Макарова Н.В. Статистика в Excel-1

функция ZTECT

См. также НОРМРАСП, ДОВЕРИТ.

Синтаксис:

ZTECT (массив; х; сигма)

Результат:

Рассчитывает для определенного выборочного массива дан­ ных двустороннее Р-значение z-ntecma.

Аргументы:

•массив: массив данных, с которыми сравнивается х;

•X проверяемое значение;

•сигма: известное стандартное отклонение генеральной сово­ купности. Если этот аргумент опущен, то используется оценка ге­ нерального стандартного отклонения по выборке.

Замечания:

• если массив пуст, то функция ZTECT помещает в ячейку зна­ чение ошибки #Н/Д.

МатематикО'Статистическая интерпретация:

См. описание функций НОРМРАСП, ДОВЕРИТ

Функция ZTECT служит для проверки гипотезы о числовом значении средней (математического ожидания) нормального рас­ пределения при известной дисперсии.

Примечание. Если числовое значение стандартного отклонения гене­ ральной совокупности не известно, то в функции используется оценка стан­ дартного отклонения по представленной выборке {см. описание функции СТАНДОТКЛОН в подразд, 4.3).

Рассматривается случайная величина Jr = 7V(^, ^)ь причем чис­ ловое значение математического ожидания а не известно, а чис­ ловое значение дисперсии а^ известно.

Выдвигается гипотеза Щ о том, что среднее (математическое ожидание) равно числу ^о^ т. е. Яо : д = «о- ^ этом случае альтерна­ тивная гипотеза будет иметь вид Ну :а^а^.

В качестве критерия проверки гипотезы берется величина

которая при выполнении гипотезы подчиняется нормальному закону распределения с нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией, т. е.

200

г =х-г/л/^-а 1 -= ЛГ(0,1).

Пример 7.2. Результаты девяти выборочных замеров времени изготовления детали (мин) приведены в табл. 7.3, сформирован­ ной на рабочем листе Microsoft Excel.

Предполагается, что время изготовления — нормально распре­ деленная случайная величина. На уровне значимости а - 0,05 тре­ буется решить:

1)можно ли принять 50 мин в качестве нормативного времени (математического ожидания) изготовления детали?

2)можно ли принять за норматив 49 мин?

Для варианта 1 проверяется статистическая гипотеза Щ:а^ — = 50 мин, а для варианта 2 - гипотеза Щ'.а^^ 49 мин.

Расчетные показатели для проверки выдвинутых гипотез при­ ведены в табл. 7.4.

201

Таблица 7.4

202

Содержимое ячеек в табл. 7.4:

•массив G24:G32 содержит исходные данные задачи;

iячейка G33 содержит формулу =CP3HA4(G24:G32) - рас­ считывается среднее значение выборки;

•ячейка G34 содержит формулу =CTAfiaOTKJIOH(G24:G32) - оценивается стандартное отклонение по выборке;

•ячейка G36 содержит формулу =НОРМСТОБР(0,05/2) - вы­ числяются критические точки и тем самым задается критическая область (-оо; -1,96) и (1,96; Н-оо);

•ячейки G37 и G38 содержат соответственно формулы =(G33— -~50)/G34*3 и =(G33-49)/G34*3, которые вычисляют рас­ четные значения ^-критерия для гипотез Щ \ ах — 50 мин и

HQIUX- 49 мин (здесь 3 = Vn = V9, w=9 - объем выборки);

• ячейки G40 и G41 содержат соответственно форму­ лы =HOPMCTOBP(1-ZTECT(G24:G32;50)) и -НОРМСТОБР (1—ZTECT(G24:G32;50)), которые вычисляют расчетные значе­ ния ^-критерия с использованием функции ZTECT, рассчитываю­ щей вероятностные значения z-теста.

Примечание, В постановке задачи не приведена информация о значении генерального стандартного отклонения, поэтому при решении использова­ лась оценка генерального стандартного отклонения по представленной вы­ борке.

При проверке гипотезы HQ: ах- 50 мин расчетное значение критерия Zp = -2,50 попадает в критический интервал (—оо; -1,96), поэтому данная гипотеза отвергается, а принимается аль­ тернативная гипотеза Ну: ах- 48 мин (среднее значение, вычис­ ленное по представленной выборке). Или, иначе говоря, 50 мин нельзя считать нормативным временем изготовления детали и за норматив берем 48 мин.

При проверке гипотезы Щ: ах~ 49 мин расчетное значение критерия Zp = -1,25 не попадает в критическую область (—оо; -1,96) U (1,96; Н-оо), поэтому данная гипотеза не отвергается, т.е. за норматив времени изготовления детали берем 49 мин.

Заметим, что функция ZTECT аналогична функции НОРМРАСП при условии, что в качестве аргумента а используется ар­ гумент ц, выражающий стандартное отклонение выборочной средней от генеральной средней и получивший название средней

203

ошибки выборки {см. описание функции ДОВЕРИТ в подразд. 6.3.1).

Зная, что а

можно вывести формулу

Т\ЪС\{массив, х) = НОРМРАСП

=НОРМРАСП гyjri{x-x)

Пример 7.3. В массив НЗ:Н12 введены следующие значения случайной величины Х{4; 3; 5; 8; 12; 8; 6; 10; 3; 5}. Тогда функция =ZTECT(H3:H12;7) рассчитает значение 0,735. Это же значение вычислит и функция =НОРМРАСП(7;Н14;Н15/Н16;1), если:

• ячейка Н14 содержит формулу =СРЗНАЧ(НЗ:Н12), которая определяет значение выборочной средней;

•ячейка Н15 содержит формулу =СТАНДОТКЛОН(НЗ:Н12), которая оценивает значение генерального стандартного отклоне­ ния по представленной выборке;

•ячейка Н16 содержит формулу =КОРЕНЬ(10), которая рас­ считывает значение квадратного корня из размера выборочной совокупности, т.е. Vw.

