книги / Численные методы в теории упругости и пластичности

где 5 € Их, т.е. некоторой площадке, на которой вычисляется оператор [■

Упражнение 3.7. Показать, что для вектора V (3.48) справед­

Решение второй краевой задачи (3.13), (3.14) теории упругости для внутренней области V будем искать в виде суммы двух решений (3.21), первое из которых «{• находится по формуле (3.3),

Учитывая соотношения (3.50) для плотности р(^), получаем интег­ ральное уравнение Фредгольма второго рода

Упражнение 3.8. Показать, что для случая внешней области для задачи (3.13), (3.14) справедливы те же формулы (3.21), (3.3) , (3.51), где х $ V, а формулу (3.52) нужно заменить формулой

Е

§ 4. ТЕОРИЯ МАЛЫХ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКИХ ДЕФОРМАЦИЙ

Теория малых упругопластических деформаций разработана Л Л Ильюшиным для простых процессов. В пятимерном прост- |>111н,тне Ильюшина И5 такой процерс

Так как интенсивности тензоров деформации и напряжения по определению являются положительными величинами, то для опи­ сания активных и пассивных процессов удобно ввести величины, равные по модулю интенсивности соответствующего тензора и имеющие знак плюс, если идет нагрузка, и минус, если — разг­ рузка. Введем для этого знаковое число

Рис. 5

Рассмотрим теперь процесс деформации, характеризующийся изменением длины дуги (рис. 5), где в,- — точки, соответствующие изменению направления процесса. Тогда величина связанная с процессом, в котором х (<) меняет знак п раз, записывается в виде

|=1

где Н(в —в,) — единичная функция Хеви­ сайда, а знак перед выражением правой части (4.5) определяется первоначаль­ ным направлением процесса. Пусть е* — последний достигнутый предел текучес­ ти, т.е. значение е$, соответствующее последнему из 8„, когда началась разг­ рузка, а е*7- — соответствующий этому моменту девиатор тензора деформации.

Пусть е** — предел текучести, который может наступить или на- ' I Vпил при протекании процесса в одном направлении (на рис. 6 для момента 54 < в < «5 этому пределу соответствует значение в*, а для в > «5 — значение «4). Тогда процесс нагрузки (значение депиатора тензора напряжения) описывается следующим образом:

вц = 2/|[еу - ы(е*)еи] +

(4.6)

- Ц е и)е,7]й(еи - еП -

Из соотношений (4.6) следует сразу формулировка определяющих соотношений отдельно для активных и пассивных процессов, дан­ ная в § 4 гл. 1. В случае активных процессов получаем уравнения равновесия в перемещениях в виде

нм чдочкой помечены все величины, относящиеся к началу разгРУ ши (всего тела). Следует добавить еще граничные условия

И |и к, статическая задача теории малых упругопластических де­ формаций заключается в решении системы дифференциальных урнипоний (4.7) или (4.8) при удовлетворении граничным услови­ ям (4.11). Бели рассматривается несвязанная задача термоплас- 1ичп(1гти, то массовые и поверхностные силы в (4.7), (4.8), (4.11) •подует изменить согласно формулам (1.71).

<д метим, что мы сформулировали задачу теории малых уп­ ру! оилас.тических деформаций в упрощенном виде, т.е. когда во ю <м геле сразу рассматриваются либо активные процессы, либо

пассивные. В действительности же в одних точках тела происхо­ дит нагрузка, а в других — разгрузка. В этом случае величины е* и е,*, входящие в (4.6), зависят от координат.

Упражнение 4 .1 . Доказать теорему о разгрузке [27, с. 118]. Если всюду в теле происходит разгрузка, то перемещения точ­ ки тела в некоторый момент стадии разгрузки отличаются от их значений в момент начала разгрузки на величины упругих перемещений, которые возникали бы в теле, если бы в естест­ венном (ненапряженном и недеформированном) состоянии к нему были приложены внешние силы, равные разностям внешних сил, действующих на тело в указанные моменты.

Упражнение 4.2. Доказать теорему об остаточных напряже­ ниях, деформациях и перемещениях [27, с. 120]. Если для тела при

заданных нагрузках р Р и 5 ° решена задача пластичности и по­ лучений истинное состояние и если, кроме того, для тела решена задача теории упругости, т.е. тем же внешним силам соответст­ вует фиктивное состояние упругого равновесия, то в результате полной разгрузки тела в нем остаются перемещения, деформа­ ции и напряжения, равные разностям их значений в истинном и фиктивном состояниях. При этом предполагается, что остаточ­ ные напряжения в результате разгрузки вторично не выходят за предел текучести. ■

Мы видим, что задача теории малых упругопластических де­ формаций при пассивной нагрузке (4.8), (4.11), по существу, яв­ ляется задачей теории упругости. Единственность ее решения была доказана в § 1. В случае активной нагрузки решение задачи (4.7), (4.11) будет единственным, если выполняется неравенство (7.60) гл. 1:

\деы

Из сравнения (4.12) и (4.14) видно,что для единственности решения достаточно потребовать, чтобы

