книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Тогда можно ввести две теплоемкости вещества: ср и с„ (кал/г ■ град), причем, как следует из (2.31) и (2.33),

Поэтому

т

(5.22)

То

По закону Дюлонга-Пти у твердых веществ для температуры выше некоторой, называемой температурой Лебая, ср = сопз1. В втом случае

То

Бели а мало по сравнению с То, то

Г0

Сравнивая (5.16) и (5.17) и считая теплоемкость вещества за­ данной, получаем, что функция энтропии Я полностью определена законом связи между напряжениями и деформациями:

Упражнение 5.5. Показать, что для анизотропной среды, в которой связь между напряжениями и деформациями описывается линейным оператором

Упражнение 5.8. Показать, что для предыдущего упражнения в случае N = 1

где П(<) и Щ(1) — ядра, резольвентные к Щ1) и Дх(0 соответ­ ственно.

Упражнение 5.9. Показать, что если связь между напряжени­ ями и деформациями описывается соотношениями теории малых упругопластических деформаций (4.47), (4.35) и N = 1, то

Рассмотрим изотропную среду, в которой шаровые части тен­ зоров напряжения и деформации связаны линейной зависимостью. Для такой среды

где А — оператор Лапласа.

Используя первое из соотношений (5.37), уравнение (5.39) мож­

Бели среда обратимая, то IV* = 0. Бели, кроме того, величина <г не изменяется со временем, то получим из (5.39) линейное уравне­ ние теплопроводности, замкнутое относительно температуры:

где а ^ , 6^ — некоторые положительно определенные матрицы,

— вектор контактных усилий. Мы будем в большинстве случаев рассматривать частный случай граничных условий (6.4), а именно: на части границы Ех будут заданы перемещения 3°, а на части Е 2 — нагрузки (усилия) 5 0:

Для классификации граничных условий принята такая терми­ нология. Если на границе заданы только перемещения (только кинематические условия), т.е. в (6.5) Е 2 = 0, то такие условия на­ зываются граничными условиями первого рода, а задача М Л ТТ , использующая эти условия, — первой краевой задачей. Если на границе заданы только усилия (только статические условия), т.е. в (6.5) Ех = 0, то граничные условия называются граничными условиями второго рода, а соответствующая задача М Л Т Т — второй краевой задачей. Условия (6.5) называются смешанными граничными условиями, а задача М Л Т Т , их использующая, — смешанной краевой задачей М Л ТТ . В некоторый момент I = 1а должны быть заданы и начальные условия. Например,

Если тело не ограничено, то должны еще быть заданы условия на бесконечности. Итак, изотермическая задача М Л Т Т заключается в решении трех уравнений (6.3) с граничными условиями (6.4) или (6.5) и начальными данными (6.6). В этом и состоит постановка динамической задачи М Л Т Т в перемещениях. Сюда, разумеется, следует добавить требование гладкости разыскиваемого решения, границы и «входных данных»: рР{, 5 °, и®, Щ и У*.

Статическая задача М Л Т Т заключается в решении уравнений равновесия в перемещениях

при выполнении граничных условий (6.4) или (6.5).

Если определяющие соотношения или входные данные заданы так, что решение может зависеть от времени, то задача (6.7),(6.5) называется квазистатической задачей М Л Т Т .

Если определяющие соотношения явно зависят от координат, то динамическая, квазистатическая или статическая задачи на­ зываются неоднородными. В противном случае она называется однородной.

Заметим, что решение динамической задачи ид (х, I) иногда может стремиться к решению статической задачи ис(х,<):

Это явленйе связано с диссипацией, или рассеиванием энергии. Условие (6.8) мажет и не выполняться, как, например, в идеальных упругих средах. В таком случае статическая задача М Л Т Т является самостоятельной задачей о равновесии среды и никак не связана с динамической задачей, в которой рассматривается распространение волн и кинетической энергией среды пренебречь нельзя.

Л ля второй краевой задачи М Л Т Т , когда граничные условия имеют вид

можно дать постановку задачи в напряжениях (для одно.связной области V). Л ля этого в уравнения совместности (1.14) требуется подставить определяющие соотношения в форме (4.51):

Тогда статическая (или квазистатическая) задача М Д ТТ заклю­ чается в решении системы уравнений (6.10) при удовлетворении уравнений равновесия в напряжениях

и граничных условий (6.9).

