Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

Например, формула =РРАСП(9,55;2;3) рассчитывает значе­ ние 0,05 (сравните с формулой =РРАСПОБР(0,05;2;3), вычисляю­ щей значение 9,55).

•если какой-либо аргумент не является числом, то функция РРАСПОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

•если аргумент вероятность < О или аргумент вероятность > 1, то функция РРАСПОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

свободы2 > 10^^, функция РРАСПОБР помещает в ячейку зна­ чение ошибки #ЧИСЛО!;

• функция РРАСПОБР использует метод итераций для вычис­ ления значения и производит вычисления, пока не получит ре­ зультат с точностью ± 3 • 10~ . Если результат не сходится после 100 итераций, то функция помещает в ячейку значение ошибки #Н/Д.

Математико-статистическая интерпретация:

См, описание функции РРАСП.

Функция обратного ^-распределения используется в ситуаци­ ях, когда известен уровень надежности (или уровень значимости) и необходимо рассчитать значение F-критерия.

170

Например, формула =РРАСПОБР(0,05;2;3) рассчитывает зна­ чение 9,55 (сравните с формулой =РРАСП(9,55;2;3), вычисляю­ щей значение 0,05).

Пример 6Л7, Требуется проверить адекватность уравнения ре­ грессии, построенного в примере 14.1.

Проверка адекватности уравнения регрессии по F-критерию заключается в проверке статистической значимости коэффици­ ента детерминации R^ на основе формулы

где/2 - число наблюдений; т - число факгоров в уравнении регрессии.

Примечание, Если в уравнении регрессии свободный член а^ = О, то числитель п-т—\ следует увеличить на 1, т е. он будет равен п- т.

Для задачи, рассмотренной в примере 14.1, л=6, т=2 и урав­ нение регрессии имеет вид у=0,66x1+0,21x2. Так как в данном уравнении отсутствует свободный член а^, то числитель п—т—Х следует увеличить на 1, т. е. он будет равен л~т==6-2=4.

Ячейка С15 (см. табл. 14.7) содержит значение F^ — 0,994, от­ сюда формула =С15*4/(1-С15)/2 рассчитает значение F^ == 357,21 (такое же значение содержит и ячейка F22 {см. табл. 14.8).

Исходя из числа степеней свободы к {к—т=0) и / {1-п-т— -1=6-2-1=3) и заданного уровня надежности 95 % (уровня зна­ чимости а = 0,05) находим табличное значение /'-критерия F^ ^, равное 9,55 (формула =РРАСПОБР(0,05;2;3)).

Так как F^ > 7^тр',а» то с уровнем надежности 95 % гипотеза Яо: Л^ = О о незначимости коэффициента детерминации отверга­ ется, следовательно, отвергается и гипотеза о несоответствии за­ ложенных в уравнение регрессии связей реально существующим. Таким образом, построенное уравнение регрессии по i^-критерию Фишера является адекватным.

171

6.4.

Статистические функции дискретных распределений

6-4.1.

Функции биномиального распределения

Функция БИНОМРАСП

См. также ВЕРОЯТНОСТЬ, ОТРБИНОМРАСП, КРИТБИ-

функции. Если аргумент интегральная = 1, то функция БИНОМ­ РАСП рассчитывает интефальную функцию распределения, т. е. вероятность того, что число успешных испытаний не больше зна­ чения аргумента число успехов. Если аргумент интегральная — О, то рассчитывается дифференциальная функция распределения, т. е. вероятность того, что число успешных испытаний в точности

роятность успеха не являются числами, то функция БИНОМ­ РАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

• если аргумент число успехов < О или аргумент число ус­ пехов больше аргумента число испытаний, то функция БИНОМ­ РАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

• если аргумент вероятность успеха < О или аргумент веро­ ятность успеха > 1, то функция БИНОМРАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!.

