Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

при выполнении гипотезы Яо : af = а2 = ... = а^ величина w имеет распределение, близкое к х^-распределению с к = т - 1 степенями свободы. Для подтверждения (или опровержения) ги­ потезы при заданном уровне значимости а находится правосто­ ронняя критическая точка wj^ ^, определяющая критический ин­ тервал (wj^^ ^, + оо). Если Wp попадает в интервал (w'^p ^^, + оо), то гипотеза i?o : af = а2 = ... = а^ отвергается, в противном случае - принимается.

Если гипотеза Яо : af == а2 = ... = а^ подтверждается, то можно приступить непосредственно к процедуре дисперсионного анали­ за, т. е. к проверке гипотезы Щ\а^ = а2- ...- а^. Сама процедура дисперсионного анализа базируется на том, что изменчивость или вариация наблюдаемых значений результативного признака Смо­ жет быть вызвана изменчивостью уровней фактора А и изменчи­ востью значений случайных неконтролируемых факторов, влияю­ щих на Y, которые называют остаточными.

В математической статистике доказывается формула разложе­ ния общей выборочной дисперсии на сумму дисперсии группо­ вых средних и средней из групповых дисперсий

оу(/)= дф — дисперсия групповых средних — показатель вариации наблюдаемых «игреков», вызванной влиянием на У фактора У4;

д/ = до ' — средняя групповых дисперсий — показатель вариации наблюдаемых «игреков», вызванной влиянием на У остаточных факторов.

На основе данного разложения для генеральной дисперсии а^ находят три несмещенные оценки: ^о^ ^ф и Sy, Причем SQ является несмещенной оценкой в любом случае, а 5ф и Sy — только при выполнении гипотезы Яо : Й(| = ^^2 = ... = ^т, т. е. толь-

230

ко в том случае, когда фактор А не влияет на результативный признак К.

Проверка гипотезы HQ О равенстве групповых математических ожиданий основывается на сравнении оценок 5ф и SQ. В матема­ тической статистике доказывается, что если гипотеза HQ : ^i = = ^2 = ... = Л;„ верна, то величина

' - ^

имеет ^-распределение с числом степеней свободы к—т—1 и

1=п—т, X е.

При использовании /'-критерия строится правосторонняя критическая область {F^ ^, +оо). Это объясняется тем, что в дис­ персионном анализе, как правило, числитель больше знаменателя (5ф> 5Q). ЕСЛИ ЭТО не так, то считают, что наблюдения не подтверж­ дают влияние фактора на признак.

Если расчетное значение /'-критерия F^ попадает в интервал (^гф. ш "^^)j то гипотеза HQ О равенстве групповых математичес­ ких ожиданий отвергается, т. е. считаем, что фактор А влияет на результативный признак У. Если же F^ < F^ ц, то гипотеза Щ не отвергается, и в этом случае говорят, что влияние фактора А на признак Кне подтвердилось выборочными наблюдениями.

Если в процессе анализа выявлено влияние фактора А на ре­ зультативный признак У, то можно измерить степень данного вли­ яния с помощью выборочного коэффициента детерминации

который показывает, какая доля выборочной дисперсии а у^ объ­ ясняется зависимостью результативного признака У от влияюще­ го фактора А.

231

Итак, однофакторный дисперсионный анализ позволяет по выборочным данным выяснить, влияет ли контролируемый фак­ тор на результативный признак, и при наличии такого влияния оценить его степень.

11.2.

Справочная информация по технологии работы

Режим работы «Однофакторный дисперсионный анализ» слу­ жит для выяснения факта влияния контролируемого фактора Л на результативный признак Уна основе выборочных данных.

В диалоговом окне данного режима (рис. 11.1) задаются следу­ ющие параметры (см, подразд. 1.1.2):

1.Входной интервал.

2.Группирование.

3.Метки в первой строке/Метки в первом столбце.

