Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

РАЗДЕЛ II

Методы проверки статистических гипотез

ГЛАВА? Двухвыборочный z-тест для средних

7.1.

Понятие статистической гипотезы

Под статистической гипотезой понимают всякое высказыва­ ние о генеральной совокупности (случайной величине), проверя­ емое по выборке (по результатам наблюдений). Процедуру сопо­ ставления высказанной гипотезы с выборочными данными на­ зывают проверкой статистической гипотезы.

По прикладному содержанию можно выделить следующие основные виды высказываемых в ходе статистической обработки данных гипотез:

•о типе закона распределения исследуемой случайной вели­ чины (см. описание функции ХИ2РАСП в подразд. 6.3.7);

•об однородности двух или нескольких обрабатываемых вы­ борок или некоторых характеристик анализируемых совокупнос­ тей {см. главы 7, 8, 9);

•о числовых значениях исследуемой генеральной совокупно­ сти (см, описание функции СТЬЮДРАСП в подразд. 6.3.8);

•о типе зависимости между компонентами исследуемого многомерного признака (см. подразд. 14.2);

•о независимости и стационарности обрабатываемого ряда наблюдений.

Проверяемую статистическую гипотезу принято называть ос­ новной (или нулевой) гипотезой (обозначается HQ), а противореча­ щую ей гипотезу - альтернативной (или конкурирующей) гипоте­ зой (обозначается Н^).

191

Поскольку при проверке статистических гипотез приходится иметь дело со статистическим материалом, то, отвергая или при­ нимая нулевую гипотезу, всегда рискуем совершить ошибку. Ошибку, заключающуюся в том, что нулевая гипотеза отвергается, тогда как она в действительности верна, называют ошибкой перво­ города. Ошибку, состоящую в том, что нулевая гипотеза не отвер­ гается, тогда как она в действительности неверна, называют ошиб­ кой второго рода.

Проверка статистических гипотез осуществляется с помощью различных статистических критериев. В качестве критерия ис­ пользуется некоторая случайная величина, значения которой мо­ гут быть вычислены на основе имеющихся данных. В множестве возможных значений критерия выбирается подмножество, назы­ ваемое критической областью. Если вычисленное значение крите­ рия принадлежит критической области, то нулевая гипотеза от­ вергается. Критическая область выбирается таким образом, чтобы вероятность совершить ошибку первого рода не превосходила не­ которого заранее определенного положительного числа а. Это число а нюыве1ют уровнем значимости и говорят: «нулевая гипоте­ за отвергается на уровне значимости а». В качестве а обычно бе­ рут одно из чисел: 0,05; 0,01; 0,001.

Вероятность совершить ошибку второго рода обозначается (J. Величина 1 - 3 }\азыъг,^1^я мощностью критерия^ она равна веро­ ятности отвергнуть неверную гипотезу

Чаще всего множество возможных значений критерия при­ надлежит некоторому интервалу. Интервалом является и критиче­ ская область. Граничные точки критической области называются критическими точками. Критические точки выбираются таким образом, чтобы при выбранном уровне значимости а мощность критерия (1 - Р) была наибольшей.

Возможны три вида расположения критической области (в за­ висимости от вида нулевой и альтернативной гипотез, вида и рас­ пределения статистического критерия ф):

1) правосторонняя критическая область, состоящая из интер­ вала (х*^^ а, "^ ^ ) ' гда точка х^^^ос определяется из условия

192

и называется правосторонней критической точкой, отвечающей

уровню значимости а;

2)левосторонняя критическая область, состоящая из интерва­ ла (-00, х^з д), где точка х^^^ ^ определяется из условия

иназывается левосторонней критической точкой, отвечающей

уровню значимости а;

3)двусторонняя критическая область, состоящая из сле­

дующих двух интервалов: (-оо, х^^ ^/2) и (х^, а/2 ~^^ ). ^ ^ точки

Х^в, а/2 И Х^^ а/2 ОПредеЛЯЮТСЯ ИЗ УСЛОВИЙ

^(ф<^лГв,а/2) = а / 2 и Дф>Х„^Р,/2) = а / 2

и называются двусторонними критическими точками.

Наиболее распространенными являются критерии, в основе которых лежат известные распределения: х^, Стьюдента, Фишера {см. главу 6). Для этих критериев составлены таблицы, в которых указаны критические точки, соответствующие определенным уровню значимости и числу степеней свободы. Порядок исполь­ зования данных критериев приведен в описаниях одноименных статистических функций и рассмотрен также в главах, посвящен­ ных соответствующим режимам обработки статистической ин­ формации.

7.2.

Краткие сведения из теории статистики

В примере 6.12 был рассмотрен случай использования крите­ рия %^ для проверки гипотезы о принадлежности эмпирического распределения к типу нормальных распределений. Здесь рассмат­ ривается критерий проверки гипотезы о равенстве средних (мате­ матических ожиданий) двух нормальных распределений с извест­ ными дисперсиями, который находит бажное практическое при­ менение.

