- •Содержание
- •Введение
- •1 Моделирование прочностной надежности элементов конструкций
- •1.1 Основные понятия сопротивления материалов
- •1.2 Геометрические характеристики плоских сечений
- •2 Растяжение и сжатие
- •2.1 Внутренние усилия и напряжения при растяжении (сжатии)
- •2.2 Перемещения и деформации при растяжении (сжатии)
- •2.3 Расчеты на прочность и жесткость при растяжении (сжатии)
- •3 Механические свойства материалов
- •3.1 Методика проведения испытаний
- •3.2 Диаграмма растяжения низкоуглеродистой стали
- •3.3 Диаграмма низколегированной стали
- •3.4 Диаграмма растяжения чугуна
- •3.5 Допускаемые напряжения
- •3.6 Основы теории напряженного состояния
- •3.7 Теории прочности
- •3.7.5 Теория Мора
- •4 Сдвиг
- •4.1 Определение внутренних усилий и напряжений при сдвиге
- •4.2 Напряженное состояние при сдвиге
- •4.3 Деформации при сдвиге
- •4.4 Расчет на прочность и допускаемые напряжения при сдвиге
- •5 Кручение
- •5.1 Определение внутренних усилий при кручении
- •5.2 Определение напряжений и деформаций при кручении
- •5.3 Напряженное состояние и виды разрушения при кручении
- •5.4 Расчеты на прочность и жесткость при кручении
- •6 Изгиб
- •6.1 Общие понятия и определения
- •6.2 Определение внутренних усилий при изгибе
- •6.3 Дифференциальные зависимости при изгибе
- •6.4 Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса
- •1) Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).
- •6.5 Касательные напряжения при поперечном изгибе прямого бруса
- •6.6 Полная проверка прочности. Опасные сечения и опасные точки
- •7. Сложное сопротивление
- •7.1. Косой изгиб. Общие понятия о косом изгибе
- •7.2. Определение напряжений при косом изгибе
- •7.3 Определение положения нейтральной оси и максимальных нормальных напряжений при косом изгибе. Условие прочности
- •7.4. Изгиб с кручением. Определение внутренних усилий и напряжений
- •7.5. Определение главных напряжений и расчет на прочность при кручении с изгибом
- •8. Устойчивость сжатых стержней
- •8.1 Понятие об устойчивости и критической силе
- •8.2 Устойчивость сжатого стержня. Задача Эйлера
- •8.3. Зависимость критической силы от условий закрепления стержня
- •8.4. Критические напряжения. Расчет на устойчивость стержня при упруго-пластических деформациях
- •8.5 Определение допускаемых напряжений на устойчивость. Коэффициент снижения основного допускаемого напряжения
- •8.6 Выбор материала и рациональной формы сечения при продольном изгибе
- •9 Прочность материалов при циклически меняющихся напряжениях
- •9.1 Основные понятия и определения
- •9.2 Виды циклов нагружения
- •9.3. Кривая усталости (кривая Веллера)
- •9.4 Предел выносливости при асимметричном цикле
- •Список литературы
6.4 Нормальные напряжения при чистом изгибе прямого бруса
Рассмотрим случай чистого изгиба балки и выведем формулу для определения нормальных напряжений для данного случая. Методами теории упругости можно получить точную зависимость для нормальных напряжений при чистом изгибе, если же решать эту задачу методами сопротивления материалов, необходимо ввести некоторые допущения.
Таких гипотез при изгибе три:
1) Гипотеза плоских сечений (гипотеза Бернулли).
Сечения плоские до и после деформации, они только поворачиваются относительно некоторой линии, которая называется нейтральной осью балки (НО). При этом волокна балки, лежащие с одной стороны от нейтральной оси будут растягиваться, а с другой – сжиматься; волокна, лежащие на нейтральной оси своей длины не изменяют;
2) Гипотеза о постоянстве нормальных напряжений. Напряжения, действующие на одинаковом расстоянии у от нейтральной оси, постоянны по ширине бруса;
3) Гипотеза об отсутствии боковых давлений. Соседние продольные волокна не давят друг на друга.
Связь между внутренними усилиями и нормальными напряжениями в сечении балки найдем из рассмотрения напряжений в элементарной площадке dF, выделенной в поперечном сечении F балки в точке с координатами у и z (ось y для удобства анализа направлена вниз):
, следовательно , поэтому
; (6.10)
, следовательно , поэтому
; (6.11)
, следовательно , поэтому
; (6.12)
Как видим, неизвестен характер распределения нормальных напряжений по сечению. Для решения задачи рассмотрим геометрическую картину деформаций.
Рассмотрим деформацию элемента балки длинойdx, выделенного из изгибаемого стержня в произвольной точке с координатой x. Учитывая принятую ранее гипотезу плоских сечений, после изгиба сечения балки повернутся относительно нейтральной оси (НО) на угол , при этом волокноab, отстоящее от оси на расстояние у, превратится в дугу окружности a1b1, а его длина изменится на некоторую величину.
Здесь напомним, что длина волокон, лежащих на нейтральной оси, не изменяется а потому дуга a0b0 (радиус кривизны которой обозначим ), имеет ту же длину, что и отрезокa0b0 до деформации: a0b0=dx.
Найдем относительную линейную деформацию , волокнаab изогнутой балки: , следовательно
(6.13)
Учитывая, что, в соответствии с гипотезой об отсутствии боковых давлений, запишем закон Гука для изгиба в виде:
(6.14)
Из формулы для относительной линейной деформации с учетом закона Гука получим закон распределения нормальных напряжений по сечению балки:
. (6.15)
Подставляя это выражение в каждое из уравнений равновесия, имеем следующие соотношения:
, следовательно , отсюда
; (6.16)
, следовательно , отсюда
; (6.17)
, следовательно , отсюда
. (6.18)
Из анализа (6.16) и (6.17) следует, что оси у и z являются главными осями сечения, а нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения.
Из (6.18) получим формулу для определения кривизны бруса при изгибе
, (6.19)
Используя это выражение, получим формулу определения нормальных напряжений при изгибе:
. (6.20)
Из анализа полученного уравнения следует, что нормальные напряжения при изгибе равны нулю в точках, лежащих на нейтральной оси, и достигают экстремальных значений на поверхности балки, при .
Максимальные нормальные напряжения при изгибе найдем по формуле:
, (6.21)
где Wz – осевой момент сопротивления
. (6.22)
Таким образом, в случае изгиба условие прочности по нормальным напряжениям может быть записано в следующем виде (для материала балки, одинаково сопротивляющегося растяжению-сжатию):
. (6.23)