3.7.5 Теория Мора

=(3.16)

где - допускаемое напряжение на растяжение;- на сжатие.

Теория прочности Мора позволяет установить сопротивление разрушению материалов, обладающих разными сопротивлениями растяжению и сжатию (хрупкие материалы). Опыты показывают, что достаточно точные результаты гипотеза Мора дает для напряженных состояний смешанного типа, то есть для тех случаев, когда главные нормальные напряжения имеют разные знаки.

Таким образом, для практических расчетов следует рекомендовать третью и четвертую теории прочности для материалов одинаково работающих на растяжение и сжатие, и теорию Мора – для материалов, различно сопротивляющихся растяжению и сжатию, то есть для хрупких материалов.

4 Сдвиг

4.1 Определение внутренних усилий и напряжений при сдвиге

Сдвиг – вид сопротивления, при котором стержень нагружен двумя равными силами (на малом расстоянии друг от друга), перпендикулярными к оси бруса и направленными в противоположные стороны.

Примером такого действия сил на брус может быть разрезание ножницами прутьев, деформация заклепок, болтов, сварных швов между металлическими листами и т. п.

Мысленно рассекая брус поперечным сечением перпендикулярным продольной оси определим внутренние усилия, действующие в сечении бруса при сдвиге.

В данном случае нагружения из шести уравнений равновесия лишь одно не нулевое: , следовательно.

При сдвиге в сечении элемента возникает только одно внутреннее усилие – поперечная сила (или).

Так как единственное внутреннее усилие, возникающие при сдвиге (поперечная сила или ), лежит в плоскости поперечного сечения, то и напряжения, лежат в плоскости сечения стержня. То есть при сдвиге в точках поперечного сечения стержня возникают только касательные напряжения .

Таким образом, поперечная сила, возникающая в сечении

. (4.1)

При сдвиге считают, что касательные напряжения равномерно распределены по площади поперечного сечения, т.е. , поэтому

(4.2)

Касательные напряжения при сдвиге определяются по формуле , а так как, то

. (4.3)

4.2 Напряженное состояние при сдвиге

Чистый сдвиг – частный случай плоского напряженного состояния, при котором по граням прямоугольного элемента действуют только касательные напряжения.

Построим круг Мора: Точкииточки, соответствующие напряженному состоянию на указанных взаимно перпендикулярных площадкахис координатами (;) т.е. (0; -) и (;) т.е. (0;) соответственно (). Через эти две точки проводится окружность радиусомили(точка С – центр круга Мора). В точках где круг Мора пересекает осьможно найти величину главных нормальных напряжений(так как касательные напряжения равны нулю.

Определим величину и направление главных напряжений при чистом сдвиге:

,(4.4)

так как , можно записатьи

Направление главных площадок определяется углом , который найдем по формуле:

; (4.5)

учитывая что ,

;

; .

4.3 Деформации при сдвиге

Рассмотрим деформацию квадратного элемента при сдвиге.

П

Рис.4.5. Деформация квадратного элемента при сдвиге.

оскольку по граням элемента не действуют нормальные напряжения, то вдоль граней нет и удлинений. В то же время диагональBD, совпадающая с направлением , удлинится, а диагональ СК, совпадающая с направлением сжимающего напряжения, укоротиться. В результате квадратBCDK трансформируется в ромб BC₁D₁K, без изменения длины граней. Таким образом, деформация сдвига характеризуется изменением первоначально прямых углов.

Малый угол , на который изменяется первоначально прямой угол элемента при сдвиге, называетсяуглом сдвига или относительным сдвигом.

Величину абсолютного смещения грани обозначают и называютабсолютным сдвигом.

Из прямоугольного треугольника ВСС₁:

(4.6)

Учитывая малость угла можно считать, что , тогда окончательно запишем взаимосвязь между относительным и абсолютным сдвигом элемента

(4.7)

При сдвиге можно экспериментально построить диаграмму сдвига, аналогичную диаграмме растяжения, на которой также в начале нагружения будет прямолинейный участок деформации по закону Гука.

Закон Гука при сдвиге:

или , (4.8)

где G – модуль касательной упругости или модуль сдвига (модуль упругости второго рода), которая является константой для данного материала.

Закон Гука при сдвиге через абсолютные деформации:

, (4.9)

где а – расстояние между сдвигаемыми гранями; F – площадь грани.

Взаимосвязь между упругими постоянными:

. (4.10)