книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfИз формулы (2.70) легко получаем решение Кельвина, полагая
Р = Ре*> |
|
(2.71) |
г = ч/(ж, - & ) ( * ,- & ) , |
|
(2.72) |
р(± + у) (ж» —&)(хк —(ц) |
+ (3-41/) — |
|
^ к)(х ,Ь = ~ 8л"^7(1 —и) |
|
|
г |
(2.73) |
|
|
|
Упражнение 2.11. Используя формулы (2.26) и (2.73), показать что явное выражение тензора напряжений Кельвина имеет вид
?) = 87г(1 —и) Кй \ (1 " |
- Ы + 6 |
~ 6 ) - |
-6ц {у* ~ &)] + |
|
(2.74) |
Я = у / ( п - & ) & - & ■ |
(2-75) |
|
Пользуясь решением (2.73), можно получить другие особые ре шения. Продифференцируем уравнение (2.22) по координате Учитывая, что оператор Ламе в (2.22) берется по координатам 2, получим
Г .. Гг(*0 _ |
_у(Ъ) |
(2.76) |
|
— |
Л г,1 > |
||
где согласно (2.20) |
|
|
|
Х & = & № ( $ - ( ) ] ,,. |
(2.77) |
||
Векторы Х ^ : |
|
|
|
*-(*) = |
*•(*) |
(2.78) |
|
л (0 ~ л ,1 > |
|||
|
|||
образуют квадратную матрицу. Назовем ее матрицей «источни ков». Каждый диагональный элемент этой матрицы представляет собой так называемую двойную силу без момента. Эта особен-
ность схематически изображена на рис. 1. Имеется в виду,
что А {а — бесконечно малая величина. Каждый недиагональный элемент матрицы источников X ^ (а = /?) представляет собой
так называемую двойную силу с моментом. Схематически она изображена на рис. 2. След матрицы особенностей называется центром расширения-сжатия, или центром дилатации (рис. 3).
Особенность, получаемая применением операции го( к единичной сосредоточенной силе, называется центром вращения (рис. 4):
Х (к) = го1*<*> = е и т Х ^ Ъ . |
(2.79) |
Решение уравнений (2.76) называется тензором фундаментальных решений теории упругости:
|
тт(к) = г/(к) |
—П ^ е- |
(2.80) |
||
|
и 1 |
—и ,1 |
~ |
1У1(0е*’ |
|
г/(*) = |
К * + «О |
|
|
|
|
'(') |
8тгЕ(1 - |
1/)г3 ёц(хк ~ 6 ) + й*,(я,- - 6 )~ |
|
||
—(3 —4|/)йм(ас» — 0 ) — 3(ж« - |
6 )(*; - 6 )(хк ~ 6)1 |
(2.81) |
|||
Соответствующие компоненты матрицы фундаментальных реше ний (2.80) называются решением, соответствующим данной ком поненте матрицы источников.
Упражнение 2.12. Показать, что оператор напряжений, вы численный для матрицы фундаментальных решений (2.80), имеет
вид
_____Зр |
2и) -^-(6цс6]т+&{}йкт—&]ьй{т)— |
||
8тг(1-!/)Д5 |
|||
|
|
||
-6>к(У)-{) )(У т -{т )-6кт (т -Ш У }-& )+6гт(Ук-&)(У^ ~<>)| |
|||
~^~^г}{Ук (к )(Ут &п )+^т/(У» & )(У* (к)Ч~^к}(Уг 6 )(й » |
(т ) |
||
~ Д2 —&)(Э Д )(У *~^к)(Ут~(т) ^пт • |
(2.82) |
||
Упражнение 2.13. Показать, что вектор Галеркина, соответс твующий тензору фундаментальных решений (2.80)
Г $ |
= Ф » |
(2.83) |
имеет вид |
|
|
р(*) _ |
6<к(х] ~ & ) |
(2.84) |
8ят
§ 3. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Характерной чертой решения Кельвина СА^(х,|) или каждой
компоненты матрицы фундаментальных решений 0 ^ (х Л ) являет ся то, что все эти решения удовлетворяют однородным уравнениям
Ламе для всех 2 6 V, кроме точки 2 = |
Очевидно, алгебраичес |
||||
кая сумма решений такого рода, например |
1 ^ ( х ,?(.)), будет |
||||
удовлетворять однородным уравнениям Ламе для всех х € V, кро |
|||||
ме точек х = |
(1 = 1,..., ЛГ). Если мы распределим источники в |
||||
некоторой области О с плотностью р(^), то, например, |
|||||
