книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

формула (1.27) является точной для некоторой функции /(у ), если для этой функции ошибка аппроксимации 6/ равна нулю.

Упражнение 1.3. Доказать, что для того, чтобы квадратурная формула (1.27) была интерполяционной, необходимо и достаточно, чтобы она была точной для любого многочлена степени не выше т - 1 [120, с. 291]. ■

Алгебраические уравнения для сеточных функций Д называ­ ются разностными уравнениями. Введем некоторые операторы, действующие над сеточными функциями. Оператор Е , ставящий в соответствие значению /,• само Д называется тождественным:

(1.29) Операторы Т + и Т называются операторами сдвига соответс­

Последовательное применение этих операторов называется соот­ ветствующей степенью оператора сдвига:

Очевидно, для операторов сдвига справедливо свойство

где Д , у/, — две сеточные функции. Индекс Л мы чаще всего будем опускать. Справедливо также свойство

(1.33)

Для равномерной сетки определим операторы разностных произ­ водных — правой д + и левой д~:

Введем также линейную комбинацию правой и левой производ­ ных — х-производную:

где х — некоторое произвольное действительное число. Заме­ тим, что

Воздействие этих операторов на сеточную функцию Д может описываться и другим образом:

Можно ввести разностные производные высших порядков:

5 _ т = ^ -(-&-^ ~ )т = ^ - ( ^ Е - т Т ~ + ^ ~ ^ - Т - 2... ( -1 )т Г - ™^. ^

Заметим, что операторы разностных производных не обладают свойством алгебраического сложения порядков, т.е. хотя спра­ ведливы формулы

выражение

читается как правая разностная производная &-го порядка и левая разностная производная т-го порядка.

Упражнение 1.4. Доказать справедливость формул

Назовем шаблоном разностного оператора Ь множество целых чисел, являющихся индексами узлов, участвующих в действии этого оператора на величину Д и обозначим его Ш {Ь}, например:

Многомерные операторы суммирования также будем помечать внизу соответсвующими индексами. Так, например, для двумер­ ной области

Значениявыражений в граничныхузлах будемпомечать верти­ кальной чертой с указаниеминдекса,принимаемогограничными узлами, например:

Рассмотрим двумерную область и формулу Грина для этой об­ ласти Е и контура Г, ее ограничивающего:

где п/ — компоненты единичного вектора нормали к контуру Г:

Рассмотрим разностный аналог формулы (1.77). Для этого при­

внутренних узлах /= О, кроме того:

причем в последнем слагаемом индекс у оператора суммирования опущен. Он равен 1, если п = 2, и равен 2, если п = 1.

Упражнение 1.12. Доказать справедливость равенства

Упражнение 1.13. Показать, что формулу (1-79) или (1.81) можно записать в виде

Упражнение 1.14. Доказать,что разностный аналог формулы (1.78) имеет вид (для а ф /3, а,/? = 1,2)

§ 2. АППРОКСИМАЦИЯ И УСТОЙЧИВОСТЬ

Пусть задано некоторое линейное операторное уравнение, на­ пример дифференциальное,

Вычисляя разность между разностной ^-производной и производ­ ной ^ = II', получим, используя (2.6) и (2.7),

Отсюда и из (2.5) видим, что разностная х-производная аппрок­

порядка). Заметим, что если вместо х-производной выбрать про­ извольную линейную комбинацию правой и левой производной

рис. 27 видно, что для того, чтобы имела место сходимость, т.е. решение разностного уравнения (2.2) «д стремилось бы к решению уравнения (2.1) II при стремлении к нулю А, необходимо, чтобы при Л —>0 стремилась к нулю разность Аид = ид — С/д, т.е.

Одного факта аппроксимации для этого оказывается недоста­ точно.

Пусть, например, для одномерной вязкоупругой модели Фойгта (3.26) гл. 3 известно, что в момент С= 0 напряжение а равно нулю, а деформация — некоторому заданному значению еоТогда для деформации получается дифференциальное уравнение

решение которого имеет вид

Рассмотрим разностную задачу, соответствующую задаче (2.12). Для этого нужно ввести сеточную область и = Ы

(1 = 1 , . . . , ЛГ) и разностный оператор, соответствующий ^ . На­ пример, выбирая правую разностную производную, имеем

или, опуская индекс к,

Формулу (2.15) можно переписать в виде

Так как щ = го, то (2.16) представляет собой алгебраическую систему N уравнений для определения N неизвестных « 1 , . . . , идгМатрица этой системы является двухдиагональной, т.е. под глав­ ной диагональю, полностью состоящей из единиц, лежит диаго- ' наль, составленная из чисел (1 — а к ). Таким образом, кроме того, что эта матрица двухдиагональная, она еще и треугольная (нижняя треугольная). Из формулы (2.16) мы видим, что каждое последующее значение сеточной функции ид «явно» разрешается через предыдущее, причем для решения хватает единственного начального условия «о = ео> которое входит в правую часть системы алгебраических уравнений. Поэтому, последовательно применяя формулу (2.16), имеем

«1 = (1 — а к )щ = (1 - »Л)го,

«2 = (1 — ак )щ = (1 - аЛ)2го,

(2.17)

«„ = (1 - аЛ)и„_! = (1 - ай)"го.

Полагая 1п = кп, так что 1п всегда остается узловой точкой, имеем

Сравнивая (2.13) и (2.18), видим, что в данном случае имеет место сходимость. В табл. 2.1 в столбцах 1 и 4 приведены значения точного решения уравнения (2 .12 ), вычисленного по формуле (2.18) при го = 1, а в столбцах 2 и 5 — значения решения разностного уравнения (2.14), вычисленного по формуле (2.17). Заметим, что значениям щ «5 второго столбца соответствуют значения «юо -г- «500 4-го столбца, так как во втором случае шаг уменьшен в 100 раз. Мы видим, что с уменьшением шага к точность разностного решения повышается.