книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

Упражнение 2.7. Показать, что для «квазистатических» за­ дач, т.е. для случая, когда силы инерции пренебрежимо малы, уравнения движения сплошной среды (2.9) превращаются в урав­ нения равновесия:

Дальнейшее развитие общих уравнений механики сплошной сре­ ды будет дано после введения определяющих операторных со­ отношений.

§3. О П ЕРА ТО РН Ы Е СОО ТН ОШ ЕН И Я

Вуравнениях движения (2.9) массовые силы считаются извес­ тными, а компоненты вектора перемещения к,- и симметричного тензора напряжения — неизвестными величинами. Если рас­ сматриваются изотермические процессы, то для замыкания систе­ мы уравнений М Д Т Т необходимо задать физические соотношения между напряжениями и деформациями (определяющие соотноше­ ния) в виде некоторой операторной связи. В существовании такой операторной связи сомневаться не приходится хотя бы потому, что изменение деформированного состояния влияет на изменение напряженного состояния. Однако понятие «операторной» связи требует некоторого уточнения.

Мы будем каждый симметричный тензор второго ранга а(г)

вфиксированной точке трехмерного евклидова пространства К з

[84]называть процессом и считать элементом некоторого фун­ кционального пространства Я ,, т.е. пространства абстрактных функций, заданных на числовом отрезке 0 ^ т ^ I. В пространс­ тве Н{ можно ввести скалярное произведение двух произвольных

процессов «(!) и а(2>, например, по формуле

I

о

где р(*,т) — некоторая положительная функция (памяти). Можно также рассмотреть пространства Я,» таких абстрактных функций а(*)(т), которые определены на бесконечном интервале и вне от­ резка [О,*] тождественно равны нулю. В этом случае скалярное произведение для произвольных двух элементов а * ^ и а * ^ можно также определить формулой (3.1). При этом мы будем понимать

г

интеграл / так:

о

где а — положительное число.

Назовем симметричный тензор второго ранга смешанным фун­

где а((г) —тензор-функция, а ^ — число, если задан закон, ставя­

получим тензор-функционал, а если зафиксируем а*, то получим тензор-функцию переменной Таким образом, смешанный фун­ кционал определяет функциональный оператор, т.е. однозначное соответствие между тензором аг, рассматриваемым как незави­ симая переменная, и тензором Ь*. Обратно, если задан функ­ циональный оператор, то ему можно поставить в соответствие вполне определенный смешанный функционал. Именно такие опе­ раторы мы и будем рассматривать в дальнейшем при описании определяющих уравнений. Для случая ^ = 4 оператор (3.3) будем обозначать сокращенно:

В случае, если значение Тензора 6 в момент времени I зависит от значения процесса а только в момент времени I, будем говорить, что (3.4) является функцией процесса а. В этом случае вместо Т можно писать Т .

Процессы, которые входят в определение оператора ЗР и кото­ рые должны для каждой теории определяться экспериментально, называются материальными функциями.

Процессы, которые задаются как входные для определения материальных функций, называются пробными. Совокупность материальных функций называется индикатрисой оператора Т . Порядок индикатрисы — это число материальных функций, кото­ рые полностью определяют оператор Т .

Другими словами, пусть задано несколько элементов прост­

Оператор (3.3) называется циклически замкнутым, если его можно поменять местами с производной, т.е. если из (3.3) следует равенство

Упражнение 3.3. Доказать, что индикатриса циклически замк­ нутого линейного оператора имеет разностный вид [76, с. 100], т.е.

Упражнение 3.4. Доказать, что всякая тензор-функция V(^,<) вида (3.12) является индикатрисой циклически замкнутого опе­ ратора. ■

Дифференциалом О Т тензора-оператора Т и его функциональ-

дф

ной производной -дд- в процессе а назовем выражение

Если в каком-то процессе а оператор-дифференциал И Т операто­ ра Т {а} обращается в нуль для всех Л, то будем говорить, что оператор Т имеет в а стационарное значение. Если производная в правой части (3.13) существует только в обобщенно^ смысле,

вТ

то будем говорить, что -дд- является обобщенной функциональной

производной оператора Т . Такие производные применяются в МДТТ в случае «негладких» операторов Т . При этом будем

д ф

считать, что О Т линеен по Л. Нетрудно видеть, что -дд- представ­

ляет собой тензор-оператор четвертого ранга. Аналогично можно определить производные второго и более высокого порядков:

Очевидно, для того чтобы тензорный оператор Т , представимый

ввиде (3.18), был инвариантен относительно группы преобразова­ ний 8, необходимо, чтобы каждая т-линейная однородная форма была инвариантна относительно 8 .

Бели под 5 понимается полная группа движения трехмерного евклидова пространства, то тензорный оператор, удовлетворяю­ щий уравнениям (3.4), (3.20) для всякой ортогональной матрицы С}, называется изотропным.

