Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

Аргументы:

•вероятность: вероятность, связанная с гамма-распределе­ нием;

•альфа: параметр распределения;

•бета: параметр распределения. Если бета=1, то функция ГАММАРАСП рассчитывает стандартное гамма-распределение.

Замечания:

•если какой-либо аргумент не является числом, то функция ГАММАОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

•если аргумент вероятность < О или аргумент вероятность > I, то функция ГАММАОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•если аргумент альфа < О или аргумент бета < О, то функция ГАММАОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•функция ГАММАОБР для вычисления значения использует метод итераций и производит вычисления, пока не получит ре­ зультат с точностью ± 3-10"^. Если результат не сходится после 100 итераций, то функция помещает в ячейку значение ошибки #Н/Д.

Математико-статистическая интерпретация:

См, описание функции ГАММАРАСП.

Функция обратного гамма-распределения используется в си­ туациях, когда известна вероятность определенного значения слу­ чайной величины и необходимо рассчитать это значение.

Например, формула =ГАММАОБР(0,75761;10;1/6) рассчиты­ вает значение 2 (сравните с формулой =ГАММАРАСП(2;10;1/6; 1), рассчитывающей значение 0,75761).

Пример 6,5. Для задачи, рассмотренной в примере 6.4, требует­ ся определить время / между последовательными рейсами парома, вероятность превышения которого составляет 95 %.

Решение заключается в нахождении значения /, удовлетворя­ ющего уравнению

гЮ t

0,05 = F(/;10,6) = -^— U^e-^'dt, Г(10)^

Для решения данного уравнения используем функцию ГАМ­ МАОБР, при этом заметим, что, как и в функции ГАММАРАСП, аргумент бета ((3) является обратным по отношению к аргумен-

140

ту Я-, т. е. Х= 1/р. Учитывая это обстоятельство, формулу нахож­ дения t запишем в виде =ГАММАОБР(0,05;10;1/6), которая рас­ считает значение 0,90. Таким образом, с вероятностью 0,95 мож­ но предположить, что время между отправлениями парома пре­ высит 54 мин.

Функция ГАММАНЛОГ

См. также ГАММАРАСП, ГАММАОБР.

Синтаксис:

ГАММАНЛОГ (X)

Результат:

Рассчитывает натуральный логарифм гамма-функции.

Аргументы:

х: значение, для которого вычисляется натуральный лога­ рифм гамма-функции.

Замечания:

•если аргумент х не является числом, то функция ГАММАН­ ЛОГ помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

•если аргумент х < О, то функция ГАММАНЛОГ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•число е, возведенное в степень ГАММАШ10Г(/), где / - це­ лое число, рассчитывает такой же результат, как и (/ - 1)!.

Математико-статистическая интерпретация:

См. описание функции ГАММАРАСП.

Всамостоятельном виде функция ГАММАНЛОГ имеет в ос­ новном теоретическое значение, однако в комбинации с другими функциями она может использоваться в расчетах, связанных с решением практических задач.

Воснове функции ГАММАНЛОГ лежитрлд Стирлинга'^:

•(Stirling James) Стирлинг Джеймс (1692-1770) - шотландский матема­ тик, член Лондонского королевского общества (1729). Наиболее важный труд — «Метод разностей», где Стирлинг впервые дал асимптотическое раз­ ложение логарифма гамма-распределения (т. н ряд Стирлинга). Некоторые результаты Д. Стирлинга были получены также Л. Эйлером в его более общих исследованиях. Формула Стирлинга легко получается из ряда Стирлинга, но у самого Д Стирлинга в явном виде не встречается.

141

lnr(x) = xlnx~x—lnx+—ln27t + e(x),

где 8 (X ) ^ 0 при X -> 00 .

Из ряда Стирлинга получается формула Стирлинга, позволяю­ щая находить приближенные значения гамма-функции при боль­ ших значениях л: и имеющая следующий вид:

Г(х +1)« л^тисл:V , Re X ^ 00.

