, х = г/а,

причем хц = А. После этого приступаем к построению разностной

(3.2) действительно аппроксимирует оператор Ь в (2.55) гл. 3 со вторым порядком.

Упражнение 3.2. Показать, что если модуль сдвига является постоянным и температурное поле отсутствует, то в (3.2) следует

п = 1,2,... ,ЛГ — 1.

Упражнение 3.3. Показать, что разностная функция м„ = 1 +пН (п —0 , ... , ЛГ) является решением системы (3.4), а разностная функция

ратор ^ на внутреннем радиусе правой разностной производной д, а на внешнем — левой разностной производной д ~:

Полученную разностную задачу (3.2), (3.5), (3.6) можно записать в виде

Если бы на границе были заданы перемещения, то в (3.8) и (3.9) следовало бы положить ус\ = >с2 = 0. Система (3.7)-(3.9) представляет собой неоднородную разностную краевую задачу для уравнения второго порядка с переменными коэффициентами

ап > .

Поставленная разностная задача должна быть корректной, т.е. должно существовать единственное ее решение и должна иметь место устойчивость. Однако допущенный нами волюнтаризм в написании граничных условий (3.8), (3.9) может привести к тому, что задача (3.8)-(3.9) не будет имееть решения.

В самом деле, рассмотрим задачу о расстяжении стержня постоянной массовой силой. В безразмерном виде эта задача мажет быть записана так:

Как мы видели в § 7 гл. 1 это вторая краевая задача теории упру­ гости может быть разрешимой лишь в том случае, если система «самоуравновешена», что возможно лишь в случае, когда А = —1.

Однако и здесь решение задачи (3.10), (3.11) не единственно, а может быть определено с точностью до смещения тела как жес­ ткого целого, т.е. в данном случае с точностью до константы С. Нетрудно видеть, что решение задачи (3.10), (3.11) имеет вид

Рассмотрим разностную задачу, соответствующую задаче (3.10), (3.11). После естественной дискретизации области и аппроксима-

ции оператора др получим

При написании граничных условий для разностной задачи посту­ пим таким же образом, как и при выводе условий (3.5) и (3.6). Тогда

т.е. имеем частный случай общих граничных условий (3.8), (3.9), где

Заметим, что при выполнении условия (3.15) задача (3.13), (3.8), (3.9) не может иметь единственного решения. В самом деле, вводя

получим вместо (3.13)

а вместо (3.8), (3.9)

т.е. имеем систему N + 1 уравнений (3.13), (3.18) для определения N величин Нетрудно видеть, что решение уравнений (3.13) может быть записано в виде

где С — постоянная, с точностью до которой определяется реше­ ние задачи (3.13), (3.14), В — постоянная, которая должна быть определена из удовлетворения граничным условиям (3.14). Лег­ ко видеть, что невозможно подобрать В таким образом, чтобы удовлетворить сразу двум условиям (3.14). Следовательно, при

написании граничных условий краевых разностных задач нужно исходить из каких-то правил, которые мы в дальнейшем рассмот­ рим. А пока заметим, что решение (3.19) при В = О

и

удовлетворяет граничным условиям

при В = -Ц -

удовлетворяет граничным условиям

и, наконец, при В = тр

удовлетворяет условиям

Вернемся к общей системе (3.7)-(3.9). Ее расширенную мат­ рицу можно записать в виде

Мы видим, что матрица этой системы трехдиагональная, но не треугольная.

Упражнение 3.4. Показать, что система (3.7)-(3.9) при

< равнивая первое и последнее выражения в йепочке равенств (3.35), получим

'Зп+1 — ^пАп “Ь Дп—1, -^п+1 — ®пВп “Ь ЪпВ п-. 1» « —2 , 3 , . . . , ^ 1. (3.36)

Добавляя к этим соотношениям тождества, следующие из (3.34):

можем последовательно находить все коффициенты Дп, Вп (п = 1,..., Л7 — 1) по формулам (3.36), (3.37), а затем все если известны ио и «1. Однако «1 нам неизвестно, поэтому, определив из (3.34) величину им (которая известна из граничных условий (3.33)), выразим через нее и щ величину их:

Тогда из (3.34) имеем

Полученное решение можно трактовать как линейную комбина­ цию решений двух разностных задач Коши. В самом деле, из тождественных преобразований (полагая щ — 0, 0 — некоторый параметр), где

и„ = Апи1 + В„и0 = Ап0 + Впщ ( 1 + 0 - 0 ) = = 0(Ап + Впиа) + (1 - 0)В пщ = 0и'п + (1 - /?)«",

(3.40)

мы видим, что решение задачи (3.32), (3.33) может быть представ­ лено в виде комбинации двух решений: и'п, удовлетворяющего уравнениям (3.32) и начальным условиям

и и ", удовлетворяющего уравнениям (3.32) и начальным условиям

После решения этих двух задач Коши, полагая в (3.40) п = N , получим

илг _ и'к

Коль скоро известно число /?, то находим и все и„ (п = 0, -.., ЛО по формуле (3.40). Описанный метод называется методом стрельбы [19, с. 55]. Рассмотрим пример его применения. Пусть стержень с переменным модулем Е — Еое~ах, а > 0, растягивается так, что на его концах.заданы перемещения. Тогда уравнение равновесия

Удовлетворяя соответствующим начальным условиям (3.42) и

где /? определяется из (3.44). Предположим, что решения (3.48) найдены точно и ошибка в решении (3.50) обусловлена только

В табл. 3.1 приведены значения и1п—и„ при различных ак. Ошибка

ввычислении ип увеличивается с ростом п, т.е. имеет место неустойчивость счета.