193

Действительно, иногда оказывается, что средний результат jc одной серии наблюдений отличается от среднего результата р дру­ гой серии. Возникает вопрос: можно ли это различие объяснить случайной ошибкой экспериментов или это отличие не случайно? Иначе говоря, можно ли считать, что результаты экспериментов представляют собой выборки из двух генеральных совокупностей с одинаковыми средними или средние этих совокупностей не рав­ ны? Подобная задача возникает, например, при сравнении каче­ ства изделий, изготовленных на разных установках.

Рассмотрим формализованную постановку данной задачи. Изучаются две нормально распределенные случайные величины:

X— N{a^, а^) и Y- N(ay,Gy), числовые значения дисперсийст^и Оу ко­ торых известны; числовые значения средних а^ и а неизвестны.

Пусть х^, ^2, ..., х„ - результаты независимых, проводимых в одинаковых условиях наблюдений величины X, а yi, У2> —» Ут ^ результаты независимых, проводимых в одинаковых условиях на­ блюдений величины К

При сформулированных условиях требуется проверить гипо­ тезу о равенстве математических ожиданий случайных величин X и К, т.е, гипотезу

Если гипотеза Щ : 0;^-= Лу принимается, то говорят, что разли­ чие выборочных средних Зс и у статистически незначимо.

В математической статистике доказывается, что если данная гипотеза выполняется, то величина

z = ^ 2 ^ 2

т

имеет нормальный закон распределения с нулевым математи­ ческим ожиданием и единичной дисперсией, т. е.

I т

194

Величину z и используют в качестве критерия при проверке гипотезы Щ : а^- йу

7.3.

Справочная информация по технологии работы

Режим работы «Двухвыборочный г-тест для средних» служит для проверки гипотезы о различии между средними (математиче­ скими ожиданиями) двух нормальных распределений с известны­ ми дисперсиями.

В диалоговом окне данного режиму (рис. 7,1) задаются следу­ ющие параметры:

Двухвыборочный zrecT для средних

0/|^fls^-;-A^|^^!»J&!.^

;г^Ги(КГГ?-^ чеа:*я средняя разность^

ЁЩисперсш гк^1Ч£нной I (и^з^стнвй):]

|Щ?' Ноеыи:|ад6очйй ^Л1

Рис. 7.1

L Интервал переменной 1 т вводится ссылка на ячейки, содер­ жащие результаты наблюдений величины X, Диапазон данных должен состоять из одного столбца или одной строки.

2. Интервал переменной 2 - вводится ссылка на ячейки, содер­ жащие результаты наблюдений величины К Диапазон данных должен состоять из одного столбца или одной строки.

195

3.йтотетическая средняя разность - вводится число, равное

предполагаемой разности средних (математических ожиданий) изучаемых генеральных совокупностей. Значение О указывает на то, что проверяется гипотеза Щ: а^= а^.

4.Дисперсия переменной 1 (известная) - вводится известное

значение дисперсии генеральной совокупности величины X,

5.Дисперсия переменной 2 (известная) — вводится известное

значение дисперсии генеральной совокупности величины К

6.Метки - см. подразд. 1.1.2.

7.Альфа — вводится уровень значимости а, равный вероятно­

сти возникновения ошибки первого рода (отвержение нулевой гипотезы).

8. Выходной интервал/Новый рабочий лист/Новая рабочая

книга — см, подразд. 1.1.2.

Пример 7.1. Выборочные данные о диаметре валиков (мм), изготовленных автрматом 1 и автоматом 2, приведены в таблице, сформированной на рабочем листе Microcoft Excel (табл. 7.1) [5].

196

По выборке объема п - 14 найден средний размер х = 182,0 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом 1 (ячейка D38 содержит формулу =CP3HA4(D24:D37)). По выборке объема W = 9 найден средний размер у - 185,0 мм диаметра валиков, изготовленных автоматом 2 (ячейка Е38 содержит формулу =СРЗНАЧ(Е24:Е32)).

Кроме того, предварительным анализом установлено, что размер диаметра валиков, изготовленных каждым автоматом, имеет нормальный закон распределения с дисперсией сг^ = 5 мм для автомата \па^ = 7мм^ для автомата 2. Можно ли при уровне значимости а = 0,05 объяснить различие выборочных средних случайной величиной? Или, иными словами, при уровне значи­ мости а = 0,05 требуется проверить гипотезу Яо : а^ = Оу,

Для решения задачи используем режим работы «Двухвыборочный г-тест для средних». Значения параметров, установлен­ ных в одноименном диалоговом окне, представлены на рис. 7.2, а рассчитанные в данном режиме показатели — в табл. 7.2.

Рис. 7.2

197