книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfВ заключение заметим, что для уравнения (4.10) можно пос троить разностную схему, являющуюся одновременно и явной и безусловно-устойчивой:
,.т+1 _,.т —1 |
_ и п + 1 |
«то+1 _ |
+ «» -! |
+ 9шт |
|
“ п_________ “ п |
|
(4.50) |
|||
2г |
|
Л2 |
|
9п |
|
|
|
|
|
Реализация этой схемы с входными данными (4.21) при т = 0,1 приведена в табл. 4.1. Как видно из этой таблицы, установление решения для этой схемы происходит не монотонно, а «волнооб разно». Объяснение этого явления может быть дано с помощью результатов упражнения 4.5.
Упражнение 4.4. Показать с помощью спектрального при
знака, что для (4.50) |
|
|
|
Л = рсоа<р± \/1 —р2з т 2 <р |
Р |
2т |
(4.51) |
1 + р |
|
А2’ |
|
откуда следует безусловная-устойчивость схемы (4.50). Упражнение 4.5. Показать, что для схемы (4.50) выполняется
оценка
ц т + 1 _ |
ц т - 1 Ц™+ 1 - < + * ~ И ? " 1 + < - 1 |
( д и |
Э 2 и \ | |
2т |
Л2 |
\ д1 |
|
|
= 0(И)+ 0 М + Й ф ) | , , . + © |
- |
|
(4.52) откуда следует, что аппроксимация имеет место только в случае у —>0 при Л —►0. Если же ^ —►1 при Л —►0, то разностная схема аппроксимирует некоторое волновое уравнение.
§5. МОДЕЛЬНОЕ ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
В§ 3 гл. 3 было рассмотрено одномерное уравнение для рас пространения волн в упругой среде (3.22):
д 2и _ |
г д 2и |
(5.1) |
|
дг2 |
° дх2 |
||
|
и в вязкоупругой среде (3.28):
д2и ?д2и дЗи т 2 ~ с дх2+Т1дх 2т '
При этом в первом случае при выполнении граничных условий (3.23)
«|г=0 = Л(0> «|х=| = о |
(5.3) |
и начальных данных (3.24) при < = О
— о- Ж = 0 - |
(5'4> |
решение имело вид (3.25) незатухающих волн, а во втором слу чае волна затухала и стремилась к квазистатическому решению задачи (3.29):
« = 1 —у. |
(5.5) |
Рассмотрим теперь разностный аналог задачи (5.1), (5.3), (5.4). Составим явную схему
цт +1 _ 2цт + цт - 1 _ |
|
|
|
|
2 |
- |
с Ли„ , |
1,2,..., ЛЛ —1, т |
= 0,1,... , |
|
|
|
|
(5.6) |
«О |
= |
1. « * = О, |
т = 0 , 1 , . . . , |
(5.7) |
|
|
«п = 0, |
«й = 0. |
(5.8) |
Для исследования устойчивости этой разностной схемы вос пользуемся спектральным признаком, рассмотренным в предыду щем параграфе. Ищем решение разностного уравнения (5.6) в виде (4.33). Тогда из (5.6) имеем
А = 1 - р ± |
г/ р(р ~ 2), |
(5.9) |
||
где |
2с2т2 |
|
||
Р = |
(5.10) |
|||
/I2 |
|
|||
|
|
|
||
Упражнение 5.1. Показать |
из (5.9), |
что условие |А| ^ 1 |
||
выполняется при |
|
|
|
|
|
|
|
(5.11) |
|
Это и есть условие устойчивости явной разностной схемы.