|
н,(2) = 11/?\ хЛ )Р к(Ъ Щ |
(3.1) |
|||
|
а |
|
|
|
|
будет удовлетворять уравнениям |
|
|
|
||
|
( |
0, |
если |
2^ П , |
(3.2) |
|
I. |
р<, |
если |
х € П. |
|
|
|
||||
Вчастности, если в теле заданы объемные силы Л"(х), то полагая
в(3.1) р(|) = -Х (| ), получим
щ(х) = - 1 1 /? \ х Л )Х к(1)Щ |
(3.3) |
V
— решение неоднородных уравнений Ламе (1.48). Правая часть выражения (3.1) называется объемным потенциалом с плотностью р. Разумеется, источники необязательно распределять по объему Й, а можно и по некоторой поверхности Е,, или даже контуру Г. В соответствии с этим будем иметь
«*(х) = |
У и\к\х,г1)рк{г1)<п:, |
(3.4) |
и,-(г) = |
у , ^ )( г ,7 Ь ( 7 )<*Г. |
(3.5) |
|
г |
|
Правая часть выражения (3.4) называется потенциалом простого слоя с плотностью р(^). Точно так же можно образовывать новые решения уравнений Ламе, если в подынтегральных выражениях решение Кельвина заменить на тензор фундаментальных решений теории упругости. Например, если расположим источники (2.78) с равномерно распределенной плотностью по отрицательной по луоси %а , ТО
О |
р(1 + у)(1 - 2и) |
х\ + тЬа\ |
|
^йы (2)=р / |
|||
4тг1?(1-1/) |
г(ха + г) |
||
—00 |
|
|
|
|
|
(3 .6 ) |
В частности, если эти источники представляют из себя центры расширения-сжатия, то из (3.6) имеем
|
= Р(1+ *)(!-2»/) Ъ + г6ы |
(3.7) |
|
* ' ’ |
4тгЕ(1 —и) г{ха + г) |
||
|
Если рассматривается первая краевая задача теории упругости, т.е. на границе заданы перемещения и®(у), у € Е, то на соотноше ние (3.1) можно смотреть, как на интегральное уравнение
«°(5) = I ^ к\ у,Ъ Р к(Ъ Щ , у € Е, ? € П , |
(3.8) |
п |
|
относительно плотности источников р(^). Это уравнение явля ется интегральным уравнением 1-го рода, т.е., вообще говоря, некорректной задачей. Но в последнее время, главным обра зом благодаря работам А.Н. Тихонова, наметился значительный прогресс в решении таких задач. Точно так же, если решается вторая краевая задача теории упругости, т.е. на границе заданы нагрузки 5®(р), у (Е Е, можно написать интегральное уравнение
5Н у) = I Р^к)т ) р к( Ь Щ , У € Ц ( 6 П , |
(3.9) |
п |
|
для неизвестной плотности распределения источников р((), где
р(Ь) — тензор напряжения Кельвина (2.74).Если решается сме шанная задача теории упругости с граничными условиями (1.49), то решается интегральное уравнение (3.8) для у € Е 1 и интег ральное уравнение (3.9) для у 6 Е 2. Если, кроме того, заданы
объемные силы X , то нужно выделить сначала частное реше ние, воспользовавшись формулой (3.3). Описанный метод решения задачи теории упругости носит название метода источников.
Выбирая в качестве источника комбинацию сосредоточенной силы, полупрямой центров растяжения-сжатия, полупрямой ис точников вращения и полупрямой двойных сил без момента, можно получить так называемое решение Буссинеска-Черрути о сосредоточенной силе интенсивности Р(р), направленной по оси Хр, действующей на границе полупространства ха ^ 0 в точке т) (г)а = 0). Это решение имеет вид
у.{ а т |
(х,п) = |
Р/э(1 + и) [ (Х{ ~ р К** ~ щ ) + гЧ{0 | |
||
* |
^ ’ |
21гЕ г2 |
|
г |
+ (1 ■—21')[й»о(*^ — 1)/}) + |
~Г~2 |
(** — ~ йгаха)х |
||
|
|
|
Г - г ха |
|
|
|
х (хр — Г)р+ 6ар г ) >. |
(3.1С) |
|
