книги / Электрические аппараты

Ча с т ь п е р в а я

ОС Н О ВЫ ТЕОРИИ ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ АППА РАТОВ

Глава п ервая

ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ УСИЛИЯ

ВЭЛЕКТРИЧЕСКИХ АППАРАТАХ

1.1ОБЩИЕ СВЕДЕНИЯ

При КЗ в сети через токоведущую часть аппарата мо­ гут проходить токи, в десятки раз превышающие номи­ нальный. При взаимодействии этих токов с магнитным по­ лем других токоведущих частей аппарата создаются элек­ тродинамические усилия (ЭДУ). Эти усилия стремятся деформировать как проводники токоведущих частей, так и изоляторы, на которых они крепятся. При номинальных токах эти усилия малы и ими можно пренебречь.

Электродинамической стойкостью аппарата называет­ ся его способность противостоять ЭДУ, возникающим при прохождении токов КЗ. Эта величина может выражаться либо непосредственно амплитудным значением тока 1ДИц при котором механические напряжения в деталях аппара­ та не выходят за пределы допустимых значений, либо кратностью этого тока относительно амплитуды номиналь­ ного тока

&дин — гдпн/(1^2/ном)*

Иногда электродинамическая стойкость оценивается действующим значением тока за один период (7’= 0,02 с, f — 50 Гц) после начала КЗ.

1.2. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ УСИЛИИ

взаимодействия проводника с током и магнитного поля по правилу Ампера.

На элементарный проводник длиной di, м, с током i, А, находящийся в магнитном поле с индукцией В, Тл, создан­

где р — угол между векторам» элемента d\ и индукции В, измеряемый по кратчайшему расстоянию между ними.

За направление d\ принимается направление тока в эле­ менте. Направление индукции В, создаваемой другим про­ водником, определяется по правилу буравчика, а направ­ ление усилия— по правилу левой руки.

Для определения полного электродинамического уси­ лия, действующего на проводник длиной /, необходимо просуммировать усилия, действующие на все его элементы:

/

Р = J Bidl. (1.2) U

Описанный метод рекомендуется применять тогда, ког­ да индукцию в любой точке проводника можно найти ана­ литически, используя закон Био — Савара — Лапласа.

Второй метод основан на использовании энергетическо­ го баланса системы проводников с током [1.1]. Если пре­ небречь электростатической энергией системы и принять, что при деформации токоведущих контуров или их пере-

»«ещении под действием ЭДУ токи в них неизменны, то уси­ лие можно найти по уравнению

мещение в направлении действия усилия.

Таким образом, усилие определяется частной производ­ ной от электромагнитной энергии данной системы по ко­ ординате, в направлении которой оно действует. Эта фор­ мула получила название энергетической.

Электромагнитная энергия системы обусловлена как энергией магнитного поля каждого изолированного конту­ ра, так и энергией, определяемой магнитной связью меж­ ду контурами, и для двух взаимосвязанных контуров

обусловленную их магнитной связью.

Уравнение (1.4) позволяет рассчитать как усилия, дей­ ствующие в изолированном контуре, так и усилие взаимо­ действия одного контура с другими.

При расчете усилия взаимодействия контуров считаем, что энергия изменяется только в результате изменения взаимного расположения контуров. Энергия, обусловлен­ ная их собственной индуктивностью, считается неизменной. При расчете можно считать, что токи в контурах не зави­ сят от их деформаций или их перемещения под действием усилий. В данном случае усилие взаимодействия между двумя контурами

P = dWIdx = ix i.2 дМ 'дх.

Энергетический метод удобен, когда известна аналити­ ческая зависимость индуктивности или взаимной индуктив­ ности от геометрических размеров.

Линия индукции В2, создаваемой током i2, является окруж­ ностью с радиусом г, лежащей в плоскости, перпендику-

лярной /2. Направление усилия dPi определяется по пра­ вилу левой руки и показано на рис. 1.1, б.

Для плоской задачи, когда все проводники лежат в од­ ной плоскости, результирующая суммарная индукция, дей­ ствующая на проводник, всегда перпендикулярна этой плоскости. В этой же плоскости действует и усилие.

При определении направления усилия учитывается ин­ дукция, создаваемая всеми остальными проводниками, за исключением того проводника, для которого оно находит­ ся. Рассмотрим направление усилия, действующего между параллельными проводниками (рис. 1.2, а). Проводник I

с током /1 создает в месте расположения проводника 2 ин­ дукцию В]. По правилу левой руки (рис. 1.2,6) определя­ ем направление усилия Pi2. При этом не следует рассмат­ ривать взаимодействие тока / 2 с полем, создаваемым про­ водником 2.

Если ЭДУ определяется методом энергетического ба­ ланса, направление усилия находят из следующих сообра­ жений. Согласно (1.3) положительному направлению уси­ лия соответствует возрастание энергии системы dWldx~>0. Таким образом, усилие, действующее на токоведущие час­ ти, направлено так, чтобы электромагнитная энергия си­ стемы возрастала.

Электромагнитная энергия кольцевого контура (см. рис. 1.8)

W = (1/2) Li2 = (1/2) т = (1/2) wOi,

тДе Ч7 — потокосцепление; Ф — магнитный поток; w — чис­ ло витков в контуре.

В этом случае ЭДУ действует по радиусу, растягивая контур, так как при этом индуктивность, потокосцепление и магнитный поток в рассматриваемой системе возрастают.

При двух витках (см. рис. 1.9) или катушках с разными направлениями токов усилие Р направлено так, чтобы от­ бросить витки друг от друга, так как потокосцепление увеличивается с ростом расстояния у. Минимальное пото­ косцепление соответствует у = 0. Если токи текут в одина­ ковом направлении, то витки притягиваются.