Т а б л и ц а 6 . 1
Н е у с т о й ч и в ы й с ч е т п о я в н о й схеме п р и т = 0,5
Номер |
« 0 |
слоя |
|
т = 0 |
0 |
1 |
1 |
2 |
1 |
3 |
1 |
4 |
1 |
5 |
1 |
6 |
1 |
7 |
1 |
8 |
1 |
« 1 |
|
|
1*2 |
«3 |
|
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
0 |
|
|
0 |
|
0 |
|
6,25 |
|
|
0 |
|
0 |
|
-59,4 |
|
39,1 |
0 |
ю |
||
8 , 6 - 1 0 2 |
1 |
00 |
ю |
|
||
ьм О |
|
О |
||||
-1 ,4 •104 |
|
1,5-Ю 4 |
- 7 ,4 - 103 |
|||
2,4 |
10® |
-2,9-10® |
00 |
О14 |
||
-4 ,3 - 106 |
|
2 ,6 |
- 1 0 ® |
-4 ,1 •10® |
||
6 , 2 |
•1 0 7 |
- 8 , 0 |
- 1 0 7 |
7,1-Ю 7 |
||
щи5
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
0 |
|
0 |
1,5-Ю 3 |
0 |
|
-6 ,3 |
104 |
0 |
1 , 8 |
- 1 0 ® |
0 |
-4 ,4 -1 0 7 |
0 |
|
Т а б л и ц а 5. 2
У с т о й ч и в ы й с ч е т п о я в н о й с х е м е п р и г = 0,2
Номер
слоя
* |
о II |
1
2
3
4
5
6
7
8
9
1 0
1 1
1 2
13
14
« 0 |
« 1 |
“ 2 |
«3 |
«4 |
«5 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
1 |
1 |
0 |
0 |
При невыполнении этого условия счет является неустойчивым,
что |
видно |
из |
табл. |
5.1, |
где |
приведены результаты счета при |
А = |
0,2, г |
= |
0,5 (с = |
1, |
/ = |
1). |
Положим теперь г = 0,2 (при тех же остальных параметрах). Это значение соответствует равенству в условии (5.11). Резуль таты счета приведены в табл. 5.2.
Как видно из табл. 5.2, решение разностной задачи (5.6)-(5.8) при г = 0,2 соответствует аналитическому решению задачи (5.1), (5.3), (5.4) и является незатухающим. Однако равенство в условии (5.11) не всегда можно точно соблюсти. Рассмотрим случай
Устойчивый счет по явной схеме при г = 0 ,1
Номер |
« 0 |
« 1 |
“ 2 |
«3 |
«4 |
«5 |
слоя |
||||||
то = 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0,25 |
0 |
0 |
0 |
0 |
3 |
1 |
0,62 |
0,06 |
0 |
0 |
0 |
4 |
1 |
0,95 |
0,25 |
0 , 0 2 |
0 |
0 |
5 |
1 |
1 , 1 1 |
0,55 |
0,09 |
0,003 |
0 |
6 |
1 |
1 , 1 1 |
0 , 8 8 |
0,25 |
0,03 |
0 |
7 |
1 |
1 , 0 2 |
1 , 1 1 |
0,52 |
0 , 1 0 |
0 |
8 |
1 |
0,95 |
1,17 |
0,83 |
0,25 |
0 |
9 |
1 |
0,94 |
1,09 |
1,08 |
0,49 |
0 |
1 0 |
1 |
0,99 |
0,97 |
1,18 |
0,75 |
0 |
1 1 |
1 |
1,03 |
0,91 |
1 , 1 2 |
0,93 |
0 |
1 2 |
1 |
.1,03 |
0,93 |
0,96 |
0,93 |
0 |
13 |
1 |
1 , 0 0 |
0,99 |
0,78 |
0,70 |
0 |
14 |
1 |
0,97 |
1 , 0 0 |
0,64 |
0,32 |
0 |
неравенства (5.11). Положим т= 0,1. Результаты счета для этого случая представлены в табл. 5.3.
Мы вйдим, что в этом случае происходит «размывание» фрон та волны.
