книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Заметим, что здесь неустойчивость связана с методом решения разностного уравнения, хотя сама разностная система являлась устойчивой. Следовательно, если в результате счета замечено моление неустойчивости (например, возникло переполнение ячеек, авост), а программа составлена правильно, то это явление мажет быть связано как с неустойчивостью разностной схемы, так и с неустойчивостью алгоритма ее реализации. Поэтому прежде, чем считать, нужно быть уверенным в корректности выбранной разностной схемы.

Рассмотрим теперь другой метод реализации разностной за­ дачи (3.7)—(3.9), известный под названием метода прогонки [19].

Из сравнения (3.53) при п — 0 с граничным условием (3.8), ви­ дим, что

Коэффициенты С}п, Рп (п = 1,2,..., ЛЛ) называются прогоночными коэффициентами. Из сравнения (3.53) при п = 17 с граничным условием (3.9) находим

Прежде всего вводим безразмерные величины, относя основные величины к характерным: длине /, температуре То. Пусть А — некоторая величина, имеющая размерность времени. Тогда

Подставляя эти выражения в соотношения (4.1)-(4.3), получим

Отсюда определяем величину А и вводим безразмерный источник тепла д:

Выражение в граничных условиях (4.7)

(4.9)

называется критерием Био. Заметим, что из (4.7) следует, что если критерий Био Вщ равен нулю, то соответствующий край теплоизолирован; если Вщ = оо, то на этом крае задана темпе­ ратура ??(,). Опуская теперь черту над буквами, сформулируем задачу (4.1)-(4.3) в безразмерном виде:

дТ _ д*Т

Составим теперь разностную схему, соответствующую задаче

1

где т= сопз1 — шаг по времени. Обычным образом выберем коор­ динатные узлы. Тогда на плоскости х, I получится прямоугольная сетка (рис. 28). Прямую 1т = сопв1 будем называть временным слоем т или просто т-м слоем. Значения разностной функции в узлах сетки будем обозначать

и(^т> *п) = < )

т.е. вверху пишем индекс, относящийся к временному слою, а внизу — индекс по координате. Аппроксимируя ^ разностной

производной д д ~, ^ разностной правой производной <Э«, в гранич­

ных условиях (4.12) производную ^ при г = 1 правой разностной производной, а при 1 = 2 левой разностной производной, получим

Зная из (4.16) значения «л на нулевом слое, по формуле (4.19) определяем значения на 1-м слое (ш = 1) во всех внутренних

точках п = 1, 2 . . , , N - 1. Из граничных условий (4.17)

После этого по формуле (4.19) определяем все значения сеточной функции «д на 2-м временном слое во внутренних точках, а с помощью (4.20) — и в граничных точках и т.д. Таким образом, переходя с одного слоя на другой, мы последовательно находим решение разностной задачи по «явной» формуле (4.19). Поэтому разностная схема (4.15) называется явной.

Аппроксимация рассматриваемой разностной схемы не вызы­ вает сомнения, она имеет порядок 0 (т, к2). Для выяснения вопроса об ее устойчивости рассмотрим пример. Положим в (4.15)-(4.17)

С = 1. *» = 0, Д(1) = В (2) = оо, ^ ) = ^ ) = 0, Л = 0,2 (ЛГ = 5).

(4.21) Для этого частного случая при т = 0,02 и г = 0,1 в табл. 4.1 даны значения разностной функции «й. При этом в силу граничных условий в обоих случаях и™ = 0 и в силу симметрии и™ = и™_п (п = 0,1,2). Поэтому приведены только значения и5" и и” . Внизу дано точное решение стационарной задачи (т.е. при I —►оо). Из

Значит, при любом о разностные функции «„ = С ап будут собс­ твенными функциям оператора Е + тА. Однако нас интересуют функции, ограниченные при л - * о о и п - + —оо. Тогда в качестве собственных функций следует выбрать комплексные корни из 1, т.е. а = е,у>, где <р — любое действительное число. Из формулы (4.30) получим

Тогда требование (4.28) приводит к неравенствам

Следовательно, для того, чтобы разностная схема (4.15) была устойчивой, необходимо, чтобы выполнялось условие согласо­ ванности между шагами по координате к и по времени т (4.32). Разностные схемы при наличии такого типа условий на устойчи­ вость называются условно-устойчивыми. Заметим, что мы нигде не использовали граничные условия. Поэтому условия (4.32) яв­ ляются только необходимыми для устойчивости разностной схемы (4.15)-(4.17). Рассмотренный признак устойчивости [24] называ­ ется спектральным. Согласно этому признаку следует искать решение разностного уравнения в виде

при удовлетворении требованию (4.28).

Упражнение 4.1. Показать, что в рассмотренном в табл. 4.1 случае При г = 0,02 условие (4.32) выполняется, а при г = 0,1 нет. ■

Условия (4.32) могут быть довольно обременительными при практическом расчете. Пусть, например, нас интересует расп­ ространение тепла в стальной бесконечной пластинке толщиной

то интересующему нас моменту времени I = 10 с соответствует безразмерное время

11 ри выборе безразмерного шага Л = 10 2 мы вынуждены согласно требованию устойчивости (4.32) иметь

и поэтому число временных слоев, соответствующее интересую­ щему нас времени, имеет значение

Следовательно, чтобы сократить объем вычислений, нужно осво­ бодиться от ограничения (4.32).

Рассмотрим другую разностную схему для той же задачи. Вместо (4.15) запишем

где ^ — пока произвольное действительное число. Заметим, что схема (4.15) следует из (4.38) при ( = 1.

Упражнение 4.2. Доказать, что схема (4.38) аппроксимирует уравнение (4.10) с порядком 0(т ,к2). Я

Для выяснения устойчивости этой схемы воспользуемся спект­