Макарова Н.В. Статистика в Excel-1
.pdfДля генерации последовательности случайных чисел, распре деленных по закону Пуассона, в области Параметры задается ин тенсивность появления событий (поле Лямбда),
Графики пуассоновского распределения строятся на основе интегрального и дифференциального массивов значений, форми руемых с помощью функции ПУАССОН {см, подразд. 6.4.3). Так как распределение Пуассона является дискретным, то точечные фафики, построенные с помощью мастера диафамм Microsoft Excel, необходимо дорабатывать вручную с использованием пане ли Рисование (нельзя использовать операцию аналитического вы равнивания трендом). На рис. 6.5 показан график дифференци альной функции распределения Пуассона при X - 0,8.
Подрежим работы «Дискретное распределение» служит для генерации последовательности случайных чисел, распределенных по закону, задаваемому пользователем. В окне данного подрежима в области Параметры задаются значения случайной величины и соответствующие этим значениям вероятности (поле Входной ин тервал значений и вероятностей).
0.5
4
0,4
1 |
i • |
|
|
|
|
|
0.3 |
|
|
|
|
|
|
0,2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
i • |
|
|
|
|
0.1 |
|
|
1 |
, |
, |
, |
1 |
1 ' |
' |
||||
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
Рис. 6.5
Например, требуется смоделировать 100 подбрасываний двух игральных костей. Для этого, во-первых, на рабочем листе сфор мируем входную таблицу значений и вероятностей (табл. 6.1); вовторых, зададим соответствующие параметры в диалоговом окне подрежима (рис. 6.6).
120
;1'Случай«ое рассеивание:
'j ^ 8^евйд«ойинтереалг
Ш^ Новая рабочая книгз
|
|
|
Рис. 6.6 |
|
|
|
|
|
Таблица 6Л |
||
|
|
!2Ж!№£!$бЯ{Ш1Ш^^^^ЩН^Щ^Ш W^^^^^^^^^tW^^W-^^^i^f^^g-'^^, |
|||
^"' |
6 |
.V |
Р(Х) |
|
|
h |
|
|
|
||
1^ |
|
1 |
0J67 |
1 |
|
| . |
7 |
||||
|
|
|
|||
Р^' |
*> |
2 |
0Л67 |
|
|
1Д' |
|
3 |
0,167 |
1 |
|
р^- to |
|||||
4 |
0И67 |
|
|||
1 |
п |
5 |
0,167 |
1 |
|
|:<.,. iL.,^,vi-^ |
6 |
0,167 |
|
||
|
|
|
В результате проведенного моделирования получаем 200 зна чений случайной величины (100 значений для первой ифальной кости в диапазоне Р7:Р107 и 100 значений для второй игральной кости в диапазоне Q7:Q107).
121
с помощью функции СЧЕТЕСЛИ посчитаем число выпавших значений для каждой Ифальной кости (табл. 6.2):
|
|
Таблица 62 |
|
о |
|
108 |
Число выпадений |
|
109 |
Кость 1 |
Кость 2 |
110 |
18 |
13 |
Ш |
15 |
15 |
112 |
13 |
17 |
ИЗ |
26 |
20 |
|
14 |
25 |
|
14 |
10 |
Подрежим работы «Модельное распределение» служит для ге нерации детерминированной последовательности чисел в заданном интервале [а, а^] (рис. 6.7). Числа такой последовательности обра зуют арифметическую профессию, каждый член которой опреде ляется по формуле
Л, = Л1 + ^ ( / - 1 ) ,
где hx - первый член прогрессии (задается в поле От,.,); d ~ разность прогрессии (задается в поле Шаг);
/— номер взятого члена.
Вполе До... задается число, которое не может превышать по следний член генерируемой профессии.