Применим к разностной схеме (5.6)-(5.8) ^-преобразование,
описанное в приложении III, по временным шагам |
|
|||||
|
|
|
- < ( * ) • |
|
(5.12) |
|
Получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
( * - 1 ) 2 , . _ с2т2 |
|
|
|
|
|
|
-у„ = |
Н2 |
« + , |
- 2 » ; + |
< _ !), |
п = 1,2 ..., ЛГ —1,(5.13) |
|
|
|
Го = |
------Г, |
ГЛГ = О, |
|
(5 14) |
|
|
|
X—1 |
|
|
|
которое можно записать в виде |
|
|
|
|||
|
|
”п+1 = |
- V,и—1’ |
|
(5.15) |
|
где |
|
|
|
|
2,2 |
|
|
а = 2 -Ь |
( г - 1 ) 2 |
С‘ Т |
(5.16) |
||
|
|
Н2 ' |
||||
|
|
|
гд2 |
|
|
|
Решение уравнения (5.15) при удовлетворении условиям (5.14) имеет вид
(5.17)
п { ) ( ^ - « г Я ( г - 1 ) ’
а |
|
|
а |
|
(5.18) |
91 = 2 |
|
*2==2 |
|
||
|
|
|
|||
Используя теорему о конечном значении (приложение III), по |
|||||
лучим |
|
|
|
|
|
Нш и™ = |
Ит (г —1)г)*(А |
(5.19) |
|||
Упражнение 5.2. Показать, что из (5.17) и (5.19) следует, что |
|||||
Нш |
и™ = 1 - |
N |
■ |
(5.20) |
|
т —>оо |
" |
|
|
|
|
Таким образом, если указанный в (5.20) предел существует, то он равен разностному решению соответствующей статической задачи. Рассмотрим этот вопрос подробней. Для этого заменим уравнение (5.1) системой двух дифференциальных уравнений:
|
ди |
|
|
|
|
Т 1 = У' |
(5.21) |
||
|
дь _ |
2 д^и |
||
|
|
|||
|
д1 С |
дх2 . |
|
|
Аналогично вместо (5.2) будем иметь |
|
|||
ди |
|
|
|
|
И |
= у' |
|
(5.22) |
|
ди |
292и |
дРи |
||
|
||||
! Й ~ С д х 2 +Т,д^ Ш
Разностную схему, соответствующую системе (5.21), можно
написать, например, следующим образом: |
|
2 - = с2Ли" |
(5.23) |
ш = 0,1,..., п = 1,2,...,АГ-1.
Однако такая разностная схема не будет соответствовать разнос
тной схеме (5.6). Из схемы (5.6) мы будем иметь |
|
гС+1 - < = тс2Ли!У |
(5.24) |
|
Для того, чтобы распространить спектральный признак на систему уравнений, сделаем следующее. Будем искать решение
в виде |
|
|
и* = Ат е,п*% , |
= Ат е‘п*’2 2. |
(5.25) |
Подставляя (5.25) в исследуемую систему, получим систему урав нений относительно 2\, Ъг- Приравнивая определитель этой системы нулю, будем иметь условна устойчивости при |Л ^ 1. Наг пример, для системы (5.24) такой определитель будет иметь вид
А - 1 |
Ат |
= °, |
(5.26) |
|
2Рг |
А - |
1 |
||
откуда |
|
|
|
|
А = |
1 - |
р ± |
уУр{р - 2), р = тр1, |
(5.27) |
и мы получим условие устойчивости (5.11).
Упражнение 5.3. Показать, что для разностной схемы (5.23) в тех же обозначениях получается
|А = у /Г Т Ь ,
т.е. разностная схема (5.23) безусловно-неустойчива. ■ Допустим теперь, что мы решили разностную схему (5.24), т.е.