Изотропный оператор Т называется квази-т-линейным, если

вего представлении (3.18) могут участвовать только тензорные

Скалярной степенью т этого же тензора а называется след тен­ зора (3.21), т.е.

Здесь г , ... , тт _! — значения параметра г € [0, <]. В частности, квази-1-линейный оператор называется просто квазилинейным. Он является тензорно-линейным, а его нелинейность отражает­ ся нелинейной зависимостью от инвариантов тензора-аргумента. Оператор $ называется потенциальным, если существует такой скалярный оператор IV, что

кциональные производные), то его всегда можно представить в виде (3.18). Легко видеть, что выполнение условий взчлмности эквивалентно потенциальности оператора Т .

Предположение о квази-т-линейности оператора Т называется постулатом квази-т-линейности.

Если справедлив постулат квази-т-линейности для потенци­ ального оператора Т , то в его представлении (3.17) не могут участвовать скалярные степени тензора а выше т + 1. В самом деле, из (3.4) в силу (3.23) следует, что

Так как в разложение (3.17) должны по условию входить только /„ при п ^ т, то из (3.24) следует, что

о1п

Упражнение 3.5. Доказать, что если оператор Т допуска­ ет разложение (3.18) и справедлив постулат квазилинейности, то выполняются условия взаимности и оператор Т является потен­ циальным. ■

Можно распространить понятия квазилинейности и потенци­ альности операторов и на анизотропные среды [84]. В самом деле, пусть имеется оператор (3.4), инвариантный относительно некоторой подгруппы группы движения (т.е. группы, характери­ зующей некоторый вид анизотропии). Тогда будем считать, что и в этом случае выполняются соотношения (3.23), но в качестве параметров в эти соотношения входят тензоры базиса, инвари­ антного относительно рассматриваемой группы преобразований ?!> 72>, , ч 7дг (О выборе этого базиса в некоторых конкретных средах речь пойдет в следующем параграфе.) Тогда более полно соотношения (3.23) можно будет записать в виде

Пользуясь понятием полного рационального матричного базиса [84], можно и в этом случае дать представление оператора (3.26) в виде, аналогичном (3.18). Естественно считать, что Т называется квазилинейным по а, если полученное его представление содержит только члены, линейные по тензорному аргументу а.

§ 4. С В Я З Ь М ЕЖ ДУ НАПРЯЖ ЕНИЯМИ И ДЕФОРМАЦИЯМИ

После введения понятия операторных соотношений можно сформулировать определяющие соотношения М Д ТТ. Если рас­ сматриваются изотермические процессы, то будем считать, что тензор напряжения является оператором тензора деформации, или процесса деформации:

Если соотношения (4.1) не зависят от того, в какой точке тела они рассматриваются, то среда, описываемая определяющими

соотношениями (4.1), называется однородной. В противном случае среда называется неоднородной, и этот факт мы иногда будем отражать в записи определяющих соотношений

Разумеется, оператор Т должен быть инвариантен относитель­ но группы преобразований, характеризующей некоторый класс анизотропии изучаемой среды.

Если оператор Г является линейным, то, как было установлено

Эти соотношения принимаются в качестве определяющих в ли­ нейной теории вязкоупругости. Однако там Гу*|(1, т) — не произвольные обобщенные функции, а функции, имеющие вид

рака, 6'(1) — ее производная, а Г(1, т) — обычная (не обобщенная) функция. Наличие первого слагаемого в (4.4) вызывает в теле вязкое течение при мгновенном нагружении. Этой особенностью

Условие (4.5) обеспечивает однозначную разрешимость уравнений (4.3) в виде

рии вязкоупругости называются ядрами релаксации п-го порядка. Эти тензоры инвариантны относительно некоторой группы пре­ образований, характеризующей определенный вид механической анизотропии, и относительно симметрии по индексам этих тензо­ ров можно сказать все, что было сказано относительно операторов

аддитивную составляющую в виде дельта-функции, то уравнения (4.15) можно обратить, т.е. выразить деформации через напря­ жения, причем все резольвентные ядра, которые в теории вязко­ упругости называются ядрами ползучести, находятся с помощью квадратур по заданным ядрам релаксации [67]:

•••*»)*«»*»(Т|) •- ^п}Л Тп) ^ 1 •••Лтп.

(4.16) Некоторые физические соображения позволяют заключить, что нелинейные ядра релаксации и ползучести содержат сингулярные составляющие в виде дельта-функций [33, с. 172]. Исходя их раз­ личного типа допущений о характере этих сингулярностей, можно построить много определяющих соотношений, являющихся част­ ным случаем соотношений (4.15) и (4.16). Если в этих определя­ ющих соотношениях оставить только сингулярные составляющие (т.е. члены, составленные только из дельта-функций), то получим

вместо (4.15) и (4.16)

N

(4.17)

п=1

N

тензором модулей упругости п-го порядка, а второй — тензором упругих податливостей п-го порядка. При п = 1 эти тензоры называются просто тензорами модулей упругости СуЫ и тензором упругих податливостей и для линейного случая соотношения