Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

партии будет лежать в интервале от 0,9 до 0,95; при ограничении «не более 2 дефектных лампочек в выборке» — в интервале от 0,95 до 0,99; при ограничении «не более 3 дефектных лампочек в вы­ борке» — в интервале от 0,99 до некоторого значения, которое можно рассчитать аналогичным образом. Точные значения веро­ ятности принятия партии можно вычислить с помощью функции БИНОМРАСП:

•формула =БИНОМРАСП(1;100;0,005;ИСТИНА) рассчитает значение 0,910;

•формула =БИНОМРАСП(2;100;0,005;ИСТИНА) вычислит значение 0,986;

•формула =БИНОМРАСП(3;100;0,005;ИСТИНА) рассчитает значение 0,998.

Функция ПЕРЕСТ

См. также БИНОМРАСП.

Синтаксис:

ПЕРЕСТ (число; число выбранных)

Результат:

Рассчитывает количество перестановок для заданного числа объектов, которые выбираются из общего числа объектов.

j^eyMeumbi:

• число: целое число, задающее количество объектов;

• число выбранных: целое число, задающее количество объ­ ектов в каждой перестановке.

Замечания:

•аргументы усекаются до целых чисел;

•если какой-либо аргумент не является числом, то функция ПЕРЕСТ помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

#ЧИСЛО!.

180

Математико-статистинеская интерпретация:

Возьмем т различных элементов Cj, ^2» •••»^л- Будем перестав­ лять эти элементы всевозможными способами, оставляя неизмен­ ными их число и меняя лишь их порядок. Каждая из получивших­ ся таким образом комбинаций (в том числе и первоначальная) но­ сит название перестановки. Общее число перестановок из т эле­ ментов обозначается Р^. Это число равно произведению всех це­ лых чисел от 1 (или, что то же самое, от 2) до т включительно:

P^-l-2-3../(w-l)w = m!,

Применение функции ПЕРЕСТ рассмотрим на следующем примере.

Пример 6.22. Сколькими способами можно распределить пять должностей между пятью лицами, отобранными в качестве кан­ дидатов в отдел ценных бумаг банка? Если составить в некотором порядке список должностей и против каждой должности писать фамилию кандидатов, то каждому распределению отвечает неко­ торая перестановка. Общее число таких перестановок

Р5 = 1*2-3-Ф5==120.

Для решения рассмотренной и подобных задач можно исполь­ зовать функцию ПЕРЕСТ с равными значениями аргументов {число = число выбранных), формула =ПЕРЕСТ(5;5) рассчитает значение 120.

Более сложными являются задачи, когда число распределяе­ мых элементов больше числа позиций, по которым они распреде­ ляются (для функции ПЕРЕСТ выполняется неравенство число > число выбранных). В этом случае общее число перестановок оп­ ределяется следующим образом:

Р = - ^ .

"'" {rt-m)\

Заметим, что при п - т, Р^ „ - Р^ "= Р„ =^ л!, так как О! = 1. Допустим, что в качестве кандидатов на должности в отдел отобраны не пять, а шесть человек. Тогда число возможных пе­ рестановок (число возможных комбинаций распределения по должностям) составит 720 комбинаций (формула =ПЕ-

РЕСТ(6;5)).

181

функция ВЕРОЯТНОСТЬ

См, также БИНОМРАСП, КРИТБИНОМ.

Синтаксис:

ВЕРОЯТНОСТЬ(х интервал; интервал вероятностей; нижний предел; верхний предел)

Результат:

Рассчитывает вероятность того, что значения из интервала находятся внутри заданных границ.

Аргументы:

• X интервал: интервал числовых значений х, с которыми связаны вероятности;

ния, для которого требуется вычислить вероятность.

Замечания:

• если какое-либо значение в аргументе интервал вероят­ ностей < О или какое-либо значение в аргументе интервал ве­ роятностей > 1, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

• если сумма значений в аргументе интервал вероятностей ^\, то функция ВЕРОЯТНОСТЬ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

• если аргументы х интервал и интервал вероятностей

содержат различное количество точек данных, то функция ВЕ­ РОЯТНОСТЬ помещает в ячейку значение ошибки #Н/Д;

• если аргумент верхний предел не задан, то функция ВЕ­ РОЯТНОСТЬ рассчитывает вероятность значения аргумента

нижний предел.

Математика-статистическая интерпретация:

В основе применения функции ВЕРОЯТНОСТЬ лежит тео­ рема сложения вероятностей, которая формулируется следую­ щим образом.

