книги / Численные методы в теории упругости и пластичности
..pdfТак как рассматриваемая система является консервативной, то для нее лагранжиан ((7.18) гл. 1) имеет постоянное значение
С = Е — А(е) + <р = с о п 8 4 , |
= 0. |
(1.69) |
Но кинетическая энергия Е зависит только от скоростей 3', не мо жет принимать отрицательные значения и в силу (1 .68) равна нулю в начальный момент 1 = 0. Потенциальная энергия деформации <р = {IV (IV зависит только от деформаций, не может принимать
V
отрицательные значения и в силу (1 .68) равна нулю в начальный момент I = 0. Следовательно константа в (1.69) равна нулю, а отсюда следует единственность, если И7 является положитель но определенной функцией деформаций, что выполняется, если тензор модулей упругости является положительно определенным.
Упражнение 1.12. Сформулировать вариационный принцип Лагранжа для задачи теории упругости и доказать, что стацио нарная точка лагранжиана является точкой минимума.
Упражнение 1.13. Вводя упругий потенциал напряжения го и потенциальную функцию напряжения
■ш= ^Цк1<П]<?к1, |
Ф = I |
(1.70) |
|
V |
|
сформулировать для задачи теории упругости вариационный при нцип Кастильяно и доказать, что стационарная точка кастильяниана является точкой максиума.
Упражнение 1.14. Сформулировать для случая упругой сре ды общий вариационный принцип Рейсснера и рассмотреть его частные случаи.
Упражнение 1.15. Показать, что для изотропного однородного
тела формулы (143) приобретают вид |
|
рР? = рЪ - ЗКсм?,,, 5? 0 = $? + ЗКаЛц|в,. |
(1.71) |
Упражнение 1.16. Показать, что уравнение равновесия Ламе
(1.48) для изотропной среды могут быть записаны в виде |
|
(А + р)вгас1 Апй + рА й + рР = 0 |
(1-72) |
и соответственно уравнения движения — в виде |
|
ри = рР + (А + р)§га<1 сНуЗ + рДЗ. |
(1-73) |
§ 2. ФУНДАМЕНТАЛЬНЫЕ РЕШ ЕНИЯ ТЕОРИИ УПРУГОСТИ
Рассмотрим тензор напряжения <г(х) и никак не связанный с ним тензор деформации е'(х). Все величины, связанные с г', будем помечать сверху штрихом, а величины, связанные с доставлять без штриха. Если <т(х) — непрерывно дифференцируемое поле,то имеем тождество
У <гуе?ц<1У ^ |
^ сгц^и^У. |
(2.1 ) |
V |
|
|
Если тело считается упругим, то тензор напряжения <т можно выразить через деформации по закону Гука:
а Ч ~ |
( 2.2) |
Тогда подынтегральное выражение левой части (2.1) представляет собой билинейную функцию деформаций
= 21Г(2, 2'). |
(2.3) |
Выразим деформации (2.2) через перемещения по соотношени ям Коши
1. |
ч |
(2.4) |
|
еЧ = |
+ «>.»)> |
||
|
воспользуемся обозначениями (1-44) и (1.45) и подставим результат в (2.1).Тогда получим
|
! |
2 1 \У{и,и')<1У. |
(2.5) |
V |
2 |
V |
|
Это так называемая первая функция Бетти. Полагая в ней и' = 2, получим вторую формулу Бетти
^ щЬ^и^сСУ = ^ |
^ \№ДУ, |
(2.6) |
где
УУ ~ 2Сцк&цеы |
(2.7) |
— упругий потенциал. Вычитая из (2.5) взаимное выражение, получим третью формулу Бетти
^ |
- |
щЬци'^вУ = ^ [и'^и, - иД -^]сЕ . |
(2.8) |
V |
|
Б |
|
Обсудим следствия из этой формулы. Для этого рассмотрим задачу (1.48), (1-49) причем в (1.49) будем считать, что заданы только статические граничные условия
Ъ ч \ 2 = 5?. |
