3.6 Основы теории напряженного состояния

Напряженное состояние в точке – совокупность напряжений, действующих во множестве площадок, проходящих через данную точку.

Исследуя напряженное состояние в данной точке деформируемого тела, в ее окрестностях выделяют бесконечно малый (элементарный) параллелепипед, ребра которого направлены вдоль соответствующих координатных осей.

При действии на тело внешних сил на каждой из граней элементарного параллелепипеда возникают напряжения, которые представляют нормальными и касательными напряжениями – проекциями полных напряжений на координатные оси.

Таким образом, на гранях элементарного параллелепипеда, выделенного в окрестности точки нагруженного тела, действует девять компонентов напряжения. Запишем их в виде матрицы, которая называется тензором напряжений

(3.10)

Не все девять компонентов напряжений, действующих на гранях параллелепипеда, независимые (несвязанные друг с другом). В этом легко убедиться, составив уравнения равновесия суммы моментов относительно координатных осей. Записав уравнения моментов от сил, действующих по граням параллелепипеда, и пренебрегая их изменением при переходе от одной грани к другой ей параллельной, получим, что

, ,

Данные равенства называют законом парности касательных напряжений.

Закон парности касательных напряжений: на взаимно перпендикулярных площадках действуют равные по величине и противоположно направленные касательные напряжения.

В окрестности исследуемой точки можно выделить бесконечное множество взаимно перпендикулярных площадок. В том числе можно найти такие площадки, по граням которых действуют только нормальные напряжения, а касательные напряжения равны нулю. Такие площадки называют главными.

Главные площадки – три взаимно перпендикулярные площадки в окрестности исследуемой точки, на которых касательные напряжения равны нулю.

Главные напряжения – нормальные напряжения, действующие по главным площадкам.

На главных площадках нормальные напряжения принимают свои экстремальные значения

Тензор напряжений для главных площадок: (3.11)

В зависимости от того, сколько главных напряжений действует в окрестности данной точки, различают три вида напряженного состояния:

1. Линейное (одноосное) – если одно главное напряжение отлично от нуля, а два других равны нулю (,,);

2. Плоское (двухосное) – если два главных напряжения отличны от нуля, а одно равно нулю (,,);

3. Объемное (трехосное) – если все три главных напряжения отличны от нуля (,,);

Напряженное состояние в точке при плоском напряженном состоянии можно описать с помощью круга Мора, построенного в координатных осяхи. Здесьиточки, соответствующие напряженному состоянию на любых двух взаимно перпендикулярных площадкахис координатами (;) и (;) соответствен-но. Через эти две точки проводится окружность радиусомили(точка С – центр круга Мора). В точках, где круг Мора пересекает осьможно найти величину главных нормальных напряжений(так как касательные напряжения равны нулю.

3.7 Теории прочности

Важнейшей задачей инженерного расчета является оценка прочности детали по известному напряженному состоянию. При сложном напряженном состоянии приходится вводить некоторый критерий прочности (гипотезу о преимущественном влиянии на прочность того или иного фактора), предельное значение этого фактора находят из опыта на растяжение.

3.7.1 Критерий наибольших нормальных напряжений

По этой теории причиной разрушения материала считается наибольшее (из трех главных) нормальное напряжение при этом действие двух других напряжений не учитывается.

. (3.12)

Данная теория прочности в настоящее время практически не используется, так как она подтверждается экспериментально лишь для некоторых очень хрупких материалов (камень, кирпич, керамика и т.д.)

3.7.2 Критерий наибольших линейных деформаций

По второй теории прочности, в качестве критерия прочности принимают наибольшую по абсолютной величине линейную деформацию .

Выражая деформации через обобщенный закон Гука получим:

. (3.13)

Данная теория редко применяется в инженерной практике, так как находит экспериментальное подтверждение лишь для некоторых хрупких материалов (легированный чугун, высокопрочная сталь).

3.7.3 Критерий наибольших касательных напряжений

В качестве критерия прочности принята величина наибольшего касательного напряжения .

. (3.14)

Третья теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. Недостаток ее заключается в том, что она не учитывает среднего по величине главного напряжения , которое как показывают эксперименты, также оказывает, хотя и незначительное, влияние на прочность материалов.

3.7.4 Критерий удельной потенциальной энергии формоизменения

В качестве критерия прочности в этом случае принимают количество удельной потенциальной энергии формоизменения, накопленной деформированным элементом.

Выразив удельную потенциальную энергию формоизменения через главные напряжения при объемном напряженном состоянии получим:

. (3.15)

Опыты хорошо подтверждают четвертую теорию для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие. При этом четвертая теория более точно, чем третья, описывает появление в материале малых пластических деформаций.