где Re X — действительная часть числа х.

Формулой Стирлинга называется также и асимптотическое равенство, позволяющее находить приближенные значения фак­ ториалов:

п\«>]2ппп"&~",п -> 00.

Таким образом, если х - целое положительное число, то фор­ мула Стирлинга для гамма-функции рассчитывает такое же значе­ ние, как и формула Стирлинга для факториала при л - х. Учиты­ вая соотношение Г(х+1) =хГ(х), получаем

Г(х)«(х-1)!,

где X — целое положительное число.

Значения, рассчитываемые формулами =ЕХР(ГАММАНЛОГ (х)) и =ФАКТР(х-1) (при условии, что х - целое положительное число), приведены в табл. 6.5.

142

6.3.3.

функции бета-распределения

Функция БЕТАРАСП

См. также БЕТАОБР.

Синтаксис:

БЕТАРАСП (х; альфа; бета; А; В)

Результат:

Рассчитывает бета-распределение.

Аргументы:

•х: значение в интервале между ^ и 5, для которого вычисля­ ется бета-распределение;

•альфа: параметр распределения;

•бета: параметр распределения;

•А: необязательная нижняя граница интервала изменения х;

•В: необязательная верхняя граница интервала изменения х.

Замечания:

•если какой-либо аргумент не является числом, то функция БЕТАРАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

•если аргумент альфа < О или аргумент бета < О, то функция БЕТАРАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•если х<А, или х> В, или А= В,то функция БЕТАРАСП по­ мещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•если аргументы Аи В опущены, то функция БЕТАРАСП ис­ пользует стандартное интегральное бета-распределение, при ко­ тором А = Ои В= 1.

Математика-статистическая интерпретация:

Бета-распределение является одной из наиболее общих стати­ стических моделей и используется для описания случайных вели­ чин, значения которых ограничены конечным интервалом (срав­ ните с гамма-распределением, описывающем случайные величи­ ны, офаниченные только с одной стороны {см, описание функ­ ции ГАММАРАСП в подразд. 6.3.2)).

Наибольшее распространение получило стандартное бетараспределение, определенное на интервале [0; 1]. При использо­ вании функции БЕТАРАСП это обстоятельство учитывается, ес­ ли опустить в ней аргументы А и В или присвоить им значения О

и1 соответственно.

143

Плотность бета-распределения имеет вид

Эйлера 1-городаЛ выраженная через гамма-функцию Г(т1) (интеграл Эйлера 2-го рода);

Г(а) =00Ix'^'^e'^'dx -- гамма-функция.

о

Функция БЕТАРАСП рассчитывает значение интегральной

функции бета-распределения, которая также называется неполно

бета-функцией и имеет следующий вид:

При различных значениях параметров а и р бета-распределе­ ние принимает различную форму:

•при а > 1 и р > 1 ~ одновершинное с максимумом в точке

х-(а-1)/(а+р-2);

• при а < 1 и р < I - {/-образная форма;

• при а < 1 и р > 1 - убывающая функция;

• при а > 1 и р < 1 — /-образная форма;

• при а =р - симметричная форма.

Вследствие того что бета-распределение может принимать разнообразную форму, оно используется для описания большого числа реальных случайных величин, значения которых офаничены некоторым интервалом. Примерами такой случайной величи­ ны могут служить доля дефектных изделий на производственной линии, оценка продолжительности определенного этапа работы

144

при календарном планировании по методу PERT*. Бета-распре­ деление используется также при байесовском** анализе в качест­ ве исходной информации о вероятности успеха, например о веро­ ятности того, что космический аппарат успешно выполнит опре­ деленную задачу

Наиболее широкое применение бета-распределение получило при решении задач следующего типа. Допустим, что получены п независимых случайных наблюдений некоторого явления z с про­ извольной плотностью распределения. Полученные значения от­ сортированы в порядке возрастания. Пусть Zr^Zn-s + {~ соответ­ ственно значения г-го наименьшего и 5-го наибольшего значения. Можно показать, что доля означений исходной совокупности, за­ ключенных между Zr^Zn-s^b имеет бета-распределение с пара­ метрами a—n—r—s+\ и Р=Н-л', т е.

