книги / Электрические аппараты
..pdf^де dMx— элементарный момент от левого проводника,
dMi — |
— (х ----—) dx = |
10~7 — (х ---- —)dx, |
||
1 |
4л х \ |
2 / |
х \ |
2 ) |
adM% — элементарный момент от правого проводника,
<Ш. = |
10-7 |
Iх — — ) dx. |
|
2 |
а - х |
[ |
2 } |
Суммарный момент |
|
|
|
а—г |
|
|
|
М = j dML+ J |
d M ,= j |
10-7 |
r - f i 4 + |
a/2 |
o/2 |
|
|
|
|
||
a/2
После интегрирования получим
М = Ю -Ч2— An(I -—a
2 I 4r a
Кроме ЭДУ от левого и правого проводников создает ся изгибающий момент за счет усилия, возникающего в мес те перехода тока. Полный момент относительно точки О
AL = 10-7 P — |
(ln — |
+ — |
+ 0,25V |
(1.19) |
2 |
V 4а |
а |
I |
|
Впрактике токоведущие контуры могут быть довольно сложными
всостоять из большого числа проводников. Расчет результирующего ЭДУ, действующего на отдельные звенья таких контуров, по аналити ческим формулам сложен, а иногда невозможен. Для этих случаев рекомендуется приближенный метод, пригодный даже при расположе нии проводников в разных плоскостях [1.2]. Проводник, для которого определяются ЭДУ, разбивается на несколько равных участков. С по мощью (1.8) определяется результирующая индукция на каждом участ ке от всех остальных токоведущих частей. Когда все проводники лежат
водной плоскости, векторы индукции, создаваемой ими в данной точ ке, лежат на одной прямой, перпендикулярной этой плоскости. Резуль
тирующая индукция находится путем алгебраического сложения отдельных составляющих.
Усилие, действующее на участок длиной Al, |
|
|
Руд = ДуЧ СР |
» |
(1*20) |
где Вуч Ср — индукция в середине участка ДI от всех остальных частей Контура; значение тока в участке Al.
Рис. 1.7. Графоаналитическое опре деление ЭДУ
Аналогичный расчет проводится для всех участков проводника. Ис пользуем этот метод для расчета усилий, действующих в токоведушем контуре масляного выключателя рис. 1.7. Этот контур разобьем на уча стки 1—2—3—4—5. Допустим, необходимо найти усилие, действующее на траверсу (перемычку) 3. На траверсе 3 выделим участок Д/ и найдем индукции В1 В2 Bi. Въ создаваемые участками 1 2, 4, 5 контура:
^уч.ср = — + &г + В4 + Вь,
где В\, В2 В5— модули индукций, создаваемых проводниками 1—5 Индукцию от всех проводников можно найти, воспользовавшись
(1.8):
В1 = 10~1 —— jcosPj + cos (л — fQ]; Дг = 10~7 —~ cosа”.
Подобный расчет проводится для всех участков проводника 3, пос ле чего строится эпюра распределения усилия вдоль траверсы. Резуль тирующее усилие равно сумме усилий, действующих на участки. Точи; приложения равнодействующей находим по методике § 1.3 или по [1.4].
Описанный метод расчета дает приближенное распределение ЭДУ вдоль проводника. Изгибающий момент, создаваемый ЭДУ относительно любой точки, может быть определен по известным правилам механики.
1.5. УСИЛИЯ В ВИТКЕ. КАТУШКЕ И МЕЖДУ КАТУШКАМИ
а) ЭДУ в витке. Индуктивность, Гн, кругового витка (рис. 1.8) при r/R ^ .0,25 определяется с точностью до 1 ;Ь по формуле
L = m ,/î(]n -5 £ — 1,75). |
(1.2D |
Поскольку известна аналитическая зависимость индук тивности от размеров витка, при определении ЭДУ целе сообразно воспользоваться энергетическим методом. Уси лие, действующее в витке, направлено по радиусу, посколь ку с ростом радиуса возрастает индуктивность, а следова тельно, электромагнитная энергия проводника (1.5). Это усилие, Н,
Р R |
ÉL |
' |
(1.22) |
dR |
Из (1.21) и (1.22) получим
Рд = - Ç - г2 Jin — — 0,75'
Усилие P R приложено к окружности длиной 2nR. При расчете электродинамической стойкости необходимо знать усилие Pq, действующее в сечении витка и стремящееся Сто разорвать. Для определения P q рассмотрим уравнение равновесия полувитка.
Очевидно, что
Я/2 |
|
|
p q = Jf Рд |
sin Ф |
(1.23) |
О |
|
|
Йё Pr — усилие, действующее на единицу длины, равное ■J(2nR).