Упражнение 3.1. Показать, что тензор напряжений, подсчи танный на основании (3.10) для сосредоточенной силы, приложен ной в начале координат, имеет вид
- 6 , М +
+Г3[ж0(бт^^ + б^а^р —8ар6{] ~ ^а/3$ы6а]) + *«(^а/3^о; —^ ) +
+Х](6ар6ы — )] + г2[Ха(^ а^ Р + Ь]а&\р) + Х„(2 ХрЬц — Х{8^р—
—Х]Ьгр —Х^бха^ар ~ Х{8^а ёар —2хр8а{6а] ) + |
<5а^]-|- |
+ Х р С & Г + Х а ) ( х 1х ] + х а ^ } ~ х а х ] й * а ~ х а х г 8 ] а ) } - |
Ш (3.11) |
С помощью выражения (3.10) можно получить решение любой второй краевой задачи теории упругости с заданной нагрузкой
на границе полупространства 1) € |
(где Па — плоскость ха = 0): |
|
«.-(*) = / К{а}Ш( М ) 5 ? 0 № |
(3.12) |
|
Вообще назовем тензором Грина 1-го рода некоторой краевой задачи теории упругости, например второй краевой задачи
|
|
Ъ м + Х { = 0, |
|
(3.13) |
|
|
Ь = •??, |
|
(3.14) |
тензор |
с компонентами |
В ^ (5 ,| ): |
|
|
|
|
В(°) = в(а)е„ |
|
(3.15) |
если |
является решением задачи (3.13), (3.14) с однородными |
|||
граничными условиями и специальнымиобъемными силами: |
|
|||
|
Ь ц В ^ |
= - р 6 а { ё ( х - 1 ) , |
2,^6 Г, |
(3.16) |
|
|
7цВ}в)|я = 0. |
|
(3.17) |
При построении тензоров Грина для второй краевой задачи мы предполагаем, что имеется некоторая точка х® 6 V, в которой выполнены условия закрепления (7.67) гл. 1; эта точка для не ограниченной области может быть отнесена на бесконечность. Тензором Грина 2-го рода той же краевой задачи (3.13), (3.14)
называется тензор с компонентами с ^ г ,» ? ) :
С<в> = С^в)3{, |
(3.18) |
если С("> является решением задачи (3.13), (3.14) с нулевыми объемными силами и специальными поверхностными силами
1 ц О ^ = 0, |
(3.19) |
1цС$Л)|Е = Р М » ~П), П € Е. |
(3.20) |
Зная любой из тензоров Грина, можно получить решение данной краевой задачи для произвольных поверхностных и объемных сил. Пусть, например, для задачи (3.13), (3.14) известен тензор Грина
2-го рода С ;а\х, г)). Тогда представляем решение задачи (3.13), (3.14) в виде суммы
= «;■ + иЧ, |
(3.21) |
где и< — решение уравнений Ламе для бесконечной среды, най денное по формуле (3.3). Тогда для и" получаем задачу
1 цу?; = 0, |
(3.22) |
= 5? - |
(3.23) |
решение которой имеет вид |
|
< = 1 С*л (5,ч)5?°(5)<*2- |
(3.24) |
Б |
|
Упражнение 3.2. Показать, что если для задачи (3.13), (3.14) известен тензор Грина 1-го рода В^(х,^), то из (2.8) следует, что решение этой задачи имеет вид
« .= I Вр(х,ЬхД)Щ +! В р \ М )5 ? 0 № . ■ (3.25)
V Б
Заметим, что если известен тензор Грина 2-го рода, то можно путем квадратур вычислить тензор Грина 1-го рода. В самом
деле, пусть для задачи (3.13), (3.14) известен тензор С ^ (х,^ ), удовлетворяющий задаче (3.19), (3.20). Положим
Х<(0 = р 6 * 6 |
$ - 6 ) , Ь 6 V. |
(3.26) |
Тогда для представления (3.21) находим из (3.3)
«2 = ^ а\ х ,(г), |
(3.27) |
из (3.23) получаем
5?0 = -^ «-| Б = -Р/в)(5 ,6 ), У € Е , |
(3.28) |
Тогда по формуле (3.24)
< = - / Ф ( * , п ) Р $ а \ п Л 1)< Е ч . |
(3 .2 9 ) |
Е
Я) |
= ^ а\ х ,0 - ! С ^ х ^ Р ^ х ) ^ . |
(3.30) |
Очевидно, решение Буссинеска-Черрути (3.10) является тензором Грина 2-го рода второй краевой задачи для полупространства.
Упражнение 3.3. Зная решение (3.10), найти по формуле (3.30) тензор Грина 1-го рода для полупростанства (решение Миндлина).