(2.9) |
Тогда из третьей формулы Бетти имеем
У р[и№ - |
щР[]АУ + у [«'5? - щ З?]Ш = 0. |
(2.10) |
V |
Б |
|
Пусть, например, в теле отсутствуют массовые силы и в некото рых точках поверхности уо и у\ действуют сосредоточенные силы
3°(5) = 3«(2-у«)), §0'(2) = 5,6(х-у1). |
(2.11) |
Тогда как следует из (2.10),
З'(ро) •3 = й(г/1) •3'. |
(2.12) |
Формула (2.12) представляет собой так называемую теорему вза имности. Рассмотрим изотропную среду. С помощью формулы (2.10) можно найти изменение объема тела под действием массовых и поверхностных сил. Для этого заметим, что изменение объема
ДУ = У ОАУ = у |
= У щ щ сЮ . |
(2.13) |
|
V |
V |
Б |
|
Положим |
<т^^ — а 06^. |
|
(2.14) |
|
|
||
Тогда |
, |
х . |
(2.15) |
рР! = 0, 5° |
= а'цщ = <т0щ, и- = о-0— . |
||
Имеем из (2.10)
ДУ = У « 4П|йЕ = ~ ^ У р Р 1 ^ А У + У |
. |
(2.16) |
Упражнение 2.1. Пусть упругий прямой цилиндр длиной I и площадью сечения Е поставлен основанием на плоскость. Извес тно, что его вес С}. С помощью формулы (2.16) показать, что изменение объема этого цилиндра
ДК = - 91 |
(2.17) |
6К ' |
|
Упражнение 2.2. Пусть упругое изотропное тело нагрето до температуры г?(ж). Пользуясь формулами (2.16) и (1.71), показать, что в этом случае изменение объема
ДК = За |
/ |
М У |
(2.18) |
|
Формулы Бетти служат источником получения многих важных формул. Рассмотрим, например, задачу о действии сосредоточен ной силы в неограниченном упругом пространстве. Предположим,
что в точке ^ среды действует сосредоточенная массовая сила
рР = Х |
(2.19) |
в направлении оси ж* с единичной интенсивностью р:
Х<к) = р 6 ( 2 - & к. |
(2.20) |
Вектор X (2.19) мы будем называть объемной силой, ибо он имеет размерность силы, поделенной на объем. Итак, требуется решить уравнение Ламе (1.48) для массовых сил (2.20) в неограниченной среде. Лля единственности решения потребуем, чтобы на бес конечности перемещения обращались в нуль. Назовем решение такой задачи
а = # < *> (г ,? )= ^ к\ х Л )е{ |
(2 .2 1 ) |
решением Кельвина, а тензор П ^ (х ,^ )0 — тензором перемещений Кельвина. Верхний индекс (к) обозначает направление действия
сосредоточенной силы, прилаженной в точке (, нижний индекс г — направление соответствующего ей перемещения в точке ж. Итак, тензор перемещения Кельвина является решением уравнений
^ у ° }к) + *< к) = 0- |
(2 .22) |
Упражнение 2.3. Пусть в точке (' приложена сосредоточенная массовая сила,действующая в направлении оси хр.
рР '(') = Х /(,) = р6(х - ?')*,, |
(2.23) |
а соответствующий вектор перемещения и', полученный из реше
ния уравнений (1.48)
# = |
= |
(2-24) |
Пользуясь формулой (2.10), доказать теорему Максвелла о сим метричности тензора перемещений Кельвина:
Ц Р 6 , Ъ = Ф & Ъ - |
■ |
(2-25) |
Применив к решению Кельвина оператор напряжений (1.45), по лучим тензор напряжений Кельвина
р $ к\ * , ъ = ь л т } к\ г , Ъ - |
(2.26) |
Заметим, что у полученного тензора второй векторный аргумент ?— любая точка, принадлежащая телу, | € V , а первый аргумент
принадлежит некоторой поверхности, на которой вычисляется Г. Поэтому будем обозначать его у, у € Е, т.е.
Р$к\у,Ъ ИЛИ р?\у,х).