ГЛАВА8

Двухвыборочный f-тест

с одинаковыми и различными дисперсиями

8.1.

Краткие сведения из теории статистики

В главе 7 была рассмотрена процедура проверки гипотезы о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормальных распределений с известными дисперсиями.

204

Настоящая глава посвящена процедурам проверки гипотез о равенстве средних (математических ожиданий) двух нормальных распределений с неизвестными тсперсиями. Причем относитель­ но параметров aj- и ау^ можно вьщвинуть следующие два предпо­ ложения:

1) обе дисперсии неизвестны, но предполагается, что они рав­ ны между собой (аJ = а^);

2) обе дисперсии неизвестны, их равенство не предполагается

В случае когда обе дисперсии неизвестны, но предполагаются равными между собой, имеем дело с двумя оценками 8^-= s^ одной и той же величины дисперсии с\ = ау^. В связи с этим разумно перейти к объединенной оценке а^:

В математической статистике доказывается, что если гипотеза Щ\ах- лJ.выполняется, то величина

V/z т

имеет распределение Стьюдента с k-n-^m-l степенями сво­ боды, X е.

^ ^ =/(Jk = /z + m-2).

4 1

+ —

т

Величину i и используют в качестве критерия при проверке ги­ потезы Щ: ах~с1у

Кота дисперсии неизвестны и их равенство не предполага­ ется (a|^9t оу), используется аналога-статистики {см, подразд. 7.2) с заменой неизвестных дисперсий их оценками

205

Ил

т

В этой ситуации указать точное распределение введенной ста­ тистики затруднительно. Известно, однако, что это распределе­ ние близко к распределению Стьюдента с числом степеней свобо­ ды, равным

л-1 m-1

Последний статистический критерий (при сх' ^ сгу^) называ­ ют также критерием Фишера^-Беренса. Данный критерий не часто применяют на практике, потому что, даже когда неизвестные дисперсии a j и ajr существенно различны, предположение, что они на самом деле равны, дает результаты, довольно близкие к получаемым по этому критерию, но при гораздо меньшем объеме вычислений.

Примечание. Строго говоря, описанные выше критерии применимы только к выборкам, извлеченным из нормальной генеральной совокупности. Вместе с тем специальные исследования показали, что /-критерий является (особенно при больших объемах выборок л) весьма устойчивым по отношению к отклонениям исследуемых генеральных совокупностей от нормаль­ ных. А это значит, что он может применяться и к выборкам из негауссовских генеральных совокупностей с той лишь оговоркой, что истинные значения уровня значимости и мощности критерия в этом случае будут незначительно отличаться от заданных.

8.2.

Справочная информация по технологии работы

Режимы работы «Двухвыборочный /-тест с одинаковыми дис­ персиями» {гомоскедастический тест) и «Двухвыборочный /-тест

с различными дисперсиями» {гетероскедастический тест) служат

206

для проверки гипотез о различии между средними (математичес­ кими ожиданиями) двух нормальных распределений соответст­ венно с неизвестными, но равными дисперсиями {ах=<У'у) и с не­ известными дисперсиями, равенство которых не предполагается

В диалоговых окнах данных режимов (рис. 8.1 и 8,2) задаются параметры, аналогичные параметрам, задаваемым в диалоговом окне Двухвыборочный z-тест для средних {см, рис. 7.1), только от­ сутствуют поля Дисперсия переменной 1 {известная) ц Дисперсия « ременной 2 {известная).

Двухвыборочный t-тесг с одинаковыми дисперсиймм

^|^ЩнШ4ЭМ№

Ошотетнческая средняя радость:

Гае;тки

i й/ьфа; 0,05

1 :Г' Вшпдной интервал;:

1 • <• , Новый рабочж т:г1 \ С Новая рабочая книга

Рис. 8л

Пример 8.1. Выборочные данные о расходе сырья при произ­ водстве продукции по старой и новой технологиям приведены в табл. 8Л, сформированной на рабочем листе Microsoft Excel [5].

При уровне значимости а = 0,05 требуется проверить гипоте­ зу Щ: ах— ау, предположив, что соответствующие генеральные совокупности Xvi Fимеют нормальные распределения:

1)с одинаковыми дисперсиями ох и а\\

2)с различными дисперсиями а^ и с\.

207

Дв«)хвы6орочный t-TecT с различными дисперсиями

208

Для проверки предположения 1 используем режим работы «Двухвыборочный /-тест с одинаковыми дисперсиями», а для про­ верки предположения 2 - «Двухвыборочный /-тест с различными дисперсиями». Значения параметров, установленных в одноимен­ ных диалоговых окнах, представлены на рис. 8.3 и 8.4, а рассчитан­ ные в этих режимах показатели — в табл. 8.2 и 8,3 соответственно.

Двчхвыборочный t'TGcr с одинакобыми дисперсиями

: г-Пара^петры вывода

Новый рабочий лкх;

Щ^ Новая рабо'чая KHi^a

Рис. 8.3

Таблица 8.2

^Ш^Я

Двухвыборочный t-тест с одинаковыми дисперсиями

209