После интегрирования получим
Pq = 10-Ч2 Jin |
— 0,75V |
(1.24) |
Если виток состоит из w витков, обтекаемых одним то ком, то индуктивность увеличивается в w2 раз и разрыва ющее усилие
Рд = 10-7 (ш)2 ( i n - M - 0,75),
где г — радиус сечения окружности, охватывающей w вит ков.
Если круговой виток находится в магнитном поле, соз даваемом другими проводниками, то кроме рассчитанного возникает дополнительное усилие в результате взаимодей ствия тока витка с этим внешним полем.
б) ЭДУ в катушке. ЭДУ в катушке направлены так, чтобы ее потокосцепление возрастало. Они стремятся сжать катушку по высоте и толщине и увеличить ее сред ний диаметр. Для нахождения усилий, действующих в раз личных точках цилиндрической катушки, определяют ин дукцию в этих точках и проводят расчет по (1.2).
в) ЭДУ между витками и между катушками. Рассмот рим усилие взаимодействия двух круговых витков (рис. 1.9). Если расстояние между витками соизмеримо с диа метрами и последние мало отличаются друг от друга, то их взаимная индуктивность, Гн, может быть выражена как
М = ц0^ ( \ п |
- 2 ) , |
(1.25) |
К V ф + â- |
) |
|
где c = R 2—R\.
Рассмотрим усилие, действующее на виток с током i2.
Вертикальная составляющая усилия согласно (1.3) |
|
||||
dW |
-- Zi 19 |
dV |
— I'"l *i Zj |
R, y |
(1.26) |
du |
dU |
tf+c* |
|||
Горизонтальная составляющая усилия |
|
|
|||
P, __ dW |
_ . . |
dM |
Pu h 4 |
R, c |
(1 27) |
dx |
1 2 |
dx |
«Z2 + c2 |
|
|
Рассмотрим зависимость вертикальной составляющей усилия, действующего между витками при токе в них, рав ном 1 А, от параметров $ = R 2!Ri и a = y JR l (рис. 1.10). М ак симального значения усилие достигает при (5=1, когда ра диусы виткор одинаковы. По мере уменьшения расстояния у вертикальная составляющая увеличивается.
Для расчета усилий, действующих между цилиндриче скими катушками, удобно пользоваться формулой
dM и1 I12' dx
Взаимная индуктивность |
М между |
двумя катушками |
|
с токами ii и t2 и числами витков wx и да2 |
|
||
|
М - |
= ии2ФИъ |
|
где Ф — поток, пронизывающий вторую |
катушку; ix— ток |
||
в первой катушке. |
|
|
|
По определению |
(§ 5.1) |
|
|
|
Ф = Fi Л, |
Fi = h Щ, |
|
где А — магнитная |
проводимость, определяющая поток Ф; |
||
P\ = iiW i— МДС первой катушки. Тогда |
|
||
М = w2 F! А/г'х = Wi w2A.
Усилие взаимодействия между двумя катушками
P = |
h i , J ï L |
= |
F l F . - ^ - ^ F . F . ^ . |
(1.28) |
||
|
|
ах |
|
ах |
|
|
Коэффициент |
ф, |
Гн/м, |
зависит от |
размеров |
катушек |
|
и их расположения |
и |
определяется |
с помощью |
кривых |
||
Двайта (рис. 1.11). Подробные сведения по расчету усилий между катушками приведены в [1.2].
1.6. УСИЛИЯ В МЕСТЕ ИЗМЕНЕНИЯ СЕЧЕНИЯ ПРОВОДНИКА
Рассмотрим линии тока при переходе из проводника малого сечения в проводник большого сечения и их симметричном расположении (рис. 1.12). При изменении сечения проводника линии тока искривляются.
Ток Î, взаимодействуя с индукиией В создает усилие Р, имеющее продольную и поперечную Pt составляющие. Про дольная составляющая стремится разо рвать место перехода вдоль оси провод ника и направлена в сторону большего
сечения [1.4]
Рг = |
F In — = 10-7 ft In |
. |
4л |
r, |
rK |
|
|
(1.291 |
ЭДУ, возникающее при изменении сечения, зависит только от соотноше ния конечного и начального радиусов ч не зависит от формы перехода при осе
симметричном проводнике. Подробный расчет этих усилий см. в [1.4].