Упражнение 2.4. Используя формулу (2.8), доказать что
|
|
|
|
|
(2-27) |
для любых точек «€ 2 (любая поверхность вы,,_ |
|
||||
ющего объем V), { , ( ' |
' |
|
Р 1 Ь |
внутри тела, занима |
|
€ V . |
Ш |
|
|
|
|
Воспользуемся теперь снова формулой (2.10), положив в ней |
|||||
«' = й<к\ 5,0 = р(*), |
р!" = *(*)_. *ц6(2-|)е,-, |
|
|||
1 1^к)(х,()рР{(х) - |
М*)бк1б(х _ |
_ |
|
||
V |
|
|
|
|
|
- № |
' Ш |
' » - 4 < я ф |
9 Л а в , |
(2.28) |
|
Отсюда |
|
|
|
|
|
М Ь = I Р1/?\2Л)Щ2)<1У + / [ ^ ( у .^ Р ф |
|
||||
V |
|
Е |
|
|
|
(2.29)
Последняя формула носит название формулы Сомильяны. С ее
помощью вектор перемещения Й в любой точке ^ € V может быть найден, если на поверхности Е, ограничивающей объем, извес тны одновременно и вектор перемещения Й°(у), и вектор усилий
8 ° (у) , у € Е. Так как одновременно вти векторы на границы заданы быть не могут, то формула (2.29) непосредственного прак тического применения не имеет. Но, как мы увидим далее, она может быть использована для получения многих важных результа тов. Рассмотрим изотропную среду. Прежде чем получить явное выражение перемещений Кельвина, построим некоторые важные частные решения статической задачи упругости, т.е. решения, которые удовлетворяют уравнениям Ламе (1.72), но не обязатель но удовлетворяют граничным условиям. Такие частные решения обычно разыскиваются с помощью вектора перемещения через не которые векторы, удовлетворяющие уравнениям более простым, чем уравнения Ламе, например уравнению Лапласа или Пуас сона, однородному или неоднородному бигармоническому урав нению. Такое выражение принято называть «представлением» решения задачи теории упругости. Применим к уравнениям (1.72) один раз оператор (Ну, а другой раз оператор Лапласа Д = д,д,-. Тогда получим соответственно
|
(2.30) |
(А + ц )д{д]А щ + ц А 2щ + А Х{ = 0, |
(2.31) |
где Д2 — бигармонический оператор, т.е. оператор Лапласа,
примененный дважды. Подставляя |
выражение (2.30) в |
(2.31), |
получим |
|
|
А Ч = М Х , Д Ч |
= Щ Х , , |
(2.32) |
где |
|
|
Щ = ± |
- М * ъ ] • |
(2-33) |
Тензор-оператор М (2.33) |
назовем оператором Галеркина. Ищем |
||
решение уравнения Ламе |
(1.74) в виде |
|
|
« = М Г , |
щ = Щ Г ,, |
(2.34) |
|
где Г называется вектором Галеркина. Подставляя (2.34) в (2.32), получим уравнение
А 2М Т = М X , |
(2.35) |
которое будет удовлетворяться, если положить
Д2Г = X . |
(2.36) |
Выражение вектора перемещения через вектор Галеркина (2.34), который удовлетворяет уравнению (2.36), называется представ лением Галеркина. Заметим, что в случае отсутствия массовых сил, как следует из (2.32), (2.36) и (2.30), векторы перемещения
и и Галеркина Г будут бигармоническими, а дилатация в — гармонической функцией.
Ввиду формальностей вывода представления Галеркина может показаться,что оно не является общим, т.е. не всякое достаточно гладкое решение уравнения Ламе может быть представлено в виде (2.34), (2.35). Покажем, однако, что решение Галеркина является общим. Как известно (например [113, т. 2, с. 207]), для всякого векторного поля 2 (2 ) с условием 2 (оо) = 0 найдутся такие вектор
х(2 ) и скаляр ф(х), что |
|
|
|
2 |
= го1;х + <5гас1^, |
(2.37) |
|
причем такое разложение является единственным и |
|
||
|
сИу х = 0. |
(2.38) |
|
И обратно, для всяких в |
к и |
(сНуД = 0) |
|
в = сНу 2 , |
ш = —го1 2 |
(2.39) |
|
найдутся такие х и ф: |
|
|
|
Аф = в, |
А х = —2<3(сИу х = 0), |
(2.40) |
|
что по заданным 0(х) и и>(х) строится векторное поле 2 в виде (2,37). Запишем соотношение (2.34) с учетом (2.33) в виде
и = |
/л . л \8га^ |
ц |
ДГ. |
(2.41) |
|
ц{Л+2{1) |
|
|
Сравнивая (2.41) и (2.37), мы видим, что необходимо доказать, что существуют зависимости
/х(А + 2/х) ЙПГ - |
(2.42) |
|
|
- - Д Г = го1х + §га<1^2, |
(2.43) |
№ |
|
при этом
Ф\ + Фз = Ф- |
(2.44) |
Предположим сначала, что существует достаточно гладкий вектор Г, затухающий на бесконечности вместе со своими производными
первого и второго порядков. Тогда для вектора ДГ согласно тео реме Гельмгольца существуют скалярная функция фъ и векторная X, такие, что выполняется (2.43) при условии(2.38) и
Д^2 = — ~ сИу(ДГ), |
(2.45) |
Д х = ^ го *(Д Г ), |
(2.46) |
причем можно предположить,что выполняется (2.41). Тогда спра ведливо (2.44). Обратно, пусть заданы функции ф и х , причем выполняется условие (2.38). Тогда согласно теореме Гельмголь ца можно построить разложение (2.43) так, чтобы выполнялись условия (2.42), (2.44)-(2.46). Подставляя выражение
«(*) = А<р(х) + /(ж) §га(1^>(2) |
(2-47) |
в уравнения Ламе (1.72), получим
(А + 3р)/,кф ,к{ + (А + 2ц )/А ф ,{ + (А + р)(А<рк,к{ + /,ы«/’,к+
+ /,>Аф) + ц{ААф{ + А/ф,{) + Х{ = 0.
