Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Ивановский Государственный Энергетический Университет им. В.И. Ленина

Предмет:

Спецглавы математики

Файл:

Лабораторная работа - Организация расчетов в системе Maple. Часть 2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

14.04.2015

Размер:

2.44 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Еще одной функцией пакета "student", полезной для понимания процесса интегрирования, является функция "changevar", позволяющая осуществить замену переменных в определенном или неопределенном интеграле. Формат вызова:

changevar (s, f, u);

Здесь "s" – выражение в форме h(x) = g(u), определяющее "х" как функцию "u";

"f" – выражение вида Int(F(x), x = a...b) или Int(F(x));

"u" – имя новой переменной интегрирования.

Maple позволяет рассчитывать не только обычные, но и кратные (например, двойные и тройные) интегралы. При этом функция "int" должна вызываться многократно с указанием соответствующих переменных интегрирования. Для записи кратных интегралов в инертной форме удоб-

но использовать функции "Doubleint" и "Tripleint" из пакета "student".

В случае, если Maple не может взять интеграл или выразить его через стандартный набор элементарных функций, можно применить численное нахождение инте-

грала. Самый простой вариант – воспользоваться функцией "evalf" (оценка результата с использованием вещественной арифметики) применительно к результату вычисления функции "int".

Сочетание функций "evalf" и "int" приводит к численному вычислению интеграла с применением квадратур Кленшо-Куртиса (опция "_NCrule" позволяет провести расчет по квадратурам Ньютона-Котеса), но при желании можно воспользоваться и расчетом с помощью более простых методов. Для этого необходимо использовать либо специальные функции из пакета "student", либо создать свои собственные расчетные процедуры.

Перечислим функции численного интегрирования пакета "student":

"leftsum" – расчет по методу левых прямоуголь-

ников;

"rightsum" – использование правых прямоуголь-

ников;

"middlesum" – интегрирование центральными прямоугольниками;

"trapezoid" – расчет по формуле трапеций;

"simpson" – интегрирование по формуле Симп-

сона.

Общий формат вызова рассмотренных функций:

<имя метода> (f, var = a .. b, n);

Здесь <имя метода> – конкретное имя функции, реализующей указанные методы численного интегрирования;

"f" – подынтегральная функция;

"var" – имя переменной, по которой производится интегрирование;

"a" и "b" – соответственно левая и правая границы интервала, на котором производится численное интегрирование; "n" – число интервалов разбиения исходного интервала (указывать необязательно, по умолчанию n = 4).

Пакет "student" предоставляет полезные средства для визуализации численного интегрирования с исполь-

зованием прямоугольников. Для этого предназначены три функции:

– "leftbox" (графическая иллюстрация интегрирования методом левых прямоугольников);

– "middlebox" (то же, центральные прямоугольни-

ки);

– "rightbox" (то же, правые прямоугольники). Формат вызова указанных функций одинаков:

<имя метода> (f, var = a .. b, n, <options>);

Здесь <имя метода> – конкретное имя функции, реализующей графическую иллюстрацию конкретного метода;

"f", "var", "a", "b" – аналог соответствующих параметров функций численного интегрирования;

<options> – набор дополнительных опций.

Задание на лабораторную работу

Аналитическое вычисление интегралов в Maple

1.Изучите необходимые теоретические сведения

[2, с. 47–71 и 82–97].

2.Выберите вариант задания из табл. 10.1. Найдите соответствующие неопределенные интегралы.

3.Выберите вариант задания из табл. 10.2. Найдите указанные неопределенные интегралы, воспользовавшись при этом инертной формой записи.

4.Выберите вариант задания из табл. 10.3. Вычислите соответствующие определенные интегралы.

5.Выберите вариант задания из табл. 10.4. Рассчитайте указанные определенные интегралы, воспользовавшись при этом инертной формой записи.

6.Выберите вариант задания из табл. 10.5. Найдите соответствующие несобственные интегралы.

7.Выберите вариант задания из табл. 10.6. С помощью функции "intparts" выполните интегрирование по частям для указанных интегралов.

8.Выберите вариант задания из табл. 10.7. С помощью функции "changevar" сделайте замену переменных

всоответствущих интегралах.

9.Выберите вариант задания из табл. 10.8. Рассчитайте соответствующие кратные интегралы.

10. Выберите вариант задания из табл. 10.9. Рассчитайте соответствующие двойные интегралы путем перехода к полярным координатам.