Первое требование (4.15) можно записать в виде

а второе — в виде

(4.17)

Введем упругопластический потенциал деформации ЧУ и потенци­ альную энергию деформации <р:

Упражнение 4.3. Сформулировать вариационный принцип Лагранжа для задач (4.7), (4.11) и (4.8), (4.11) и доказать, что стационарная точка лагранжиана является точкой минимума. ■

Соотношения (4.6) можно разрешить относительно деформа­ ций. Тогда

(419)

<ти

при активных процессах и

при пасссивных процессах, где звездочками помечены величи­ ны, соответствующие началу разгрузки, а е„ является заданной функцией от <ти:

Тогда можно ввести упругопластический потенциал напряжения и> и потенциальную энергию напряжения Ф следующим образом:

<т«

(4.22)

го</<7° + у к * 2’

о

Можно дать постановку задачи теории малых упругопластичес- пих деформаций и в напряжениях. Для этого к уравнениям рпнповесия

^л-г г н и «_ л У1

выраженные через напряжения, и граничные условия

Упражнение 4.4. Сформулировать для задачи теории ма­ лых упругопластических деформаций вариационный принцип Кастильяно и доказать, что стационарная точка Кастильяно является точкой максимума, если выполняются неравенства (4.17) и

Упражнение 4.5. Доказать теорему о простом нагружении, свидетельствующую о том, что существуют реальные среды, для которых можно выбрать входные данные таким образом, что в каждой точке среды одновременно осуществляется простой про­ цесс нагружения [27, с. 115]. Если материал несжимаем (0 = 0) и интенсивности тензоров напряжений и деформаций связаны меж­ ду собой по степенному закону

где с и п — некоторые постоянные, и, кроме того, массовые и

поверхностные силы рГ и 3° возрастают пропорционально одно­ му параметру х х , а заданное перемещение й° пропорционально другому параметру х„, причем

то процесс деформации в каждой точке будет простым.

§5. ТЕОРИ Я ЛИНЕЙНОЙ ВЯЗКОУПРУГОСТИ

Влинейной теории вязкоупругости связь между напряжениями

идеформациями задается соотношениями (4.3), (4.6) § 4 гл.1, которые можно записать сокращенно в операторном виде:

или для случая ядер релаксации и ползучести разностного типа в виде соотношений (4.13) и (4.14) гл. 1:

При этом тензоры ядер релаксации различных типов анизотро­ пии представлены соотношениями (4.22), (4.24), (4.26) гл. 1. За­ метим, что сокращенные соотношения (5.1), (5-3) напоминают по записи соотношения Гука (2.2), причем в последних вместо тензо­ ра модулей упругости следует подставить тензор-оператор

Гуы (или &цы)- Воспользовавшись этой формальной аналоги­ ей, можно перенести ряд результатов, полученных для упругой среды, на теорию вязкоупругости. Так динамическую задачу тео­ рии вязкоупругости можно сформулировать следующим образом. Требуется решить три уравнения

при выполнении граничных условий

и начальных данных:

где запись Гуы(Й) отражает тот факт, что ядра релаксации могут зависеть от координат. Бели они не зависят от координат, то вязкоупругая среда называется однородной.

Упражнение 5.1. Показать, что квазистатическая задача ли­ нейной теории вязкоупругости заключается в решении трех урав­ нений равновесия

при удовлетворении граничным условиям 5.6. В В частности, для изотропной однородной вязкоупругой сре­

ды квазистатическая задача заключается в решении уравнений

где А, Д — соответствующие скалярные интегральные операторы. Бели они соответствуют ядрам разностного типа, то будем их обозначать А и /х. Положим

Определим некоторые простейшие операции над операторами, благодаря чему с ними можно будет обращаться, как с числами. Так произведение двух операторов обозначает последовательное их применение. Бели операторы соответствуют ядрам разностно­ го типа, то такое произведение будет коммутативным:

^Г

1 т

А/2/ = У А(< - т)Ау /х(г - п)А /(п) =

оо

<г

У - т)А ^ ц{т - Гх)с//(гх) = (хХ/. (5.15)

Единица, деленная на данный оператор, обозначает оператор,

и снимать показания динамометра об изменении нагрузки <3(2), то ядро др(1) для 0 ^ ^ | будет найдено по формуле

*/>(*) = 1 - Я Н ) ,

/? = 22/ ( ^ / 1 + 222) , ^ = *(62 - о2), 6 - о = 5. (5.22)

Для определения ядер др(1) при других значениях /? можно зак­ репить снизу образец «2», а нагрузку ф(2), которая скручивает образец «1», приложить сверху к образцу «2», заставляя послед­ ний работать на сжатие. В этом случае

Упражнение 5.2. Показать, что справедливы следующие фор­ мулы:

Упражнение 5.2. Используя формулу (5.20), показать, что для экспоненциального ядра

Упражнение 5.4. Пользуясь результатом предыдущего упраж­ нения, показать, что ядро тг(2) (5.19) также является экспоненци­