нашли разностные функции иЛии*. Предположим, что этим раз ностным функциям в пространстве Н соответствуют достаточно
гладкие функции и(<, х) |
и ь(1,х). |
Тогда, очевидно, |
|
|||||||
с |
+1 = |
(у + |
ду |
|
г2 дЧ ' |
|
||||
|
|
|
|
тт |
+ У д Р ,» |
|
||||
‘п+1 = |
( |
,д и |
н2 д2« |
к3 |
(5.28) |
|||||
(и + Й7Г |
|
|
|
+ Т дх3) |
||||||
|
|
|
дх + У |
|
|
|
||||
,т |
- ( и |
к— |
к2 д2и |
к3 |
|
|||||
п—1 |
|
№ |
|
6 дх3) |
|
|||||
|
|
V |
дх + Т |
|
|
|||||
Из второго уравнения (5.24) следует, что |
|
|||||||||
„т+1 |
|
|
|
|
|
тд2у |
,аги |
|
||
0 = |
- |
- ‘ ,Л < |
= * + |
(5.29) |
||||||
2~дР |
дх2 |
|||||||||
|
||||||||||
Отсюда следует тождество |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
ду |
2 д2и |
Л/.2х |
(5.30) |
||||
|
|
|
т |
с |
б Р + 0 { к ) - |
|||||
|
|
|
|
|||||||
Продифференцируем его по I: |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
д2у _ |
2 |
д3и |
+ 0 (к 2) |
(5.31) |
|||
|
|
|
дР |
° дх2Ы |
|
|
||||
дь |
23а« |
с2 г |
д^и |
|
М |
~ С дх* |
2 |
дх2д1- |
^5,32) |
т.е. уравнение типа второго уравнения (5.22), где величина |
||||
|
|
|
|
(5.33) |
называется аппроксимационной вязкостью. |
Поэтому упругий |
|||
стержень при решении разностной задачи ведет себя как вязкоупругий стержень.
Упражнение 5.4. Показать, что для стальной пластинки тол щиной 0,1 см (для стали с и 5 •10 см/с) для получения устойчивого счета, вплоть до / = 10 с требуется не менее 109 временных слоев.
Рассмотрим теперь неявную схему
-,т + 1 _о,,т 4. «т |
|
|
|
------------/ |
" - 1 |
= с2КЛ<* + (1 - О Л < +1], |
(5.34) |
т = 0,1,... , |
п = 1,2,... —1. |
|
|
Упражнение 5.5. |
Применяя спектральный признак устойчи |
||
вости, показать, что при ^ ^ ^ разностная схема (5.34) безуслов- но(абсолютно)-устойчива. ■
Для численной реализации неявной разностной схемы, как и в предыдущем параграфе, можно применить метод прогонки. В частности, при { = 0 из (5.34) имеем
,,т + 1 |
_ /л, I |
,,т +1 _ |
,,”»+! _ |
- ит —1\ |
(535) |
«„+1 |
- | . 2 + г2^«„ |
«п-1 |
г 2( 2 « „ - « „ ), |
||
т= 0,1,..., гг = 1,2,...,ЛГ —1.
Втабл. 5.4 приведены результаты счета методом прогонки для рассматриваемой ранее задачи при Н = 0,2, т = 0,5. В нижней строке, соответствующей т = оо, приведено решение
соответствующей статической задачи.
Бели к разностной схеме (5.35) применить ^-преобразование,
то получим |
|
( 1 ^ ) 1 . , . - |
(5.36) |
< = 9 « + 1 - 2 ^ + < _ , ) , |
Т а б л и ц а 5. 4
Устойчивый счет по неявной схеме при $ = О, г = 0,5
Номер |
«о |
«1 |
«2 |
«3 |
«4 |
“5 |
СЛОЯ |
||||||
я» = 0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
1 |
1 |
0 |
0 |
0 |
0 |
0 |
2 |
1 |
0,66 |
0,42 |
0,25 |
0,11 |
0 |
3 |
1 |
0,87 |
0,68 |
0,46 |
0,23 |
0 |
4 |
1 |
0,87 |
0,70 |
0,49 |
0,25 |
0 |
5 |
1 |
0,82 |
0,63 |
0,43 |
0,22 |
0 |
6 |
1 |
0,80 |
0,59 |
0,39 |
0,20 |
0 |
7 |
1 |
0,79 |
0,59 |
0,39 |
0,19 |
0 |
8 |
1 |
0,80 |
0,59 |
0,39 |
0,20 |
0 |
оо |
1 |
0,8 |
0,6 |
0,4 |
0,2 |
0 |
где величина я определена из (5.16). В этом случае решение уравнения (5.36) имеет вид (5.17), где
«1 = 1 + | з 4 ( * - 1 - \/4гг, г + ( г - 1)! ), ,______________ (5-37)
92 = 1 + 2 ^ 2 (* - 1 + \/4г2?2 + (* - I)2),
причем в этом случае справедлива формула (5.20). О затухании решения можно судить и по результатам, представленным
втабл. 5.4.