Вподрежиме «Модельное распределение» помимо генерации чисел, образующих арифметическую профессию, существует воз можность создания:
•нескольких одинаковых последовательностей, являющихся арифметическими профессиями, которые располагаются в смеж ных столбцах (поле Повторяя последовательность);
•последовательности, в которой каждое число, являющееся членом арифметической профессии, повторяется несколько раз (поле Повторяя каждое число).
Ш
Генерация сл*{Чвйных мисеп
|
'•• ,.;.-.q.^5;.r1W::i^ •;5Ш%й |
|
|
Г |
' |
ч»кт случайных чисел? |
1 |
Отмена |
|
|
PecnpeAejf»HMe; |
илэдепьмое |
d |
|
|
• ] |
йтравкд |
шш |
до I |
. с ш^ол |
|
|
|
|
|
|
|
||
•пеаторяя каж^с^ чист |
|
1 |
раз |
|
|
|
|
|
|||
|
|
- |
i __ рд5 |
|
|
|
|
i |
|
|
|
[Параметры вьгоода |
|
|
|
^iJ; |
|
|
|
| - |
• |
|
\
; ^ Новая р>абочая кнкга
Рис. 6.7
6.3.
Статистические функции непрерывных распределений
6.3.1.
Функции нормального распределений
Функция НОРМРАСП
См. также НОРМОБР, НОРМСТРАСП, НОРМСТОБР, НОР МАЛИЗАЦИЯ.
Синтаксис:
НОРМРАСП (х; среднее; стандартное откл; интегральная)
Результат:
Рассчитывает нормальное распределение.
Аргументы:
• х: значение, для которого вычисляется нормальное распре деление;
123
• среднее: средняя арифметическая распределения;
• стандартное |
откл: стандартное отклонение распреде |
ления; |
|
• интегральная: логическое значение, определяющее форму функции. Если аргумент интегральная = 1, то функция НОРМ РАСП рассчитывает интегральную функцию распределения; если аргумент интегральная = О - дифференциальную функцию рас пределения.
Замечания:
• если аргумент среднее или аргумент стандартное откл не является числом, то функция НОРМРАСП помещает в ячейку значение ошибки #3FL\4!;
• если аргумент стандартное откл < О, то функция НОР МРАСП помешает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;
• если аргумент среднее = О и аргумент стандартное откл = =1, то функция НОРМРАСП рассчитывает стандартное нормаль ное распределение (см, описание функции НОРМСТРАСП).
МатематикО'Статистинеская интерпретация:
Нормальный закон распределения (часто называемый зако ном Гаусса*) имеет в статистике широкий круг приложений и за нимает среди других законов распределения особое положение. Ставная особенность, выделяющая нормальный закон среди дру гих, состоит в том, что он является предельным законом, к кото рому приближаются другие законы распределения при весьма ча сто встречающихся условиях.
Доказано, что сумма достаточно большого числа независимых (или слабо зависимых) случайных величин, подчиненных какимлибо законам распределения, приближенно подчиняется нор мальному закону, и это выполняется тем точнее, чем большее ко личество случайных величин суммируется. Основное ограниче ние, налагаемое на суммируемые величины, состоит в том, что
* (Gauss Carl Friedrich) Гаусс Карл Фридрих (1777-1855) - немецкий ма тематик, внесший фундаментальный вклад также в астрономию и геодезию, иностранный чл.-корр. (1802) и иностранный почетный член (1824) Петер бургской АН. Отличительными чертами творчества Гаусса являются глубокая органическая связь в его исследованиях между теоретической и прикладной математикой, необычайная широта проблематики. Работы Гаусса оказали большое влияние на развитие алгебры, теории чисел, дифференциальной ге ометрии, теории тяготения, классической теории электричества и магнетиз ма, геодезии, целых отраслей теоретической астрономии.