О < л: < 1.

Этот результат справедлив независимо от формы распре­ деления случайной величины z и иллюстрируется следующим примером.

Пример 6.6. Измерительный прибор, в состав которого входят фоточувствительные элементы, настроен на регистрацию мини­ мально допустимой и максимально допустимой длины детали. Из очень большой партии случайным образом выбраны 30 деталей. Какова вероятность того, что доля деталей в партии, имеющих до­ пустимую длину, составит: а) не менее 90 %; б) не менее 95 %; в) не менее 99 %?

*PERT (Program Evaluation and Review Technique) - метод оценки и пере­ смотра протрамм. Был разработан консультативной фирмой REND по заказу военно-морского министерства США ддя календарного планирования науч­ но-исследовательских и опытно-конструкторских работ профаммы создания ракет «Поларис».

**(Bayes Thomas) Байес Томас (1702-1761) - английский математик, член Лондонского королевского общества. Основные труды относятся к теории ве­ роятностей. В частности, Байес поставил и решил одну из основных задач эле­ ментарной теории вероятностей — теорему Байеса (опубликована в 1763 г.).

145

Из вышеизложенного следует, что доля х значений совокупно­ сти, заключенных между наибольшим и наименьшим значениями случайной выборки объемом 30 элементов, является случайной величиной, имеющей бета-распределение с параметрами а =30-1-1+1=29 и (3=1+1=2. Следовательно, вероятность того, что доля деталей с допустимой длиной превысит 0,90, равна

Аналогичным образом рассчитывается вероятность и для зна­ чений доли 0,95 и 0,99.

Решим задачу, воспользовавшись функцией БЕТАРАСП, которая рассчитает следующие значения;

а) 0,816 (формула =1-БЕТАРАСП(0,90;29;2)); б) 0,446 (формула =1-БЕТАРАСП(0,95;29;2)); в) 0,036 (формула = 1 -БЕТАРАСП(0,99;29;2)).

Математическое ожидание и дисперсия бета-распределения имеют следующий вид:

а(х)-- а + р

Частными случаями бета-распределения являются равномер­ ное, треугольное и параболическое распределения. Равномерное распределение получается при а=1 и р=1; треугольное распреде­ ление — при а=2 и р=1; параболическое распределение, при а=2 и р=2. Равномерное распределение является статистической моделью, описывающей момент появления события, которое с равной вероятностью может появиться в любой момент данного интервала. Два последних распределения применяются в качестве простых аппроксимаций более сложных симметричных и асимме­ тричных распределений. Так, параболическое распределение можно использовать как очень простую аппроксимацию нор-

146

мального распределения, а треугольное распределение позволяет весьма приближенно описывать некоторые случайные величины, имеющие гамма-распределение.

Фуншщя БЕТАОБР

См, также БЕТАРАСП.

Синтаксис:

БЕТАОБР (вероятность; альфа; бета; А; В)

Результат:

Рассчитывает обратное бета-распределение.

^фгументы:

•вероятность: вероятность, связанная с бета-распределением;

•альфа: параметр распределения;

•бета: параметр распределения;

•А: необязательная нижняя граница интервала изменения х;

•В: необязательная верхняя граница интервала изменения х. Замечания:

•если какой-либо аргумент не является числом, то ф)шкция БЕТАОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

•если аргумент альфа < О или аргумент бета < О, то функция БЕТАОБР помещает в ячейку значение #ЧИСЛО!;

•если аргумент вероятность < О или аргумент вероятность >

>1, то функция БЕТАОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•если аргументы Аи В опущены, то функция БЕТАОБР ис­ пользует стандартное интегральное бета-распределение, при которому4==0и5- 1;

•функция БЕТАОБР для вычисления значения использует метод итераций и производит вычисления, пока не получит ре­ зультат с точностью ±3*10" . Если результат не сходится после 100 итераций, то функция помещает в ячейку значение ошибки #Н/Д.