172

МатематикО'Статистическая интерпретация:

Во многих экономических и инженерных задачах рассматри­ ваются независимые многократно повторяемые испытания, на­ зываемые испытаниями Бернулли*. Каждое такое испытание при­ водит к одному из двух возможных исходов, называемых часто ус­ пехом и неудачей, и вероятность успеха р не меняется от одного опыта к другому. Наиболее знаком пример многократного под­ брасывания монеты. Если монета является геометрически пра­ вильной, то /? = 0,5. Часто бывает необходимо знать вероятность появления ровно х (или не менее х) успешных исходов при п неза­ висимых испытаниях.

Согласно закону умножения независимых событий вероят­ ность появления определенной последовательности JC успешных и п-х неудачных исходов в п испьгганиях равна p^il—pT"^, где р— вероятность успеха при одном испытании. Из комбинаторики известно, что при п испытаниях х успешных и п-х неудачных ис­ ходов могут появиться С^ различными одинаково возможными способами:

\ п\

х!(/1-х)!

Следовательно, согласно закону сложения взаимно исключа­ ющих событий вероятность появления ровно JC успешных исходов в п независимых испытаниях определяется распределением, полу­ чившим название биномиального (или распределения Бернулли):

/(х;р,п)'- и^р'^Ц-рГКх^^О.п,

щер - вероятность успеха при одном испытании.

*(Benioulli), семья швейцарских ученых, давшая видных математиков. Испытания Бернулли названы в честь Якоба Бернулли (1654-1705), вьщающегося ученого, ученика и сотрудникаЛейбница в разработке исчисления беско­ нечно малых и его приложений. Основоположник теории вероятностей, где он сформулировал и доказал теорему, носящую его имя (теорема Бернулли),

173

Свое название это распределение получило из-за связи с би­ номом Ньютона* {p-^qYy члены разложения которого представля­ ют соответствующие вероятности различных возможных сочета­ ний исходов всех отдельных событий.

Вероятность появления не более г успешных исходов в п неза­ висимых испытаниях задается интегральной функцией биноми­ ального распределения

х=0v-^y

а вероятность появления не менее г успешных исходов в п незави­ симых испытаниях — следующей интегральной функцией бино­ миального распределения:

P(x>r)^F{np,n)^Y. РЧ\-РГ

х-г

По формуле (6.1) производит вычисления функция БИНОМРАСП, если аргумент интегральная = 1. В случае если аргумент uHweepajJbHOH — О, функция БИНОМРАСП рассчитывает значение функции/('х;/7, л;.

Биномиальное распределение лежит в основе решения изве­ стной задачи, поставленной Пепусом перед Ньютоном. Суть за­ дачи состоит в том, что из трех человек один пытается выбросить по крайней мере одну «шестерку» при шести бросках игральной кости; второй — по крайней мере две «шестерки» при двенадцати бросках кости; третий — по крайней мере три «шестерки» при во­ семнадцати бросках. Каковы их относительные шансы на успех? На первый взгляд может показаться, что вероятности успеха со-

*Следует заметить, что название «бином Ньютона» является вдвойне не­ правильным, так как, во-первых, выражение (p+q)" в общем случае не является биномом («бином» означает «двучлен»); во-вторых, разложение (р + qf для положительных п было известно и до Ньютона. Ньютону же при­ надлежит смелая и необычайно плодотворная мысль распространить это раз­ ложение на случай п отрицательного и дробного,

174

ответственно равны 1/6, 2/12, 3/18 и что все они эквивалентны. На самом деле это не так, вероятности успеха будут различными (табл. 6.8).

