книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfп
Слева в этом тождестве стоит скалярное произведение (11, 0)1. Поэтому, повторяя рассуждения, проведенные при доказательстве теоремы 4.1 § 4, получим аналогично (4.30) при 0 = 1 , используя обозначение (4.31),
(<Э«1 “ <Э«2, й)х = ! |
+ |
V |
(5.14) |
+" Ш{*2})Ч"*>{Й 1}+ ау-
Так как тензор-оператор ёгу{Й} является дважды дифференци руемым,
(&г‘>-& а,>)ч |
~ - ^ — {и}гикцитп\, |
(5.15) |
||||
|
|
|
О&ыдЬтп |
|
|
|
|
|
|
д&ц, |
|
(5.16) |
|
5-у{Й1} -<ту{Й2} - ] ^ |
и>к1 = |
|
||||
|
|
|
|
д*&ц |
-{«}гУтпгоы |
|
|
|
|
|
дек\де„ |
|
|
где |
|
|
|
|
|
|
« = «2 + («1 —и2)^, й = «2 + (« —щ)г), |
0 $ |
г/^ 1. |
(5.17) |
|||
Поэтому, используя условия (5.1), имеем |
|
|
||||
(Ой, - |
<?Й2, и>)х |
|
I(п > а, Щ )3'2Ы . |
(5.18) |
||
|
|
|
V |
|
|
|
Пусть теперь некоторая функция <р(х, 1) определена в области |
||||||
V, объем которой равен V. |
Пусть эта функция положительна и |
|||||
меньше единицы. |
Тогда |
|
|
|
|
|
|
0 < ^ < ч > < 1. |
|
|
(5-19) |
0 < ! <р3?2 ёУ < ! <рёУ < V .
С другой стороны, из неравенства Минковского следует, что
3/2
1<р*/2Л У > У - 1'2 1/ ^ | |
• |
(5.21) |
Из неравенств (5.20) и (5.21) имеем, таким образом,
3/2
(5.22)
XV |
/ |
V |
П |
Следовательно, всегда найдется такое число а (0 < а ^ 1), что
|
1 + « /2 |
1 1р3'2<1У= У~а/2 |
(5.23) |
Представляя теперь в (5.23) вместо функции <р функцию получим из (5.18)
1(03! - 0 3 а, Й), |< \ ьу ~ а'2|М|?+а. |
(5.24) |
Из неравенств (5.4) вытекает
т 1||й||^?||й||^М1« , |
(5.25) |
где под ||й||о понимается норма в гильбертовом пространстве со скалярным произведением (4.18), где оператор р имеет вид (4.20). Поэтому
|
1103! - 0г,||о < «||31 - 32||^“, |
(5.26) |
|
где |
|
|
|
|
а = Ё А ^ - " / 2. |
(5.27) |
|
|
4 |
2 тг |
|
Следовательно, |
оператор 0 |
(4.29) является оператором сжатия, |
|
если выполнено |
условие |
|
|
|
д||«1 - «гНо < 1- |
(5.28) |
является гильбертовым для тензор-функций т Е То, определенных в конечной области V.
Теорема 5.2. Пусть тензор-оператор Й (4.50) имеет вид
(5.45)
и существует единственное обобщенное решение соответствующей
задачи « В ,» . |
Пусть выполнены неравенства (5.43) и |
|
|
|||
|
' дё: |
^ А^1 |
, |
0 < В] ^ М\. |
|
(5.46) |
|
^ |
|
||||
|
д<Тк1 |
|
|
|
|
|
Пусть, кроме того, а — такое положительное число, что |
|
|||||
^ [ё,>(о-(0)) - *о (?(0))К г л у < |
п1« { |
'го°)<то°) Лу - |
|
(5-47) |
||
V |
|
|
V |
|
|
|
Тогда найдется такое число а, 0 < а ^ 1, что задача « В » |
имеет |
|||||
единственное |
решение а* в |
окрестности |
||<х(°) — |
^ го, |
если |
выполняются неравенства (5.8), где величины у и С определяют^ ся соотношениями (5.9), где тх нужно заменить на « 1, а го — наименьший корень уравнения (5.10).
При /? = 1 к этому решению сходится начинающийся с
процесс последовательных приближений, причем |
|
||<х( т ) -?*||2 ^ С 1*(1+а)т, |
(5.48) |
где 6 и С\ определены в (5.42).