4.Альфа — вводится уровень значимости а, равный вероятно­ сти возникновения ошибки первого рода (отвержение нулевой гипотезы).

5.Выходной интервал/Новый рабочий лист/Новаярабочая книга.

%%t

Пример 11.1. Выборочные данные об объеме работ, выполнен­ ных на стройке (за смену) четырьмя бригадами, приведены в табл. 11.1, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel [5].

При уровне значимости а = 0,05 требуется выяснить, зависит ли объем выполненных работ от работающей бригады.

Для решения задачи используем режим работы «Однофакторный дисперсионный анализ». Значения параметров, установлен­ ных в одноименном диалоговом окне, показаны на рис, 11.2.

Mf|ap«ieTi»>r 8ьшода -——

233

Но прежде чем проводить анализ данных в сгенерированных таб­ лицах, покажем, как с помощью критерия Бартлетга проверить гапотезу о равенстве генеральных дисперсий Щ'.а^-о^-а^- а|.

Показатели, рассчитанные в ходе проверки данной гипотезы, представлены в табл. 11.2.

Содержимое ячеек в табл. 11.2:

•в массиве C10:F10 определяются объемы выборок п^ (напри­ мер, ячейка СЮ содержит формулу =СЧЕТ(С5:С8));

•в массиве C11:F11 вычисляются несмещенные оценки ^^ групповых дисперсий а] (например, ячейка С\\ содержит форму­ лу =ДИСП(С5:С8));

•ячейка С12 содержит формулу {==СУММПРОИЗВ(С10:Р10-1; С11:Р11)/СУММ(С10:Р10-1)} - рассчитывается объединенная оценка s^\

•ячейка С13 содержит формулу {-1/(1+1/(3*(4-1))*(СУММ (1/(С10:Р10-1))--1/СУММ(С10:Р10--1)))} ^ вычисляется значе­ ние коэффициента q;

•ячейка СИ содержит формулу {-С13*СУММПРОИЗВ(С10: :F10-1;LN(C12/C11:F11))} - рассчитывается значение критерия Бартлетга w^;

•ячейка С16 содержит формулу =ХИ2ОБР(0,05;3) - опреде­ ляется значение правосторонней критической точки wj^ д.

134

Так как w^ = 1,540 не попадает в критическую область (7,81; + оо), то гипотеза Д,: а? = а^ =... = а^ принимается и можно приступить к проверке гипотезы Н^\а^-а2- ... = а^. Показатели, рассчитан­ ные в ходе проверки данной гипотезы, представлены в табл. 11.3 и 11.4.

Таблица 11.3

Табл. 11.4 называется таблицей однофакторного дисперсионного

анализа. Как видим, расчетное значение /'-критерия Г^ = 22,44^ а

235

критическая область образуется правосторонним интервалом (3,49; +оо). Так как F^ попадает в критическую область, то гипоте­ зу Яо о равенстве групповых математических ожиданий отверга­ ем, те, считаем, что объем ежедневной выборки зависит от рабо­ тающей бригады.

Выборочный коэффициент детерминации

,2 _ 4 ^220,19/16

р2=^=—-;у-.0,85

а\ 259,44/16

показывает, что 85% общей выборочной вариации ежедневного объема выработки связано с работающей бригадой.

Рассмотрим более подробно механизм расчета основных по­ казателей, представленных в табл. 11.4.

В ячейке С31 (показатель SS между группами) рассчитывается взвешенная сумма квадратов отклонений групповых средних от общей выборочной средней:

Sl-I.{f'^~yfn,.

ы\

В ячейке С32 (показатель SS внутри групп) вычисляется оста­ точная сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений уровня от своей выборочной средней:

в ячейке СЗЗ (показатель SS итого) рассчитывается общая сумма квадратов отклонений наблюдаемых значений от общей выборочной средней:

23в

в ячейках D31:D33 (показатель df) определяются степени

свободы:

Л ф - / п - 1 - 4 - . 1 - 3 ; Л<5=л-/« = 16-4 = 12;

Jty = (т - 7) + (л - /W) = л --1 = 16 ^ 1 = 15.