Если массовые силы являются градиентом некоторой скаляр­

то можно ввести симметричный тензор функции напряжения Ф, такой, что напряжения выражаются следующим образом:

Тогда уравнения равновесия (6.11) удовлетворяются тождествен­ но и постановка статической задачи с использованием функций

напряжения заключается в следующем. Требуется найти реше­ ние системы из шести уравнений

относительно шести неизвестных Ф,; при удовлетворении гранич­ ным условиям

Д ля динамической задачи М Л Т Т также можно дать постанов­ ку в напряжениях. Для этого применим к уравнениям движения

Подставляя сюда определяющие соотношения (4.60), получим сис­ тему шести уравнений

Сформулируем теперь начальные условия. Применяя к ус­ ловиям (6.6) операцию БеГ и воспользовавшись определяющими соотношениями (4.60), получим

Тогда динамическая задача М Д ТТ состоит в решении системы уравнений (6.10), (6.17) при удовлетворении граничным условиям (6.9) и начальным данным (6.18).

В конце § 5 мы столкнулись с ситуацией, когда требуется решить «чистое» уравнение теплопроводности (5.43) без механи­ ческих членов

Это уравнение для анизотропной и неоднородной среды будет иметь вид

Для уравнений (6.19) или (6.20) также должны быть начальные данные:

Вообще говоря, для тел конечных размеров начальные условия оказывают влияние лишь на первой стадии нестационарного про­ цесса. Начиная с некоторого момента наступает режим, при котором распределение температуры практически не зависит от начальных условий. В этом случае говорят, что решается ста­ ционарная задача

Если источники тепла отсутствуют, то в (6.22) температура стал новится гармонической функцией

На поверхности тела может быть задана температура (гранич­ ное условие первого рода, или условие типа Дирихле):

На поверхности тела может быть задан вектор теплового пото­ ка (граничное условие второго рода, или условие типа Неймана):

Наконец могут быть заданы граничные условия, соответствующие теплообмену с окружающей средой по закону Ньютона (граничное условие третьего рода):

где Т° — заданная температура окружающей среды, а /? — ко­ эффициент теплоотдачи (кал/см2 •с •град). М огут встретиться и более сложные (нелинейные) граничные условия, например для случал теплопередачи излучением. Однако мы будем рассматри­ вать только линейные граничные условия. Их можно объединить следующим образом. Пусть на части Е , поверхности Е

Итак, нестационарная задача теплопроводности заключается в интегрировании уравнения (6.20) при выполнении начального условия (6.2 1) и граничного условия (6.28) или условий на бес­ конечности.

Стационарная задача теплопроводности заключается в ин­ тегрировании уравнения (6.24) при удовлетворении граничного условия (6.28).

Разумеется, и здесь необходимо добавить требования, пре­ дъявляемые к гладкости разыскиваемого решения, границы и входных данных.

Как уже было отмечено здесь, решение нестационарной задачи Тн(х,1) связано с решением стационарной задачи Тс(х) условием

Если входные данные стационарной задачи зависят от времени как от параметра, то задача (6.23), (6.28) называется квазистационарной. Если Хт явно зависит от координат, то стационарная, квазистационарная или нестационарная задача называется неод­ нородной. В противном случае она будет однородной.

Если рассматривается изотермическое деформирование, то в уравнения движения (2.9) следует подставить вместо определяю­ щих соотношений (4.1) уравнения (5.7) или (5.8). Тогда получим уравнения движения

или уравнения равновесия

и граничные условия типа (6.4) или (6.5):

Если в уравнение притока тепла не входят механические чле­ ны, т.е. оно имеет вид (6.20) или (6.23), то его можно решить отдельно, найти температурное поле, а затем уже решать уравне­ ния (6.30) или (6.31), считая температуру известной. Такие задачи называются несвязанными задачами термомеханики. Например, несвязанная динамическая нестационарная задача термомеханики заключается сначала в решении уравнений (6.20) при выполнении