Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

Результат:

Рассчитывает порядковый ранг числа в наборе данных.

Аргументы:

•число: число, для которого определяется ранг;

•ссылка: массив исходных данных (нечисловые значения в массиве игнорируются);

•порядок: число, определяющее способ упорядочения.

Замечания:

•если аргумент порядок = О или опущен, то Microsoft Excel оп­ ределяет ранг числа, упорядочивая исходный набор данных в по­ рядке убывания;

•если аргумент порядок является любым ненулевым числом, то Microsoft Excel определяет ранг числа, упорядочивая исходный набор данных в порядке возрастания.

Математика-статистическая интерпретация:

Ранг числа - это его порядковый номер относительно других чисел в наборе данных.

Правила присвоения ранга рассмотрены в подразд. 5.1. Функция РАНГ не требует предварительной ранжировки

данных, она проводит ее автоматически: при аргументе порядок

— О — в порядке убывания, при аргументе порядок ^0 — в порядке возрастания.

Представим результаты, рассчитанные функцией РАНГ на ос­ новании исходных данных из табл. 5.1 при аргументе порядок = О,

Формула Результат

=РАНГ(57;С4:С8;0) 4 =РАНГ(48;С4:С8;0) 5 =РАНГ(95;С4:С8;0) 1 =РАНГ(60;С4:С8;0) 3 =РАНГ(77;С4:С8;0) 2

Представим результаты, рассчитанные функцией РАНГ на ос­ новании исходных данных из табл. 5.1 при аргументе порядок = 1.

Примечание. О статистической функции ПЕРСЕНТИЛЬ см. в подразд.

4.4.2,

110

Функция ПРОЦЕНТРАНГ

Синтаксис:

ПРОЦЕНТРАНГ (массив; х; разрадность)

Результат:

Рассчитывает процентный ранг числа в наборе данных.

Аргументы:

•массив: массив исходных данных;

•х: значение, для которого вычисляется процентное содер­ жание;

•разрядность: необязательное значение, которое определяет количество значащих цифр в рассчитываемой величине процент­ ного содержания значения. Если этот аргумент опущен, то функ­ ция ПРОЦЕНТРАНГ использует три цифры (О, ###).

Замечания:

•если массив пуст, то функция ПРОЦЕНТРАНГ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•если аргумент разрядность < 1, то функция ПРОЦЕНТРАНГ помещает в ячейку значение ошибки #ЧИСЛО!;

•если аргумента не соответствует ни одному из значений ар­ гумента массив, то функция ПРОЦЕНТРАНГ производит интер­ поляцию и рассчитывает корректное значение процентного со­ держания.

Математико-статистическая интерпретация:

Функция ПРОЦЕНТРАНГ используется для оценки относи­ тельного положения точки данных в множестве данных, напри­ мер, чтобы оценить положение подходящего результата среди всех результатов тестирования.

Для точек, совпадающих с точками множества данных, функ­ ция ПРОЦЕНТРАНГ производит расчет по правилам, рассмот­ ренным в подразд. 5.1.

111

Для точек, не совпадающих с точками множества данных, функция ПРОЦЕНТРАНГ выполняет линейную интерполяцию и рассчитывает корректное значение процентного содержания»

Функция ПРОЦЕНТРАНГ не требует предварительной ранжи­ ровки данных, она проводит ее автоматически в порядке убывания. Представим результаты, рассчитанные функцией ПРОЦЕНТ-

РАНГ на основании исходных данных из табл. 5.L

В двух последних строках рассчитаны интерполяционные зна­ чения.

Рассмотрим на примере расчета последнего значения, как функция ПРОЦЕНТРАНГ производит линейную интерполяцию (рис. 5.3).

На основании свойств подобия треугольников имеем

ас Х = 'а'ьЬ

112

Так как началом отсчета является точка 0,50, то искомое зна­ чение у определяется по формуле

у = 0,50 + X = 0,50 + 0,147 = 0,647.

ГЛАВА 6 Генерация случайных чисел

6.1.

Краткие сведения из теории статистики

Одним из фундаментальных в статистическом анализе являет­ ся понятие случайной величины. Случайной называется перемен­ ная величина, принимающая в зависимости от случая те или иные значения с определенными вероятностями.

В практических задачах обычно используются дискретные и непрерывные случайные величины.

Дискретной случайной величиной называется такая случайная величина, множество возможных значений которой либо конеч­ но, либо бесконечно, но счетно.

Непрерывной случайной величиной называется такая случай­ ная величина, которая может принять любое значение из некото­ рого конечного или бесконечного интервала.

Чтобы дать полное математическое описание случайной ве­ личины, нужно указать множество ее значений и соответствую­ щее случайной величине распределение вероятностей на этом множестве.

В главе 2 был рассмотрен один из основных способов задания распределения дискретной случайной величины - в виде статис­ тического ряда распределения, который представляет собой упо­ рядоченное распределение единиц изучаемой совокупности по определенному варьирующему признаку. При задании закона рас­ пределения непрерывной случайной величины такой способ уже

113

неприемлем хотя бы потому, что множество ее значений беско­ нечно и сплошь заполняет некоторый промежуток. В этом случае не представляется возможным перечислить все значения случай­ ной величины и их вероятности в виде таблицы (построить ряд распределения) или отметить их в системе координат (построить полигон или гистограмму распределения).

Кроме того, каждое отдельное значение непрерывной случай­ ной величины обладает нулевой вероятностью. Однако, несмотря на данное обстоятельство, нахождение возможных значений слу­ чайной величины в различных интервалах обладает различными и отличными от нуля вероятностями. Таким образом, для непре­ рывной случайной величины, так же как и для дискретной, мож­ но определить закон распределения, но несколько в ином виде, чем для дискретной. Для этого используют понятие функции рас­ пределения случайной величины*.