Упражнение 3.4. Показать, что по известному тензору Гри на 1-го рода для задачи (3.13), (3.14) тензор Грина 2-го рода находится по формуле
с\а\1,г,) = в \ а\2 ,г ,), х е У , З е Е . |
■ |
(3.31) |
Формулу Сомильяны (2.29), полученную для случая, когда | Е V, можно использовать в других случаях, если воспользоватся в (2.28) свойством дельта-функции. Пусть имеются две области V
и П> 5 Е Г, ( Е 9 и Е — поверхность, по которой пересекаются эти области. Тогда для непрерывной функции /(^)
/(*), |
жбП, |
|
0, |
х ^ Л, |
(3.32) |
|
х Е Е. |
|
(2.28) |
и (2.29) |
|
|
( Ы к\у, 2 )3 °к (У> |
|
||
и,-(5), |
х Е V |
|
|
о. |
х Е Е |
(3.33) |
|
х $ |
V |
|
|
Рассмотрим выражение |
|
|
|
= I Р ? \ М )р к(у)<1Ъу, у е е , 1 |
е у , |
(3.34) |
|
называемое потенциалом двойного слоя с плотностью р(у). Если
определить функцию ы^(^) для всего пространства по формул*
(3.34), х.е. и для случаев, когда | = Г)*Е Е и ^ 0 V , то мож
но показать, что она будет терпеть разрыв при переходе через поверхность Е.
Используя определение тензора Р ; * \ р , Ё ) (2.26), теорему Гаус-
са-Остроградского и свойство решения Кельвина (2.22), получаем
/ р ? \ у ,Ъ<я у = / |
= |
|
|||||
Е |
|
|
|
Е |
|
|
|
= I |
и |
$ |
к\ 3 , Ъ * У * |
= - / М (2 - |
(3.35) |
||
V |
|
|
|
|
V |
|
|
Тогда из (3.33) |
имеем |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
[ |
-*« , |
* е V, |
|
/ |
|
|
|
| |
- Н * > |
* = 5 е Е, |
(3.36) |
2 |
|
|
|
I |
о, |
X I V . |
|
Введем вектор а(Ё,4 ), |
г/Е Е, |
|
|
|
|||
а,(|, г?) = |
I |
Р ? \ у Л ) Ы у ) ~ Рк(ч)]<Ш я . |
(3.37) |
||||
|
|
|
Е |
|
|
|
|
Если ( = )) Е I], то из (3.37) в силу (3.36) следует |
|
||||||
« > ( » ? , 9 ) = У ^ |
( к |
) ( Р , 5? ) р |
* ( у )< / е у |
+ ^ Р . ( у ) |
= щ(п) + ^ Л ( ч ) - |
( 3 - 3 8 ) |
|
Функция 0,1(4 ,г)) непрерывна, ибо подынтегральное выражение в
(3.38) непрерывно и непрерывна плотность р,(п) на Е. Нетрудно также доказать, что
а*(1> п) |
а>(Ч ,Ч ) при |
| - * ? )е Е |
(3.39) |
|||
независимо от того, где берется точка (, т е |
2 Е V |
или ? Ф V |
||||
Очевидно, |
|
|
|
|
4 |
4 *- |
= а { (Ё ,г}) + |
|
|
Л)Рк(у)<ГЕу |
(3.40) |
||
Обозначая |
|
|
|
|
|
|
. 1 т |
и;,(Я, |
гс+ = |
. |
Иш |
щ(Ё) |
(3.41) |
(€€У)-(,€Е) |
|
|
||||
|
|
|
<«?МЧ€Я) |
1 ' |
|
|
осуществляя соответствующие предельные переходы в (3.40) и пользуясь (3.36), получим
«'?(?) = |
^Л(9) + ^ Р^к)(У,п)Рк(ЦЩ у, |
(3.42) |
|
Е |
|
Щ(п) = |
+ / р /‘ > ( М Ы ^ , |
(3.43) |
|
2 |
|
Дадим теперь постановку, например, первой краевой задачи те ории упругости для внутренней области V. Требуется найти решение уравнений (3.13) внутри области V при удовлетворении граничным условиям
«Не = «?■ |
(3-44) |
Ищем решение в виде суммы (3.21), где и- — решение уравнений Ламе, найденное по формуле (3.3); и" ищется в виде потенциала двойного слоя:
! р 1к){У,х)рк{у)^у, |
(3.45) |
Е
причем в силу свойства (3.36) для плотности р(у) получаем интег ральное уравнение Фредгольма второго рода
- \ р№ ) + ! Р {к\ у, ф к(у)<№ у = «?(»?)- |
«<(»?)> |
Е |
|
ч € Е. |
(3.46) |
Упражнение 3.5. Показать, что для первой внешней краевой задачи, т.е. для случая, когда'решение разыскивается для х ^ V, справедливы формулы (3.21), (3.3), (3.45), где х $ V, а вместо формулы (3.46) нужно взять
\рАу) + ^ Р{к\у,ч)рь(!п)<1Яу = «?(»?) - «<(>?),
Е
1 6 Е. |
(3.47) |
Упражнение 3.6. Показать, что оператор напряжений, вычис ленный от потенциала простого слоя (3.4), имеет вид
= ф ! и ] к\ х , ч)Рк(ц)<К = I р$к\ х , т })Р к Ш ?«, |
(з:48) |