Теорема. Вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

182

Из теоремы сложения вероятностей вытекает следующее след­ ствие.

Следствие. Если события А^, Ai,..., А^ образуют полную груп­ пу несовместных событий, то сумма их вероятностей равна 1:

/=1

Теорема сложения вероятностей и ее следствие обусловливают математическую интерпретацию функции ВЕРОЯТНОСТЬ, при­ менение которой рассмотрим на следующем примере.

Пример 6.23. В новогодней лотерее организации разыфывается 1000 билетов. Из них падают выигрыши: на один билет - 500 руб.; на 10 билетов - по 100 руб.; на 50 билетов - по 20 руб.; на 100 билетов - по 5 руб.; остальные билеты невыигрышные. Сотруд­ ник организации может взять только один билет. Найти вероят­ ность выиграть: а) 20 руб.; б) не менее 20 руб.; в) не менее 100 руб.; г) от 5 до 100 руб. включительно.

Исходные данные и результат решения задачи с помощью функции ВЕРОЯТНОСТЬ приведены в табл. 6.9.

Содержимое ячеек в табл. 6.9:

•ячейки D3:D7 содержат соответственно формулы =ВЗ/СУММ(ВЗ:В7)...=В7/СУММ(ВЗ:В7);

•ячейка D8 содержит формулу ==ВЕРОЯТНОСТЬ(СЗ:С7;03: :D7;20);

•ячейка D9 содержит формулу =ВЕРОЯТНОСТЬ(СЗ:С7;03: :D7;20;500);

•ячейка D10 содержит формулу =ВЕРОЯТНОСТЬ(СЗ:С7;03 : :D7;100;500);

•ячейка D11 содержит формулу =ВЕРОЯТНОСТЬ(СЗ:С7;03 : :D7;5;100).

183

таний в генеральной совокупности;

1§4

• размер совокупности: размер генеральной совокупности.

Замечания:

•все аргументы усекаются до целых чисел;

•если какой-либо аргумент не является числом, то функция

ГИПЕРГЕОМЕТ помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

то функция ГИПЕРГЕОМЕТ помещает в ячейку значение ошиб­ ки #ЧИСЛО!;

• если аргумент размер выборки < О или аргумент размер

. выборки больше аргумента размер совокупности, то функция ГИПЕРГЕОМЕТ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

появления ровно х успешных исходов в п испытаниях, когда зна­ чение п не мало по сравнению с объемом совокупности N. Это распределение часто находит применение в задачах, когда выбор­ ка берется из небольших партий продукции. Вероятность того, что из п изделий, выбранных случайным образом из партии объе­ мом N, ровно X являются дефектными, имеет гипергеометрическое распределение.

Выбрать п элементов из Л^ можно Cjy различными способами, каждый из которых одинаково возможен. Аналогично х из /: де­ фектных изделий можно выбрать С^^ различными способами. Кроме того, для каждой такой комбинации имеют место

(N-k {N-k)\ {n-x)\-[{N--k)\-{n-x)\\

способов выбора п-х изделий из числа N-k исправных, следова­ тельно, общее число способов выбора х дефектных изделий и N—k исправных равно

185

A поскольку мы имеем дело с равновозможными события­ ми, то вероятность появления события «выбора из /: дефектных изделий и п—х из N-^k исправных изделий» определяется следу­ ющим выражением, задающим гипергеометрическое распреде­ ление:

где X — число дефектных изделий в выборе;

к— число дефектных изделий в генеральной совокупности;

п— объем выборки;

N - объем генеральной совокупности.

Аргументы функции / (х; N, л, к) эквивалентны следующим аргументам функции ГИПЕРГЕОМЕТ:

•п -размер выборки;

•к- число успехов в совокупности.

Рассмотрим один из типичных примеров применения гипер­ геометрического распределения для решения задач производст­ венного контроля качества продукции.

Пример 6.24. Из партии, содержащей 30 специальных высоко­ надежных электронных ламп, случайным образом выбираются и подвергаются испытаниям на долговечность шесть ламп. Если в процессе испытаний ни одна лампа не выйдет из строя или вый­ дет из строя только одна лампа, то партия принимается. В против­ ном случае вся партия бракуется. Какова вероятность того, что партия будет принята, если из 30 ламп четыре являются дефект­ ными?