124
они все должны играть в общей сумме относительно малую роль. Если ни одна из случайно действующих величин по своему дейст вию не окажется преобладающей над другими, то закон распреде ления очень близко подходит к нормальному
Такая закономерность проявляется во многих практических случаях. Например, еще Кетле* обнаружил, что вариация в одно родной группе характеризуется нормальной кривой. Если пост роить эмпирическую кривую распределения людей одной нации, пола и возраста по росту, весу, то она напоминает кривую Гаусса - Лапласа. Поэтому нормальное распределение часто применяется в тех случаях, когда истинный закон распределения известен, но вычисления по этому закону затруднительны, а аппроксимация его нормальным распределением допустима.
Примечание, Несмотря на широкое распространение, нормальное рас пределение не универсально. Если нет уверенности в его применимости, следует проверить возможность использования нормального распределения
для описания случайной величины с помощью критериев согласия.
Уравнение для плотности нормального распределения име ет вид
1 /(х;х,ст) = — ^ е 2а ^
а уравнение нормальной функции распределения -
1 |
X -^ |
f^ |
f |
, |
F(X;J,CT) = — j = |
| е |
2a- й^/ = |
Ф* |
JC-JC |
|
|
|
V |
^ |
Функция НОРМРАСП использует первое уравнение, если ар гумент интегральная = О, и второе уравнение, если аргумент инте-
* (Quetelet) Кетле Ламбер Адольф Жак (1796-1874) - бельгийский уче ный, социолог-позитивист Один из создателей научной статистики, иност ранный чл.-корр. Петербургской АН (1847). Установил, что некоторые мас совые общественные явления (рождаемость, смертность, преступность и др,) подчиняются определенным закономерностям, применил математические методы к их изучению.
125
гральная = 1. Так, формула =НОРМРАСП(42;40;1,5;0) рассчитает значение 0,109, а формула =НОРМРАСП(42;40;1,5;1) - значение 0,909.
Кривая плотности нормального распределения имеет симмет ричный холмообразный вид (рис. 6.8).
Рис. 6.8
Максимальная ордината кривой соответствует точке х -х = Мо = Me, По мере удаления от этой точки плотность распределе ния падает, и при х -> ± оо кривая асимптотически приближается к оси абсцисс. Изменение х при постоянстве а приводит к сме щению кривой вдоль оси абсцисс, не меняя ее формы. С увеличе нием а кривая становится более пологой, с уменьшением а - бо лее острой. Площадь, заключенная под кривой, асимптотически приближающейся к оси абсцисс, равна единице.
Для нормального распределения выполняются следующие ра
венства: 1^1 = Цз ^ 0; Ц2 ^ ^^' ^4 ~ За"^; А^ = Q\ Ei^ = 0. Весьма важной практической задачей является определение
вероятности того, что случайная величина попадет на заданный
интервал вещественной оси {а, |
Ь). Для нормального распределе |
|
ния она определяется следующей формулой: |
||
Р(а <х<Ь) = Ф |
|
г ^ |
К |
ст J |
\, а- |
126
Пример 6.1. Для закупки и последующей продажи мужских зимних курток фирмой было проведено выборочное обследова ние мужского населения города в возрасте от 18 до 65 лет в целях определения его среднего роста. В результате было установлено, что средний рост Зс = 176 см, стандартное отклонение а = 6 см. Необходимо определить, какой процент общего числа закупае мых курток должны составлять куртки 5-го роста (182—186 см). Предполагается, что рост мужского населения города распределен по нормальному закону
Формула для решения задачи имеет следующий вид:
=НОРМРАСП(186;176;6;ИСТИНА)-"НОРМРАСП (182;176;6;ИСТИНА) = 0,95221 - 0,84134 = 0,11086 « 11%.
Таким образом, куртки 5-го роста должны составлять прибли зительно 11% общего числа закупаемых курток.
Функция НОРМОБР
См. также НОРМРАСП, НОРМСТРАСП, НОРМСТОБР, НОРМАЛИЗАЦИЯ, ДОВЕРИТ
Синтаксис:
НОРМОБР (вероятность; среднее; стандартное откл)
Резулыпат:
Рассчитывает обратное нормальное распределение.