1.3. УСИЛИЯ МЕЖДУ ПАРАЛЛЕЛЬНЫМИ ПРОВОДНИКАМИ

где ро— магнитная постоянная, равная 4я-10“7 Гн/м; а — угол между током ii и лучом г, про­ веденным от dy к dx.

Полная индукция от проводника 1\ в месте расположе­

После подстановки у, г и dy в (1.7) получим

Для определения полного усилия, действующего на про­ водник/2, подставим (1.8) в (1.1).

Переменной интегрирования теперь является х — ко­ ордината на проводнике 12. Углы си и а2 для каждой точки выражаются через переменную х следующим образом:

коэффициентом контура k, зависит только от размеров про­ водников и их расположения. Тогда

Если расстояние между проводниками значительно меньше их длины, т. е. a//<C 1, то k можно принять равным 2l/а (случай бесконечно длинных шин). При a jl^ .0,1 и k = = 2 Ija расчет по (1.11) дает погрешность, не превышаю­ щую 5 %. Для двух произвольно расположенных парал­ лельных проводников разной длины (рис. 1.3,6) получена

где ZD — сумма диагоналей трапеции, построенной по

S)

Рис. 1.4. Определение равнодействующей ЭДУ

размерам взаимодействующих проводников; SS — суммар­ ная длина боковых сторон этой трапеции; а — расстояние между проводниками. Необходимо указать, что при взаи­ модействии как угодно параллельно расположенных про­ водников разной длины силы, действующие на них, одина­ ковы. Точки приложения равнодействующих сил не нахо­ дятся в их середине и определяются графоаналитическим путем. Рассмотрим определение точки приложения равно­ действующей для отрезка /. Отрезок / разбивается на участки (рис. 1.4, а), длина которых тем меньше, чем боль­ ше ожидаемое значение индукции на участке. После этого находятся ЭДУ Pi—2, Р2-3, Рз-4, действующие между участ­

ную Pi-г- На полученных отрезках строится прямоуголь­ ник (рис. 1.4,6). Конец вектора Pt_2 соединяется с нижней правой вершиной, а конец вектора Р2-3 с нижней левой вер­ шиной прямоугольника. Прямая, проведенная параллельно вектору Pi-г через точку пересечения А\ является резуль­ тирующим вектором Р]_3 с точкой приложения А. Анало­ гично находится равнодействующая векторов Pi_3 и Р3-4С точкой приложения Б.

- При нахождении ЭДУ было принято, что сечение про­ водников бесконечно мало и весь ток идет по их геометpfigÇCKofi оси. В действительности сечение проводников всеща конечно. Круглая и кольцевая формы сечения про­ водников не влияют на ЭДУ, так как магнитные силовые

Рис. 1.5. Кривые Двайта, учитывающие влияние размеров поперечного сечения проводника

поверхностный эффект в проводниках круглого сечения не сказывается на ЭДУ, а эффект близости, смещающий токи в проводниках, вызывает увеличение ЭДУ при встречных и уменьшение при согласных токах.

При прямоугольной форме сечения его размеры влия­ ют на ЭДУ, так как магнитные силовые линии около про­ водников являются не окружностями, а овалами. Это влия­ ние учитывается с помощью кривых Двайта (рис. 1.5), по которым находится коэффициент формы k$, после чего значение ЭДУ находится как

1.4. УСИЛИЯ И МОМЕНТЫ ДЕЙСТВУЮЩИЕ НА ВЗАИМНО ПЕРПЕНДИКУЛЯРНЫЕ ПРОВОДНИКИ

В электрических аппаратах очень часто токоведушпе части располагаются под прямым углом (рис. 1.6,а!. Ради упрощения задачи примем, что ток течет по геомс-

Рис. 1.6. ЭДУ между взаимно перпендикулярными проводни­ ками

Полное усилие Р, действующее на перемычку на дли­ не от г до а,

Если длина вертикального проводника конечна, то ре­ альные значения индукции и усилия меньше, чем рассчи­ танные по (1.14), (1.15). Д ля учета конечной длины вер­ тикальных проводников необходимо в формулу Ампера подставлять индукцию, определенную по формуле Био — Савара — Лапласа (1.6).

Распределение усилия вдоль перемычки представлено на рис. 1.6,6. По мере удаления от оси вертикального про­ водника индукция и ЭДУ уменьшаются.

В ряде аппаратов токоведущая цепь может иметь вид петли (рис. 1.6, в). На перемычку (траверсу) в этом слу­ чае действует усилие как от правого, так и от левого вер­ тикального проводников, т. е. усилие, полученное по (1.15), удваивается. Если петля выполнена из проводников круглого сечения радиусом г, то усилие можно найти энер­ гетическим методом.

Индуктивность П-образной петли

(1.16)

Продифференцировав (1.16) по I и подставив получен­ ное выражение в (1.5), получим

(1.17)

Коэффициент 0,25 учитывает усилие, возникающее в месте перехода тока из одного проводника в другой.

Если длина I соизмерима с расстоянием а, то ЭДУ рас­ считывается по формуле, учитывающей влияние конечной длины вертикального проводника:

Можно показать [1.2}, что в общем случае, когда дли­ ны горизонтального и вертикального проводников разные или они расположены несимметрично относительно угла, усилия, действующие на них, неодинаковы (а не равны, как это имеет место при параллельных взаимодействующих проводниках).

Довольно часто необходимо определять момент ЭДУ относительно точки вращения или крепления контакта. Рассчитаем изгибающий момент, создаваемый ЭДУ в точ­ ке 0, считая ее точкой крепления (рис. 1.6,а). Примем, что вертикальные проводники бесконечны и ток сосредо­ точен по их геометрическим осям.

Элементарный момент dM, Н м , на расстоянии л: от левого проводника

dM = dMj_ + dM2