Доказательство этой теоремы аналогично доказательству те оремы 5.1.
Пусть теперь для решения, например, задачи «А » составлена разностная схема, и пусть для ее численной реализации состав лена итерационная схема, аналогичная схеме (4.21), (4.22), где в
качестве оператора р,у выбран разностный аналог Р |
оператора |
|
(5.3). Записав задачу «А » в абстрактном виде: |
|
|
Ш |
= /, |
(5.49) |
получим итерационную схему |
|
|
Р„«(п+1) = р пй(п) _ [ ^ а(»)) _ Д п = 0,1,2........ |
(5.50) |
и("+!) = «>, Р п = М, Рпй ^ ) - [ 1 ( й Н ) - / ] = /!
то задача перехода от п-й итерации к п 4- 1-й состоит в решении уравнения
Мй> = /х. |
(5.52) |
Лля решения этого линейного уравнения выбираем итерацион ную схему
ЛЙ,(т + 1) = Л Д (т ) + рт[Ми>(т) - / 1] |
(5.53) |
где оператор обращения А может быть выбран одним из способов, рассмотренных в § 2 и 3. В частности, для решения уравнения (5.52) можно применить двухступенчатый метод. Тем самым реше ние нелинейного уравнения (5.49) будет реализоваться с помощью трехступенчатого метода.
Глава б
ВАРИАЦИОННЫЕ И ВАРИАЦИОННО-РАЗНОСТНЫЕ МЕТОДЫ
§ 1. ПРОБЛЕМА ПРИБЛИЖЕНИЯ
Рассмотрим проблему, которая часто возникает при решении краевых задач М ДТТ. Пусть для линейного оператора Ь задано уравнение, справедливое в области V:
Ш = Г, |
(1.1) |
где Р — заданная величина. Пусть на границе области V, которую обозначим Е, заданы граничные условия
Ш = /, |
(1.2) |
где I — некоторый линейный оператор, а / — заданая на Е вели чина. Часто возникает следующая ситуация. Имеется конечный или бесконечный набор некоторых функций чн(%), каждая из ко торых удовлетворяет уравнению (1.1). Чаще всего эти функции, которые называются координатными функциями, выбираются так, что одна из них ч>а{х) удовлетворяет уравнению (1.1):
Ь щ = Р, |
(1.3) |
а остальные <Рг(х), г = 1,2,..., удовлетворяют однородному урав нению (1.1):
Ь<Рг = 0 , г = |
1 , |
2 , . . . . |
(1.4) |
Тогда комбинация |
|
|
|
н(2) = Р о ( 5 ) + |
^ |
а т ( х ) |
(1.5) |
В технической литературе часто пользуются обозначениями Зенкевича [26]. Одностолбцовую матрицу обозначают с помощью фигурных скобок:
|
/«1 |
|
а2 |
м = |
(1.19) |
|
\алг |
Матрицу, состоящую из одной строки, обозначают с помощью индекса «Т» (транспонированная матрица):
{а}т = (а1,а2, •■. ,алг). |
(1-20) |
Матрицу, имеющую более одной строки и более одного столбца (но не обязательно квадратную), обозначают с помощью квадратных скобок:
( <РП |
<Р12 |
■■■ |
У1ЛГ \ |
(1.21) |
т |
<Р22 |
. . . |
?2ЛГ |
|
*РЫ\ |
У>ЛГ2 |
••• |
<РЫЫ' |
|
Спомощью таких обозначений формулу (113) можно записать
ввиде
{11} = М т {а}, |
(1.22) |
а формулу(1.15) — в виде |
|
{ а ) = [ с т . |
(1.23) |
Тогда |
(1.24) |
И = ( М г Г 1. |
|
Тогда (1.17) имеет вид |
|
«лг(ж) = Ы ТМ 2 )} = {17}ТИТ М * ) } = {6(2)}т {1/}, |
(1.25) |
где |
|
(6(5)} = [с]т { < р ( х ) }. |
(1.26) |
Пусть теперь по какой-то причине число координатных функ ций у>,(2) меньше или больше числа узлов N. Будем считать, что индексы,обозначаемые большими буквами, пробегают значения I = 1,2, где N — число узлов, а индексы, обозначаемые малыми латинскими буквами, пробегают значения г = 1,2,..., и,