Вэлектрических аппаратах при переходе тока из одного контакта
вдругой происходит искривление линий тока, аналогичное рассмотрен ному. На рис. 3.2 показано соприкосновение контактов по круговой пло
щадке касания яг2= ла2. Если принять, что эта площадка находится
в центре цилиндрических контактов, то усилие, действующее на каж дый контакт (усилие отброса),
Р = -т1- F In — |
= 10-7 F In — , |
(1.30) |
|
4л |
rK |
rK |
|
где г — радиус контакта; гк — радиус площадки касания.
При номинальных токах усилие Р невелико, а при токах КЗ может достигать многих десятков килоньютон.
Для того чтобы при протекании токов КЗ один контакт не отбрз-
сывался от другого, контактное нажатие Рк должно быть больше усилия отброса Р, что достигается применением соответствующих контактных пружин.
1.7. УСИЛИЯ ПРИ НАЛИЧИИ ФЕРРОМАГНИТНЫХ ЧАСТЕЙ
При приближении проводника с током к ферромагнитной стенке с бесконечно большой магнитной проницаемостью магнитная проводи мость, а следовательно, и магнитный поток увеличиваются. Электромаг нитная энергия системы возрастает:
1 |
1 |
1 |
|
W = — Р¥ = — шФ; |
W = ——- 1'Фпри ш —1. |
||
2 |
2 |
2 |
F |
На проводник действует усилие, притягивающее его к стенке, |
|||
|
2 |
ах |
(1.31) |
|
|
||
Для расчета усилия используют метод зеркальных отображений. Магнитное поле не изменится, если ферромагнитную стенку отбро
сить, а вместо нее симметрично расположить второй проводник с та ким же током (рис. 1.13). Тогда силу взаимодействия проводника и стен ки можно рассматривать как силу взаимодействия между двумя провод
никами с током I, находящимися на расстоянии 2а |
[см. (1.10)]. |
В дугогасительных камерах аппаратов низкого напряжения широко |
|
применяется решетка из набора ферромагнитных |
пластин с пазом |
(§4.11). Между пластинами (рис. 1.14) имеются воздушные зазоры.
Электрическая дуга, |
являясь проводником с |
током, |
взаимодействует |
С ферромагнитными |
пластинами, и создается |
усилие, |
которое переме |
жает дугу вверх, пока она не пересечет пластины. В этот момент созда ются условия для ее гашения.
Рис. 1.13. ЭДУ между проводин- |
Рис. |
1.14. ЭДУ, |
действующие на |
иом и ферромагнитной стенкой |
дугу |
в решетке |
дугогасительной |
|
камеры |
|
|
Рассмотрим расчет усилия, действующего на дугу. Пренебрегая маг нитным сопротивлением стали пластин решетки и потоками рассеяния с их торцов, получаем усилие, действующее на проводник (дугу) соглас
но (1.31):
_1_ dO 2 dx
Согласно (5.1) элементарный поток d<D связанный с проводником, находящимся на расстоянии х от нижнего торца решетки,
|
|
|
|
|
Idx |
|
(1.32) |
|
|
|
|
= idА = i(i„—— , |
|
||||
|
|
|
|
|
O* |
|
|
|
где dA— магнитная проводимость промежутка |
длиной ôx и сечением |
|||||||
Idx; I — активная длина стали решетки. |
|
|
|
|||||
Воспользовавшись (1.31) и (1.32), получим |
|
|
||||||
Рх |
1 |
. do |
1 |
. 1 |
1 |
. |
/Л |
|
2 |
1 dx |
~ 2 |
Ô* |
~ 2 ^ |
'2 0„ (й — х) |
|||
|
||||||||
|
|
|
= 2л-10- |
|
/й |
|
|
|
|
|
|
60 (й — лг) |
’ |
|
|||
|
|
|
|
|
||||
fe _ у
где ô*= ôo--------- зазор, соответствующий координате х. h
По мере роста х усилие возрастает и при л=й стремится к беско нечности. По мере уменьшения ôx будет возрастать падение магнитного потенциала в стали. Полученным уравнением можно пользоваться, если падение магнитного потенциала в стали не превышает 10 % общей МДС.
Усилие, действующее на дугу, зависит от ее формы, которая после расхождения контактов имеет вид части окружности. Это приводит к то му, что сначала в решетку входит средняя часть дуги, а потом крайние ее части. Поэтому приведенный расчет носит ориентировочный харак тер.
1.8. ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ УСИЛИЯ ПРИ ПЕРЕМЕННОМ ТОКЕ. ДИНАМИЧЕСКАЯ СТОЙКОСТЬ АППАРАТОВ
При расчете контакторов, автоматов защиты и ряда других электрических аппаратов необходимо учитывать большие ЭДУ, действующие в их токоведущих частях ирг режиме КЗ.