В ячейках Е31:Е32 (показатель MS) вычисляются несмещен­ ные оценки ^ф и ^о-

Лф 3

В ячейке F31 (показатель F) вычисляется расчетное значение критерия /j,:

' si 3,27

В ячейке G31 (показатель Р-значение) определяется Р-значе- ние, соответствующее расчетному значение критерия F^, с помо­ щью формулы

=FPACn(F31;D31;D32).

В ячейке Н31 (показатель F критическое) рассчитывается значение правосторонней критической точки F^^ ^ с помощью формулы

=FPACnOBP(0,05;D31;D32),

237

ГЛАВА 12 Двухфакторный дисперсионный анализ

без повторений и с повторениями

12 .1.

Краткие сведения из теории статистики

Продолжая тему главы 11, в которой была рассмотрена проце­ дура однофакторного дисперсионного анализа, перейдем к задаче о действии на результативный признак К двух факторов — Аи В. Такие задачи характерны как для промышленных и технологичес­ ких экспериментов, так и для гуманитарных исследований. Ти­ пичный пример — выяснение зависимости качества пряжи от ти­ па станка и вида сырья, из которой она изготавливается (см. при­ мер 12.1).

Логика однофакторного и двухфакторного дисперсионного анализа во многом схожа и состоит в следующем.

Пусть а^ — математическое ожидание результативного призна­ ка Кпри уровне А^^^ (/=1,2,..., т^); bj - математическое ожидание результативного признака Кпри уровне 5^^ (/ = 1, 2,..,, т^). Если при изменении уровня фактора А фупповые математические ожидания не изменяются, т е. flj = ^2 "^ ••• ~ ^т^^ то считаем, что результативный признак не зависит от фактора А, в противном случае такая зависимость имеется. Аналогично, если при измене­ нии уровня фактора В сохраняется равенство bi = Ь2 = ... - Ь^ , то считаем, что 7 не зависит от фактора В. Но поскольку числовые значения математических ожиданий неизвестны, возникает зада­ ча проверки следующих гипотез:

^л-^1 = ^2 = ••• = % ;

Hg:bi = b2^.,.^b^^,

Проверять эти гипотезы, так же как и в задаче однофакторно­ го дисперсионного анализа, можно только при соблюдении сле­ дующих требований:

1) при различных сочетаниях уровней факторов А и В наблю­ дения независимы;

238

2) при каждом сочетании уровней факторов^ и Д результатив­ ный признак Y имеет нормальный закон распределения с посто­ янной для различных сочетаний генеральной дисперсией а^.

Основой проведения двухфакторного дисперсионного анали­ за служит комбинационная группировка по двум факторам с по­ следующим разложением дисперсии результативного признака ау^ по формуле

Уфактора/<;

а| — дисперсия групповых средних по фактору В — показатель ва риации наблюдаемых «игреков», вызванной влиянием на

Уфактора 5;

до — средняя групповых дисперсий — показатель вариации наблю­ даемых «игреков», вызванной влиянием на У остаточных факторов.

На основе данного разложения для генеральной дисперсии а^ находятся четьфе несмещенные оценки; SQ, j j , ^J и sy^ Причем оценка SQ является несмещенной оценкой в любом случае, оцен­ ка s^ - при выполнении гипотезы Н^: а^- а2 = ...- а^ , оценка SD - при выполнении гипотезы Н^: Ь^ ~ *2 "^ -* " ^шп» ^ оценка Sy — при выполнении гипотез Н^ и Я^.

Проверка гипотезы Щ основывается на сравнении дисперсий s^ и SQ, В математической статистике доказывается, что если гипо­ теза Яд верна, то величина

имеет /"-распределение с числом степеней свободы к = т^ — \ к /=(от^-1) (ms-1), г е.

239