Аргументы:
•вероятность: вероятность, соответствующая нормальному распределению;
•среднее: средняя арифметическая распределения;
• стандартное откл: стандартное отклонение распределения.
Замечания:
•если какой-либо аргумент не является числом, то функция НОРМОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!;
•если аргумент вероятность < О или аргумент вероятность > 1, то функция НОРМОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;
• если аргумент стандартное откл < О, то функция НОР МОБР помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;
• если аргумент среднее = О и аргумент стандартное откл = =1, то функция НОРМОБР использует обратное стандартное нор мальное распределение (см, описание функции НОРМСТОБР);
127
• функция НОРМОБР использует для вычисления метод ите раций и производит вычисления, пока не получит результат с точ ностью ±3 • 10"^^. Если результат не сходится после 100 итераций, то функция помещает в ячейку значение ошибки #Н/Д.
Математико-статистическая интерпретация:
См, описание функции НОРМРАСП.
Функция обратного нормального распределения используется в ситуациях, когда известна вероятность определенного значения случайной величины и необходимо рассчитать это значение.
Например, формула =НОРМОБР(0,90879;40;1,5) рассчитыва ет значение 42,00001 (сравните с формулой =НОРМРАСП(42;40; 1,5; 1), рассчитывающей значение 0,90879).
На практике часто встречается задача, обратная задаче вычис ления вероятности попадания нормально распределенной слу чайной величины на участок, симметричный относительно мате матического ожидания X. Формула для вероятности попадания случайной величины на участок, симметричный относительно математического ожидания, имеет следующий вид:
Р{\х-х\<1)^2Ф*Ш-\
где / — половина длины участка, симметричного относительно ма тематического ожидания.
Пример 6,2. Для задачи, рассмотренной в примере 6Л, рассчи тать границы интервала роста мужского населения города, веро ятность попадания в который случайной величины роста состав ляет 0,95.
Для этого предварительно необходимо преобразовать аргу менты НОРМОБР к стандартному виду, в результате чего имеем
/ - НОРМОБР {{Р + 1)/2;0;а).
После подстановки данных получим формулу = НОРМОБР ((0,95 + 1)/2;0;6), которая рассчитает значение 11,7598» Таким об разом, границы искомого интервала составят 164,24 и 187,76 см.
В качестве границ интервалов часто берутся точки, отстоящие от математического ожидания на целое число стандартных откло-
128
нений (обычно а, 2а, За). Приведем значения вероятности попа дания нормально распределенной величины в интервалы с таки ми фаницами.
Границы интервала |
Вероятность |
|
|
0,68269 |
|
Зс - 2а, X + 2а |
0,95450 |
|
X — За, X + За |
0,99730 |
1 |
Фун!ащя НОРМСТРАСП
См. также НОРМРАСП, НОРМОБР, НОРМСТОБР, НОРМА ЛИЗАЦИЯ.
Синтаксис:
НОРМСТРАСП (Z)
Результат:
Рассчитывает стандартное нормальное распределение.
Аргументы:
z: значение, для которого вычисляется стандартное нормаль ное распределение.
Замечания:
если аргумент z не является числом, то функция НОРМ СТРАСП помещает в ячейку значение ошибки #ЗНАЧ!.
МатематикО'Статистическая интерпретация:
См. описание функции НОРМРАСП.
Стандартное нормальное распределение представляет собой не что иное, как «обычное» нормальное распределение, у которо го среднее равно нулю, а стандартное отклонение — единице.
Особое вьщеление функции стандартного нормального рас пределения связано с тем, что она используется при вычислении нормальных функций с другими значениями х и а (отличными от О и 1 соответственно). Практически во всех учебниках по тео рии вероятностей и теории статистики приведены таблицы для функции стандартного нормального распределения.
Например, формула =НОРМСТРАСП((42-40)/1,5) рассчита ет значение 0,90879, такое же как и формула =НОРМРАСП(42;40; 1,5;1) {см. описание функции НОРМРАСП).
129