186

Партия будет принята, если взятая выборка не содержит де­ фектных ламп или содержит одну дефектную лампу. Соответству­ ющая вероятность определяется выражением / (0;ЗО;6;4) + +/(1;30;6;4), которое рассчитаем с помощью функции ГИПЕРГЕОМЕТ:

=ГИПЕРГЕОМЕТ(0;6;4;30)+гаПЕРГЕОМЕТ(0;6;4;30)-0,831.

Таким образом, с вероятностью 0,831 данная партия будет принята.

Математическое ожидание и дисперсия гипергеометрическо­ го распределения имеют следующий вид:

а(х) = —

При уменьшении отношения n/N гипергеометрическое рас­ пределение стремится к биномиальному распределению с параме­ трами пир - k/N, Если в примере 6.24 использовать биномиаль­ ное распределение с параметрами/? = 4/30 = 0,133, то вероятность принятия партии будет равна не 0,831, а 0,815 (рассчитывается по формуле =БИНОМРАСП(1;6;4/30;1)). Поскольку в данном при­ мере выборка составляет 20 % совокупности, то нельзя ожидать, что биномиальное распределение обеспечит очень хорошую ап­ проксимацию.

6.4.3.

Функции распределения Пуассона

Функция ПУАССОН

См, также БИНОМРАСП, ЭКСПРАСП.

Синтаксис:

ПУАССОН (х; среднее; интефальная)

187

Результат:

Рассчитывает распределение Пуассона.

Аргументы:

•х: количество событий;

•среднее: интенсивность появления событий;

•интегральная: логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная = 1, то функция ПУАС­ СОН рассчитывает интегральную функцию распределения; если аргумент интегральная = О — дифференциальную функцию распределения.

Замечания:

•аргумент х усекается до целого числа;

•если аргумент х или аргумент среднее не является числом, то функция ПУАССОН помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;

•если аргумент х < О, функция ПУАССОН помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•если аргумент среднее < О, то функция ПУАССОН помещает

вячейку значение ошибки #ЧИСЛО!.

Математико-статистинеская интерпретация:

Одним из наиболее распространенных дискретных распреде­ лений является распределение Пуассона*, которое описывает чис­ ло событий, происходящих в одинаковых промежутках времени или на одинаковых отрезках пространства при условии, что собы­ тия происходят независимо друг от друга с постоянной средней интенсивностью X.

Плотность распределения Пуассона (вероятность появления ровно лг событий в определенном промежутке времени) имеет сле­ дующий вид:

х\

*(Poisson Simeon Denis) Пуассон Симеон Дени (1781—1840) — француз­ ский механик, физик, математик, иностранный почетный член Петербург­ ской АН (1826), член Парижской АН (1812). Основные труды по теоретичес­ кой и небесной механике, математике и математической физике, В теории вероятностей Пуассон доказал частный случай закона больших чисел и одну из предельных теорем (теорема Пуассона, распределение Пуассона).

188

Во временной области пуассоновское распределение исполь­ зуется как статистическая модель для числа альфа-частиц, испу­ скаемых радиоактивным источником за определенный промежу­ ток времени; числа требований на выплату страховых сумм за год; числа вызовов, поступающих на телефонную станцию за оп­ ределенное время суток. Описываемые пуассоновским распреде­ лением события, происходящие на постоянной площади или в постоянном объеме, включают: число дефектов на одинаковых образцах вещества; количество бактерий на предметном стекле нескольких микроскопов; число авиационных бомб, упавших на одинаковые площади Лондона в годы второй мировой войны.

Закон Пуассона можно применять для совокупностей, доста­ точно больших по объему {п > 100) и имеющих достаточно малую долю единиц, обладающих данным признаком (р < 0,1). Данное распределение является предельным для биномиального распре­ деления, если одновременно устремлять число опытов п к беско­ нечности, а вероятность;? - к нулю, причем их произведение пр сохраняет постоянное значение:

пр —X.

Это предельное свойство биномиального закона часто нахо­ дит применение на практике. Допустим, что производится боль­ шое количество независимых опытов w, в каждом из которых со­ бытие А имеет очень малую вероятность р. Тогда для вычисления вероятности Р^ „ того, что событие v4 появится ровно д: раз, можно использовать приближенную формулу

РЛ^Р)\-~пр

где пр= X - параметр того закона Пуассона, которым приближенно заменяется биномиальное распределение.

От этого свойства закона Пуассона выражать биномиальное распределение при большом числе опытов и малой вероятности события происходит его название, применяемое в учебниках ста­ тистики: закон редких явлений.

189