1.2 Геометрические характеристики плоских сечений

Геометрические характеристики – числовые величины (параметры), определяющие размеры, форму, расположение поперечного сечения однородного по упругим свойствам деформируемого элемента конструкции (и, как следствие, характеризующие сопротивление элемента различным видам деформации).

Площадь поперечного сечения

Рис.6. Произвольное поперечное сечение

- площадь поперечного сечения. Размерность м².

Статические моменты

- статический момент относительно оси z,

- статический момент относительно оси y.

Статический момент относительно данной оси – сумма произведений элементарных площадей dF на их расстояние до данной оси, взятая по всей площади сечения F.

На основании теоремы Вариньяна (из курса теоретической механики) следует, что

, , (1.4)

а для сложного сечения (состоящего из нескольких простых, каждое из которых имеет площадь F_i и координаты собственного центра тяжести y_ci , z_ci)

, . (1.5)

Статический момент относительно какой-либо оси равен произведению всей площади фигуры на расстояние от ее центра тяжести до этой оси.

Размерность статических моментов площади м³. Статические моменты площади могут быть положительны, отрицательны и равные нулю. Оси, относительно которых статические моменты площади равны нулю, называются центральными осями (это две взаимноперпендикулярные оси, проходящие через центр тяжести поперечного сечения).

Осевые моменты инерции

- осевой момент инерции относительно оси z,

- осевой момент инерции относительно оси y.

Осевой момент инерции относительно рассматриваемой оси – сумма произведений элементарных площадей dF на квадрат их расстояний до этой оси, взятая по всей площади сечения F.

Осевые моменты инерции имеют размерность м⁴ и всегда положительны

Центробежный момент инерции

- центробежный момент инерции.

Центробежный момент инерции относительно осей координат – сумма произведений элементарных площадей dF на их расстояния до этих осей, взятая по всей площади сечения F.

Центробежный момент инерции имеют размерность м⁴ и может быть положительным, отрицательным и равным нулю. Оси, относительно которых центробежный момент инерции равен нулю, называются главными осями.

Главные оси – это оси, осевые моменты инерции относительно которых принимают свои экстремальные значения (максимум и минимум).

Полярный момент инерции

(1.6)

. (1.7)

Полярный момент инерции относительно данной точки – сумма произведений элементарных площадей dF на квадраты их расстояний () до этой точки, взятая по всей площади сеченияF.

Моменты сопротивления

Осевой момент сопротивления относительно рассматриваемой оси – величина равная моменту инерции относительно той же оси отнесенному к расстоянию до наиболее удаленной от этой оси точки

; . (1.8)

Полярный момент сопротивления

(1.9)

Осевой и полярный моменты инерции имеют размерность м³.

Радиус инерции

Радиусом инерции сечения относительно некоторой оси, называется величина, определяемая из соотношения:

; . (1.10)

Геометрические характеристики простых фигур

Прямоугольное сечение.

Определим осевой момент инерции прямоугольника относительно оси z.

Р

Рис. 7. Прямоугольник

азобьем площадь прямоугольника на элементарные площадки с размерамиb (ширина) и dy (высота). Тогда площадь такого элементарного прямоугольника (заштрихована) равна . Подставляя значениеdF в формулу для определения осевого момента инерции, получим:

(1.11)

По аналогии запишем

. (1.12)

Круглое сечение

Сначала удобно найти полярный момент инерции. Затем, учитывая, что для круга , а, найдем.

Разобьем круг на бесконечно малые кольца толщиной d и радиусом ; площадь такого кольца . Подставляя выражение для площади кольца в выражение дляи интегрируя, получим:Тогда

(1.13)