Таблица 6.8

Содержимое ячеек в табл. 6.8:

•ячейка ЕЗ содержит формулу=1-БИНОМРАСП(0;СЗ; 1/6; 1);

•ячейка Е4 содержит формулу=1-БИНОМРАСП(1 ;С4; 1/6; 1);

•ячейка Е5 содержит формулу = ЬБИНОМРАСП(2;С5; 1/6; 1). Рассмотрим один из типичных примеров применения бино­

миального распределения для решения производственных задач. Пример 6.18, Промышленное предприятие производит круп­ ными партиями электрические лампочки. Отдел технического контроля из каждой партии случайным образом выбирает 100 лампочек. Партия принимается, если выборка содержит не более 3 дефектных лампочек. Какова вероятность принятия партии, ес­ ли в процессе производства в среднем 0,5% лампочек дефектны? Применительно к статистике эту задачу можно сформулиро­ вать иначе: «Какова вероятность появления не более 3 успешных исходов в 100 независимых испытаниях Бернулли, если вероят­ ность успешного исхода при одном испытании составляет 0,005?». Для решения задачи используем функцию - БИНОМРАСП (3; 100; 0,005; 1), которая рассчитает значение 0,9983. Таким обра­

зом, вероятность принятия партии стремится к 1. Математическое ожидание и дисперсия биномиального рас­

пределения имеют следующий вид:

а{х) = лр,

а\х) = пр(1-р).

175

Биномиальное распределение симметрично при/? = 0,5. При р ^ 0,5 распределение приближается к симметричному при уве­ личении п\ приближение будет происходить тем быстрее, чем ближе значение/? к 0,5. Кроме того, при увеличении п биноми­ альное распределение можно аппроксимировать нормальным распределением с теми же математическим ожиданием и дис­ персией, т. е. а—пр и а^=пр{1—р). Это аппроксимирующее рас­ пределение дает приемлемые результаты, если пр и п{1—р) не ме­ нее 5.

• если какой-либо аргумент не является числом, то функция ОТРБИНОМРАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

• если аргумент вероятность успеха < О или аргумент веро­ ятность успеха > 1, то функция ОТРБИНОМРАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

• если выражение число неудач + число успехов — 1 < О, то функция ОТРБИНОМРАСП помещает в ячейку значение ошиб­ ки #ЧИСЛО!.

Математико-статистинеская интерпретация:

Функция ОТРБИНОМРАСП рассчитывает вероятность того, что при проведении независимых испытаний Бернулли, каждое с вероятностью успеха /?, до появления ровно s успешных исходов

176

произойдете неудачных исходов (или, что то же самое, потребует­ ся всего X+S испытаний). В этом случае вероятность появления х неудачных исходов ouиcыhгie^cя распределением Паскаля*:

f(x;s,p) = x + s-l Р'И-РГ,

где X — число неудачных исходов;

S— число успешных исходов;

р— вероятность успешного исхода.

Обобщение распределения Паскаля на случай, когда s не яв­ ляется целым числом и факториалы в вышеприведенной формуле заменяются гамма-функциями, называется отрицательным биномиальным распределением**. Поэтому следует отметить, что название функции ОТРБИНОМРАСП является не совсем кор­ ректным, так как данная функция оперирует только с целочислен­ ными аргументами jc и 5, т. е. рассчитывает значения распределе­ ния Паскаля.

Применение функции ОТРБИНОМРАСП для решения прак­ тических задач рассмотрим на следующих примерах.

Пример 6,19. Вероятность попадания в объект управляемой авиационной бомбы оценивается как 0,6. Для гарантированного уничтожения объекта необходимо осуществить три попадания. Какова вероятность того, что для уничтожения объекта потребует­ ся ровно: а) 3 бомбометания; б) 4 бомбометания; в) 5 бомбомета­ ний; г) 10 бомбометаний?

Для решения задачи используем функцию ОТРБИНОМ­ РАСП, которая рассчитает следующие значения:

а) 0,216 (формула -ОТРБИНОМРАСП(0;3;0,6)); б) 0,259 (формула =ОТРБИНОМРАСП(1;3;0,6));

*(PascaI Blaise) Паскаль Блез (1623-1662) ~ знаменитый французский философ, писатель, математик и физик. Сформулировал одну из основных теорем проективной геометрии. Работы по арифметике, теории чисел, алге­ бре, теории вероятностей, теории воздушного давления.

**В некоторых источниках не проводится различие между распределени­ ем Паскаля и отрицательным биномиальным распределением.