а) Однофазная цепь. Пусть ток в проводнике и токове дущих частях не имеет апериодической составляющей и из меняется по закону
1= Im sin (о.'.
где 1т — амплитудное значение тока; <а — угловая частот?.
48
При одинаковом направлении тока проводники притя гиваются с усилием
Р = 10-7 kPm sin2 соt = |
(1 — cos2 шО, |
(1.33) |
где Р т — максимальное значение усилия, равное 10~7 kl2m. Таким образом, усилие имеет постоянную составляю щую Р т!2 и переменную составляющую двойной частоты
(Pm/2)cos 2со/. Среднее значение усилия за период
|
|
Т |
|
,2 |
|
Р _ = |
-L |
Г Pdt = |
i-2- = |
10-7 *-2L = |
Ю -7 6/2 = cl2; |
cv |
T |
J |
2 |
2 |
|
|
|
о |
с — 10~7 k, |
(1.34) |
|
|
|
|
|||
где / — действующее значение тока. |
ЭДУ пропорцио |
||||
Таким |
образом, |
среднее |
значение |
||
нально квадрату действующего значения тока. Изменение усилия во времени при переменном токе в однофазной це пи (рис. 1.15) происходит без изменения своего знака.
Рис. 1.15. Зависимость P(t) при синусоидальном токе (с=10~7 к)
Рис. 1.16. Образование апериоди ческой составляющей тока вклю чения {ts>L^>R\ (р«л/2):
й—апериодическая составляющая то ка отсутствует (i|)=0), при /=0 а—£т ,
igp-О; б—апериодическая составляю щая тока появляется Начальное ее
значение ia,Ha4= - ‘0i1p= -/mnpsin^ в—апериодическая составляющая мак симальна. Начальное значение аперио дической составляющей нач"35
■*— Угол включения ^=90°
Иногда включение аппарата происходит при наличии КЗ в цепи нагрузки. Обычно в сетях высокого напряжения активное сопротивление R цепи и ее индуктивность L свя заны соотношением a L ^ R . Если включение происходит в момент времени, когда принужденная составляющая тока
!пр = 0, то свободной составляющей в цепи |
не возникает |
и апериодическая составляющая отсутствует |
(рис. 1.16, а). |
На этом рисунке е — ЭДС источника; ф — угол сдвига фаз между ЭДС и током. Если включение происходит в любой другой момент времени, то возникает свободная апериоди
ческая составляющая, которая в момент |
/= 0 |
равна и об |
ратна по знаку принужденной составляющей |
(рис. 1.16,6). |
|
Причина возникновения апериодической |
составляющей — |
|
наличие в цепи индуктивности L. Поскольку энергия в ин дуктивности Ы212 не может меняться скачком, ток в цепи всегда нарастает с нулевого значения. Если при / = 0 ток iоарФО, то возникает свободный ток /св= —/ощ>- Свободная составляющая спадает во времени по закону [1.1]
|
|
*св ~ |
|
—ит |
а) |
|
|
|
|
^cв0 ® |
|
|
|||
где Ta= L /R —постоянная |
времени |
апериодической состав |
|||||
ляющей тока цепи. |
|
|
|
|
|
||
Наибольшая |
апериодическая составляющая |
появляется |
|||||
при условии |
/ = 0; i'onp=±/mnp |
(рис. 1.16,в). Если при /= 0 |
|||||
г'опр = —/тпр, |
то |
результирующий ток в |
цепи изменяется по |
||||
закону |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
i = Лппр ( |
|
— cos со/). |
(1.35) |
||
Через время |
t = n /a ток в |
цепи |
достигает наибольшего |
||||
значения, которое называется ударным, |
|
||||||
Ад = Annр (1 + |
е (R/L>Il/“) = куя /тиР; |
kyn = 1 + |
е я/<аГа). |
||||
|
|
|
|
|
|
|
(1.36) |
Ударный |
коэффициент kyA |
зависит от постоянной вре |
|||||
мени Та. Чем больше индуктивность L и меньше активное |
|||||||
сопротивление R, тем больше kya. Параметры |
тока КЗ — |
||||||
его величина, угол сдвига фаз между током и напряжением, постоянная времени L/R, зависят от свойств контура КЗ, включающего в себя энергетическую установку (генерато ры, трансформаторы), линии передачи, кабели и т. п. .При прочих равных условиях с ростом мощности энергетической установки уменьшается сопротивление R и увеличивается къд. В высоковольтных установках постоянная времени Та принимается равной 0,05 с. При этом &уд=1,8. С ростом