Функцией распределения случайной величины X называется функция F(x), задающая вероятность того, что случайная величи­ на ^принимает значение, меньшее JC, Т. е.

F(x)^P(X<xX

Иногда функцию F{x) называют интегральной функцией рас­ пределения.

Функция распределения вероятностей непрерывной случай­ ной величины дает полную вероятностную характеристику ее по­ ведения. Однако способ задания непрерывной случайной величи­ ны с помощью функции распределения не является единствен­ ным. Ее можно задать с помощью другой функции, которая назы­ вается дифференциальной функцией распределения или плотностью распределения. В некотором смысле эта функция более удобна, чем интегральная функция F{x), так как последняя не в полной мере дает представление о характере распределения случайной ве­ личины в небольшой окрестности той или иной точки числовой

* Понятие функции распределения широко используется для характери­ стики поведения не только непрерывных случайных величин, но и дискрет­ ных случайных величин. Для дискретной случайной величины X функция распределения имеет вид

F(x)= 1.Р(Х = х,).

х,<х

114

оси. Решить эту задачу позволяет дифференциальная функция распределения, которая является первой производной интеграль­ ной функции распределения:

График дифференциальной функции распределенияДх) назы­ вается кривой распределения. Кривая распределения, выражаю­ щая общую закономерность данного типа распределения, называ­ ется теоретической кривой распределения.

В статистике широко используются различные виды теорети­ ческих распределений — нормальное распределение, биномиаль­ ное, распределение Пуассона и др. Каждое из теоретических рас­ пределений имеет специфику и свою область применения. Чаще всего в^ачестве теоретического распределения используется нор­ мальное распределение, занимающее особое положение в статисти­ ческих исследованиях.

6.2.

Справочная информация по технологии работы

Режим работы «Генерация случайных чисел» служит для фор­ мирования массива случайных чисел, распределенных по одному из заданных теоретических распределений.

В зависимости от выбранного теоретического распределения (подрежима работы) меняются и параметры диалогового окна Генерация случайных чисел. Общими параметрами для всех подре­ жимов являются:

1. Число переменных — вводится число столбцов значений, ко­ торые необходимо разместить в выходном диапазоне. Если это число не введено, то все столбцы в выходном диапазоне будут за­ полнены.

2. Число случайных чисел - вводится число случайных значе­ ний, которое необходимо вывести в каждом столбце выходного диапазона. Каждое случайное значение будет помещено в строке выходного диапазона. Если число случайных чисел не будет вве­ дено, все строки выходного диапазона будут заполнены.

Примечание. Данное поле деактивизировано при модельном распреде­ лении.

115

На рис. 6.1 изображено диалоговое окно подрежима работы, предназначенного для генерации случайных чисел, распределен­ ных по нормальному закону. В этом окне в области Параметры за­ даются характеристики нормального закона распределения - ма­ тематическое ожидание (поле Среднее) и стандартное отклонение

(поле Стандартное отклонение).

Строить графики интегральных и дифференциальных функ­ ций распределения удобно с помощью мастера диафамм Microsoft Excel. Для этого необходимо предварительно сформиро­ вать интегральные и дифференциальные массивы значений, для чего следует воспользоваться функцией НОРМРАСП (см, подразд. 6.3.1), используя в качестве ее аргументов сгенерированную последовательность случайных чисел.

Графики интегральной и дифференциальной функций нор­ мального распределения при х == О и а^ == 1 показаны на рис. 6.2.

1 ^

1

1

и,О

Рис. 6.2

Для генерации последовательности случайных чисел, распре­ деленных по биномиальному закону, в области Параметры задают­ ся вероятность успеха при одном испытании (поле Значение р) и число испытаний (поле Число испытаний).

117

Графики биномиального распределения строятся на основе интегрального и дифференциального массивов значений, форми­ руемых с помощью функции БИНОМРАСП (см. подразд. 6.4.1). Так как биномиальное распределение является дискретным, то точечные графики, построенные с помощью мастера диаграмм Microsoft Excel, необходимо дорабатывать вручную с использованием панели Рисование (нельзя использовать операцию аналити­ ческого выравнивания трендом). На рис. 6.3 изображен график дифференциальной функции биномиального распределения при р = 0,75 и п =10.

Рис. 6.3

Примечание. Подрежим работы «Распределение Бернулли» является ча­ стным случаем подрежима «Биномиальное распределение» при п — 1.

Для генерации последовательности случайных чисел, распре­ деленных по равномерному {прямоугольному) закону, в области Па­ раметры задаются нижняя и верхняя границы интервала, в кото­ ром будут заключены сгенерированные числа (поле Между...),

Понятие равномерного распределения на отрезке [а, Ь] соот­ ветствует представлению о выборе точки из этого отрезка «науда­ чу». Особое значение имеет равномерное распределение на отрез­ ке [0; 1]. Оказывается, что для имитации на ЭВМ случайных явле-

118

НИИ самой различной природы достаточно получить на ЭВМ по­ следовательность значений случайной величины, равномерно распределенной на отрезке [0; 1].

Интегральная и дифференциальная функции случайной вели­ чины, равномерно распределенной на отрезке [0; 1], имеют следу­ ющий вид:

Оприх<.0;

F(x;a,b) = X при О <.х <. 1; 1 прих> 1;

1 при о <х< 1; f(x;a,b) = О при X < О и X > 0.

Построенный с помощью мастера диаграмм график диффе­ ренциальной функции равномерного распределения на отрезке [0; 1] изображен на рис. 6.4.

1.2-Г

0.8 4

0,6 4

ОД 4

0.2 4

Рис. 6.4

119