Лабораторная работа - Организация расчетов в системе Maple. Часть 2

91

92

93

Контрольные вопросы

1.Что называется матрицей и расширенной матрицей системы линейных уравнений?

2.Что называется системой линейных уравнений? Какие системы называются совместными, а какие – несовместными?

3.Как формулируется теорема Кронекера - Ка-

пелли?

4.Напишите формулы Крамера для решения системы линейных уравнений. В каком случае они применяются?

5.При каком условии система линейных уравнений имеет единственное решение?

6.Что можно сказать о системе линейных уравнений, если ее определитель равен нулю?

7.При каком условии однородная систем n линейных уравнений с n неизвестными имеет ненулевое решение?

94

8.В чем состоит метод Гаусса решения и исследования систем линейных уравнений?

9.Какие разновидности метода Гаусса вы знае-

те?

10.Что называется рангом системы линейных уравнений? Как используя метод Гаусса можно найти ранг системы линейных уравнений?

11.Какие неизвестные в системе линейных уравнений и в каком случае называют свободными, а какие базисными? Что называется общим решением системы линейных уравнений?

12.В чем состоит матричный способ решения систем линейных уравнений?

13.В чем отличие функций "solve" и "linsolve" в их применении для решения систем линейных уравнений?

14.Как в Maple реализовать решение системы линейных уравнений по методу Крамера?

15.Какие функции Maple облегчают решение системы линейных уравнений по методу Гаусса?

16.Какие численные методы применяются для решения систем линейных уравнений?

17.Как применить систему линейных уравнений при решении задачи нахождения токов в электрической цепи?

95

Лабораторная работа № 16. РЕШЕНИЕ НЕЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ

И ИХ СИСТЕМ

Цель работы

Изучение теоретических основ методов решения нелинейных уравнений и их систем.

Получение навыков решения нелинейных уравнений и их систем в программе Maple.

Реализация численных и оптимизационных методов решения нелинейных уравнений и их систем, проведение сравнительного анализа точности различных численных методов.

Функции Maple, полезные при выполнении лабораторной работы

Крайне полезной в случае возможности получения аналитического решения нелинейного уравнения или системы нелинейных уравнений является функция "solve". Формат вызова:

solve (eqn, var); – для решения одиночного уравнения, solve ({eqn1, …, eqnn}, {var1, …, varn}); – для решения си-

стемы из n уравнений.

Здесь "eqn" – выражение, соответствующее уравнению; "var" – переменная, относительно которой решается уравнение.

При решении уравнений, содержащих в себе тригонометрические функции, нужно учитывать наличие периодических решений (заметим, что в стандартном варианте функция "solve" выдает только одно решение). Для этого необходимо присвоить системной переменной

96

"_EnvAllSolutions" значение "true", что позволит получать все возможные решения (по умолчанию эта переменная имеет значение "false", что приводит к выдаче только одного из всех периодических значений).

Воспользовавшись функцией "indets", можно полу-

чить желаемое из набора периодических значений.

При невозможности получения аналитического решения уравнения можно попытаться найти его численное решение. Для этого предназначена функция поиска численного решения "fsolve". Формат вызова:

fsolve (eqn, var, opts);

Параметры "eqn" и "var" аналогичны соответствующим параметрам функции "solve", а "opts" дает возможность использовать дополнительные опции. Наиболее полезными являются опция "complex", позволяющая получить численное решение в комплексном виде, а также дополнительное указание интервала, на котором ищется численное решение.

Задание на лабораторную работу

1.Изучите необходимые теоретические сведения

[3, с. 97–166].

2.Выберите один из вариантов из табл. 16.1. Получите аналитическое решение соотвтствующих нелинейных уравнений (при необходимости для представления решения в привычном численном виде воспользуйтесь функцией "evalf").

3.Выберите один из вариантов из табл. 16.2. Найдите решение следующих уравнений, рассматривая в качестве неизвестной сначала переменную "у", а затем переменную "а".

4.Выберите один из вариантов из табл. 16.3. Найдите все значения корней соответствующего уравнения

97

(учтите периодичность решений), выделите отдельные решения из полученного списка и рассчитайте для них первые три с учетом периодичности.

5.Выберите один из вариантов из табл. 16.4. Найдите аналитическое решение соответствующих систем уравнений.

6.Выберите один из вариантов из табл. 16.5. С помощью построения соответствующего графика определите интервалы нахождения действительных корней выбранных нелинейных уравнений и, воспользовавшись функцией "fsolve", найдите эти корни.

Выберите один из вариантов из табл. 16.6 и 16.7.

7.Для выбранного нелинейного уравнения найдите численное решение на заданном отрезке локализации

корня [a, b] с заданной точностью с помощью

–метода половинного деления;

–метода хорд (обеих модификаций);

–метода итераций;

–метода Ньютона;

–метода хорд и касательных.

Найдите аналитическое (если это невозможно – численное) решение рассматриваемого уравнения с помощью стандартных функций "solve" ("fsolve"). Оцените точность решения, достигнутую при реализации указанных численных методов. Сравните количество итераций, потребовавшихся для достижения заданной точности для разных методов.

8. Для метода хорд (модификация алгоритма [3, рис. 3.10]) измените условие окончания итерационной процедуры на условие [3, формула (3.6)]. Оцените, как это повлияет на точность решения и число итераций, необходимых для его получения.

98

9.Для метода половинного деления постройте зависимость количества итераций от ширины исходного интервала (минимум по 4 точкам).

10.Для метода итераций (при использовании формулы (3.15) из [3]) оцените, как изменяется количество итераций при изменении значения константы "с".

11.Если это возможно, расширьте исходный интервал локализации корня таким образом, чтобы были нарушены условия монотонности и постоянства выпуклости функции на этом интервале, но сохранялось условие наличия на нем только одного корня. Опытным путем определите, для каких из рассматриваемых методов это станет критичным для корректного уточнения корня. Во избежание потери устойчивости итерационной процедуры советуем дополнительно в качестве критерия останова использовать превышение максимально допустимого количества итераций.

12.Для выбранного варианта системы нелинейных уравнений, использовав в качестве начального приближения точку (х0, у0), получите решение с заданной точностью

по методу итераций и методу Ньютона. Сравните количество итераций и действительную точность решений (для оценки точности воспользуйтесь точным аналитическим решением), полученных по обоим методам.

13.Для метода итераций постройте зависимость ко-

личества итераций от параметра (в случае использования для расчета итерационной формулы (3.34) из [3]).

14. Для выбранного варианта системы нелинейных уравнений воспользуйтесь для решения оптимизационными методами градиентного спуска с постоянным шагом и покоординатного спуска. Исследуйте влияние выбора начальной точки на достигнутую точность решения, а так-

99

же зависимость достигнутой точности и числа итераций от начального значения шага.

15. Оформите отчет по лабораторной работе.

Таблица 16.1. Задания к теме "Решение нелинейных уравнений и их систем" (часть 1)

100