Математика-статистическая интерпретация: См, описание функции БЕТАРАСП.

Функция обратного бета-распределения используется в ситуа­ циях, когда известна вероятность определенного значения слу­ чайной величины и необходимо рассчитать это значение.

Например, формула =БЕТАОБР(0,55354;29;2) рассчитывает значение 0,95 (сравните с формулой =БЕТАРАСП(0,95;29;2), рас­ считывающей значение 0,55354).

147

пример 6.7. Для задачи, рассмотренной в примере 6.6, требу­ ется определить долю деталей в партии, имеющих длину в преде­ лах допустимых значений, с вероятностью не менее 0,9.

Для этого необходимо решить следующее уравнение:

1 - Д/;29,2) - 0,9.

Для решения данного уравнения используем функцию БЕТАОБР с аргументом вероятность=1'-0,9-0,\. Формула =БЕТА- ОБР(1—0,9;29;2) рассчитает значение 0,876. Таким образом, с ве­ роятностью 0,9 доля деталей в партии, имеющих длину в пределах допустимых значений, составит не менее 87,6%.

6.3.4.

Функции логарифмического нормального распределения

Функция ЛОГНОРМРАСП

См, также ЛОГНОРМОБР.

Синтаксис:

ЛОГНОРМРАСП (х; среднее; стандартное откл)

Результат:

Рассчитывает логарифмическое нормальное распределение.

Аргументы:

•х: значение, для которого вычисляется логарифмическое нормальное распределение;

•среднее: средняя распределенной по нормальному закону величины In (х);

• стандартное откл.: стандартное отклонение распреде­ ленной по нормальному закону величины 1п(х).

Замечания:

• если какой-либо аргумент не является числом, то функция ЛОГНОРМРАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

• если аргумент л: < О или аргумент стандартное откл < О, то функция ЛОГНОРМРАСП помещает в ячейку значение ошиб­ ки #ЧИСЛО!,

Математико'статистинеская интерпретация:

Логарифмическое нормальное распределение описывает слу­ чайную величину, логарифм которой распределен по нормально-

148

му закону с параметрами х и ст. Логарифмическим нормальным распределением, как правило, хорошо аппроксимируются слу­ чайные величины, которые образуются в результате умножения большого числа независимых или слабозависимых неотрицатель­ ных случайных величин, дисперсия каждой из которых мала по сравнению с дисперсией их суммы. С помощью центральной пре­ дельной теоремы можно показать, что распределение произведе­ ния п независимых случайных величин приближается к логариф­ мическому нормальному распределению, подобно тому как сумма п независимых случайных величин приближается к нормальному распределению.

Логарифмическое нормальное распределение применяется в самых различных областях - от экономики до биологии для описа­ ния процессов, в которых наблюдаемое значение составляет слу­ чайную долю предьщущего значения. Примерами могут служить распределение суммы личных доходов, размеров наследства, сум­ мы банковских вкладов; распределение размеров организма, разви­ тие которого происходит под влиянием большого числа незначи­ тельных воздействий, эффект каждого из которых пропорционален мгновенному значению размера организма. Логарифмическое нор­ мальное распределение с хорошим приближением описывает рас­ пределение размера частиц при дроблении породы, содержание компонентов (химических соединений и минералов) в породах.

Плотность логарифмического нормального распределения имеет следующий вид:

О - в остальных случаях.

Интегральная функция логарифмического нормального рас­ пределения имеет вид

F(x;x,a) = — 7 = j ^ ^^' dL

CXyltt -00

Заметим, что Зс и ст не являются параметрами, соответственно характеризующими центр распределения и его масштаб, как это

149