§6. СВЕДЕНИЕ МНОГОМЕРНЫХ ЗАДАЧ К ОДНОМЕРНЫМ
До сих пор мы рассматривали одномерные модельные задачи. Теперь нам надлежит изучить трудности, связанные с переходом к многомерному случаю. Мы рассмотрим двумерные задачи, так как принцип перехода к задачам более высокой размерности не вызовет уже принципиальных затруднений.
Для примера рассмотрим уравнение теплопроводности в без размерных величинах для двумерной области, представляющей собой прямоугольник:
дТ |
д 2Т |
в 2Т |
, ч |
т |
= ж |
+ а ? |
( 6.1 ) |
+ ч (1 'у)- |
Пусть на границе области задана температура:
Т - Т(1,у) при х = ±1,
(6.2)
Т = Т ( 1 , х ) при у = ±6,
и, кроме того, начальные данные: |
|
|
при * = О Т —д(х, у). |
(6.3) |
|
Произведем дискретизацию области: |
|
|
хп —пЛх, |
п —0,1,..., N1, |
|
Ук = кН2, |
к = 0 , 1 , . . . , ЛЬ, |
|
и, кроме того, дискретизацию времени: |
|
|
1т = шт, |
т = 0,1,... . |
(6.5) |
Тогда значение температуры в узловых точках будем обозначать
Т?1к= Щ т,хп,ук). |
(6.6) |
Плоскость I = 1т = сопз! в трехмерном пространстве будем назы вать т-м временным слоем (рис. 29).
I
Рассмотрим разностную схему |
|
|
|
||||
|
|
|
|
= Ли" * + < * , |
|
(6.7) |
|
т |
= 0,1,... , |
п = |
1,...,ЛГЬ |
* = 1 , ... ,# 2> |
|
||
где |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
..т |
о - . т |
_1_ 1« т |
|
4 |
4 . 4 |
4 |
т |
и п + 1 , * |
“ и п,к " г и п - 1 , к |
|
|
Л = Лх +Л 2, |
ЛхЫ„4 = —— ------- Н ----------- |
|
|||||
|
|
|
|
|
«X |
|
|
|
. . т |
_ < Н 1 - К * + « Г . М |
|
(6.8) |
|||
|
Л2и">* = |
|
г2 |
|
• |
||
|
|
|
|
||||
< к = гГ . |
„ |
= т?, |
(6.9) |
|
-ш |
||
<о = |
|
_т |
|
ип,ТУ2 —1 п> |
|
||
а из начальных данных (6.3) — что на нулевом временном слое
< * = |
|
(6.10) |
Мы получили явную схему. В самом деле, из (6.7) следует |
||
= (Я + гЛ )< * + < * |
(6.11) |
|
для всех внутренних точек п = |
— 1, к = |
1 , . . . , N2 —1, а |
граничные значения определяются из (6.9).
Для исследования устойчивости полученной разностной схемы
применим спектральный |
признак. |
Ищем решение |
разностной |
||
задачи в виде |
|
|
|
|
|
|
и™к = дт е'(п^+*^) |
(6.12) |
|||
Подставляя (6.12) в (6.7) получим |
|
|
|||
. |
, |
4г . 2 9 |
4г . 2 Ф |
(6.13) |
|
А= |
1_ _ 8т |
- - ^ 8 Ш |
|||
откуда следует, что условие |А ^ 1 будет выполняться, если |
|||||
|
|
т< _ м |
м |
_ |
(6.14) |
|
|
" 2(Н1 + Н1У |
|
||
Упражнение 6.1. Показать, что для я-мерного уравнения теплопроводности в случае равномерной сетки (к\ = Лг = •••=
кп = Л) условие устойчивости разностной схемы имеет вид
" (6.15)
Таким образом, для многомерного уравнения теплопроводнос ти условие устойчивости разностной схемы становится более жестким.
Рассмотрим неявную схему
= < ь + гК |
+ (1 - 4 )Л < Г ] + |
(6.16) |