(2.48)
Упражнение 2.5. Полагая в (2.47)
а = Ж Т 7 г л * ) ' - 1/2" |
<2-49> |
(представление Нейбера), показать, что уравнения Ламе будут удовлетворяться, если вектор <р удовлетворяет уравнению Пу ассона
а между <р и ф существует зависимость
Аф = 2й\У(р. |
(2.51) |
Упражнение 2.6. Полагая в (2.47)
Л = |
/(г) = “ ^ - ^(*) = * - ? + М 2 ) |
(2.52) |
(представление Папковича), показать что уравнения Ламе удов летворяются, если функции <р(х) и ^*о(*) удовлетворяют уравне нию Пуассона
|
Д 0 + |
А + /|* - о |
(2.53) |
|
|
^ |
А |
+ 2/, |
|
|
|
|
|
(2.54) |
Упражнение 2.7. Полагая в (2.47) |
|
|||
. |
1 |
|
1 |
(2.55) |
А = |
~’ |
/(*) = -*«> ог = 1,2,3 |
||
(представление Треффца), показать, что уравнения Ламе удовлетворяются, если
Аф + Х = 0, |
|
(2.56) |
Аф = 0 |
|
(2.57) |
и существует связь между ф(х) и ф: |
|
|
(А + 3ц)ф>а + (А + ц)<рк>к = 0. |
(2.58) |
|
Упражнение 2.8. Полагая в (2.47) |
|
|
А = р |
-<■’>. |
(2.59) |
где |
|
|
г = у/ЩЩ, |
|
(2.60) |
а а = сопз! (представление Треффца), показать, что в случае, если массовые силы являются градиентом некоторой скалярной функ ции х (см. соотношение (6.12) гл. 1), уравнения Ламе допускают
первый интеграл в |
виде |
|
|
|
|
|
г *Ф + _ Л _ |
|
А + /л |
|
|
(2.61) |
|
Аг А + 3/4Ф - |
|
—---------и = СОП81. ■ |
||||
+ 3„)Х + 2(А + 3ц у ' |
|
|
||||
и 1/г: |
функции г, заданной соотношением (2.60) |
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
= —> |
г, |
г |
г3 |
’ |
(2.62) |
|
г |
у - |
|
|||
|
|
1\ |
|
^ |
3 * ^ |
(2.63) |
|
- ? • |
(;г*) |
1- |
г3 |
г5 |
|
|
|
|||||
89
Из формулы (2.63) видно, что функция 1/г удовлетворяет уравне нию Лапласа всюду, кроме начала координат:
Д |
= 0, |
г 9* 0. |
(2.64) |
В то же время объемный интеграл от выражения (2.64) по любому шару дает
V
(2.65)
Из (2.64) и (2.65) видно, что функция 1/г удовлетворяет уравнению Пуассона
Д ( 1 ) = ~4ж6(х). |
(2.66) |
Теперь, чтобы получить решение Кельвина, достаточно восполь зоваться представлением Галеркина. Решим сначала уравнение (2.36) для специальной правой части
й?Т = - Щ х ), |
(2.67) |
где р — единичный вектор силы.
Упражнение 2.9. Разыскивая решение уравнения (2.36) в виде
Г; = С'р.г |
( 2 .68) |
и используя формулы (2.62), (2.63) и (2.66) показать, что (2.68) является решением уравнения (2.67), если
С |
1 |
(2.69) |
|
8х |
|||
|
|
Упражнение 2.10. Используя решение (2.68), (2.69) уравнения (2.67), показать, что вектор перемещения «, соответствующий этому решению, по формуле (2.41) выражается в следующем виде:
рД л + й) Х ; Х |
А + Зй 6ц |
8хр(А -1- 2р) |
А + р г |
ЦХ1