177

в) 0,207 (формула =ОТРБИНОМРАСП(2;3;0,6)); г) 0,013 (формула -ОТРБИНОМРАСП(7;3;0,6)).

Вероятность того, что объект будет уничтожен не более чем при 5 бомбометаниях, оценивается как 0,216 + 0,259 + 0,207 = 0,682.

Пример 6,20. Для работы в торговом представительстве необ­ ходимо отобрать двух кандидатов, обладающих целым рядом оп­ ределенных профессиональных качеств. По опыту прошлых отбо­ ров замечено, что подходящий кандидат приходится в среднем на два неподходящих. Какова вероятность того, что придется прове­ сти собеседование не более чем с пятью неподходящими кандида­ тами, прежде чем будут найдены два подходящих кандидата?

Для решения задачи используем функцию ОТРБИНОМРАСП, которая рассчитает следующие значения:

а) 0,111 (формула =ОТРБИНОМРАСП(0;2;1/3)); б) 0,148 (формула =ОТРБИНОМРАСП(1;2;1/3)); в) 0,148 (формула -ОТРБИНОМРАСП(2;2;1/3)); г) 0,132 (формула =ОТРБИНОМРАСП(3;2;1/3)); д) 0,110 (формула =ОТРБИНОМРАСП(4;2;1/3)); е) 0,088 (формула =ОТРБИНОМРАСП(5;2;1/3)).

Вероятность того, что придется провести собеседование не бо­ лее чем с пятью неподходящими кандидатами, прежде чем будут найдены два подходящих, составляет 0,737 (0,111 + 0,148 + 0,148 + 0,132 + 0,110 + 0,088 = 0,737).

Математическое ожидание и дисперсия распределения Пас­ каля определяются следующими выражениями:

д(х) = - ^ — ^ ;

.2 s(l-p)

<УЧХ)-

р'

функция КРИТБИНОМ

См. также БИНОМРАСП, ОТРБИНОМРАСП.

Синтаксис:

КРИТБИНОМ (число испытаний; вероятность успеха; альфа)

178

Результат:

Рассчитывает наименьшее значение, для которого интефальное биномиальное распределение больше или равно заданному критерию.

Аргументы:

• число испытаний: число испытаний Бернулли;

• вероятность успеха: вероятность успеха в каждом испы­ тании;

•альфа: значение критерия.

Замечания:

•если какой-либо аргумент не является числом, то функция КРИТБИНОМ помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

•если аргумент число __ испытаний не целое число, то оно усекается;

• если аргумент число испытаний < О, то функция КРИТБИ­ НОМ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

• если аргумент вероятность успеха < О или аргумент веро­ ятность успеха > 1, то функция КРИТБИНОМ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

• если аргумент альфа < О или аргумент альфа > 1, то функция КРИТБИНОМ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!,

Математика-статистическая интерпретация:

См. описание функции БИНОМРАСП.

Функция КРИТБИНОМ является обратной по отношению к функции БИНОМРАСП и рассчитывает наименьшее значение, для которого интегральное биномиальное распределение больше или равно заданному критерию. Эта функция наиболее часто ис­ пользуется в приложениях, связанных с контролем качества про­ дукции.

Пример. 6.21. По исходным данным примера 6.18 (за исключе­ нием числа дефектных лампочек в выборке) требуется определить наибольшее допустимое число дефектных лампочек в выборке, при котором вероятность принятия партии составит: а) 0,9; б) 0,95; в) 0,99.

Для решения задачи используем функцию КРИТБИНОМ, ко­ торая рассчитает следующие значения:

а) 1 (формула =КРИТБИНОМ(100;0,005;0,90)); б) 2 (формула =КРИТБИНОМ(100;0,005;0,95)); в) 3 (формула =КРИТБИНОМ(100;0,005;0,99)).

Из полученных результатов видно, что при ограничении «не более 1 дефектной лампочки в выборке» вероятность принятия

179