Таблица 10.1. Задания к теме "Аналитическое интегрирование" (часть 1)

№

Интегралы

2 sin x

dx;

5x4

4x2

2x 1

dx;

cos x

x3 2x2 x

x2 4

dx;

x5 ln x6

1 dx;

e 2x sin 3x dx

10 x2 1211

4 cos x

dx;

4x4 3x2

x 2

dx;

3 sin x

x3 4x2 4x

x3 4

dx; x4 ln x5

1 dx;

e 3x cos x dx

9 x2 1110

5 sin x

dx;

3x4 4x2 3x 1

dx;

4 cos x

6x2 9x

x 1

dx;

x2 ln x3

1 dx;

e x sin 4x dx

8 x2

10 9

6 cos x

dx;

2x4

3x2

4x 2

dx;

sin x

x3 8x2

16x

x2 5

dx; x3 ln x4

1 dx;

e 4x cos 2x dx

7 x2 9

7 sin x

dx;

2x2 5x 3

dx;

6 cos x

10x2 25x

x3 6

dx;

x ln x2

1 dx;

e 2x sin 5x dx

6 x2 8

Продолжение табл. 10.1

№

Интегралы

2 cos x

dx;

9x5 8x3 7x2 6

dx;

3 sin x

x4 2x3 x2

x 2

dx;

x5arctg x6

1 dx;

e 3x cos 4x dx

5 x2

3 sin x

dx;

8x5

7x3 6x2

dx;

cos x

4x3 4x2

x2 6

x4arctg x5

1 dx;

e x sin 6x dx

dx;

4 x2 6 5

4 cos x

dx;

7x5

6x3 5x2

dx;

sin x

6x3 9x2

x3 5

x3arctg x4

1 dx;

e 4x cos 3x dx

dx;

3 x2 5 4

5 sin x

dx;

6x5 5x3 4x2 3

dx;

6 cos x

8x3 16x2

x 3

dx;

x2arctg x3

1 dx;

e 2x sin 7x dx

2 x2

6 cos x

dx;

5x5

4x3 3x2

dx;

sin x

10x3 25x2

x2 7

dx; x arctg x2 1 dx;

e 3x cos 5x dx

1 x2 32

Продолжение табл. 10.1

№

Интегралы

3 sin x

dx;

9x5 8x3

6x 5

dx;

2 cos x

x4 2x3

x3 3

x5 arcsin x6 2 dx;

e x sin10x dx

dx;

10 x2 1112

4 cos x

dx;

8x5 7x3

5x 4

dx;

sin x

x4 4x3

4x2

dx;

x4 arcsin x5

2 dx;

e 4x cos 6x dx

9 x2 1011

5 sin x

dx;

7x5 6x3

4x 3

dx;

cos x

x4 6x3 9x2

x2 3

x3 arcsin x4

2 dx;

e 2x sin 9x dx

dx;

8 x2 910

6 cos x

dx;

6x5 5x3

4x 3

dx;

5 sin x

x4 8x3

16x2

x3 7

x2 arcsin x3

2 dx;

e 3x cos 7x dx

dx;

7 x2

7 sin x

dx;

5x5 4x3

2x 1

dx;

x4 10x3

25x2

6 cos x

x 5

dx;

x arcsin x2

2 dx;

e x sin 2x dx

6 x2

7 8

Окончание табл. 10.1

№

Интегралы

2 cos x

dx;

x4 2x2 5x 3

dx;

sin x

2x2 x

x2 2

dx; x5 arccos x6

3 dx;

e 4x cos8x dx

5 x2 6

3 sin x

dx;

2x4 3x2

4x 2

dx;

cos x

4x2 4x

x3 2

x4 arccos x5

3 dx;

e 2x sin 8x dx

dx;

4 x2 5 6

4 cos x

dx;

3x4 4x2 3x 1

dx;

sin x

x3 6x2

x 6

dx;

x3 arccos x4

3 dx;

e 3x cos 9x dx

3 x2 4

5 sin x

dx;

4x4 3x2

x 2

dx;

6 cos x

x2 1

x3 8x2

16x

x2 arccos x3 3 dx;

e x sin x dx

dx;

2 x2

3 4

6 cos x

dx;

5x4 4x2 2x 1

dx;

sin x

x3 10x2

25x

x3 1

dx; x arccos x2

3 dx; e 4x cos10x dx

1 x2 2

Таблица 10.2.

Задания

теме

"Аналитическое интегрирование"

(часть 2)

№

Интегралы

;

cos5 x dx;

arcsin x

1 x2

; sin2 2x dx;

arcctg2x

x3 1 2

1 x2

x dx

; cos4 x dx;

earcsin x

1 x2

x 2

2 dx

; cos

x dx;

x ln4 x

x 1

;

sin3 4x dx;

3arccos x

x4 x2

1 x2

x3 1

dx; cos4 3x dx;

tg2 3x

cos

; sin3 x dx;

arccos x

2 4 2

1 x2

; cos2 3x dx;

arctg3 2x

x2 1 x2

1 4x2

; sin6 x dx;

cos3 x

x2 1 3

sin5 x

x 2 4

cos 3x

dx; cos

2x dx;

sin 3x dx

x 1

;

sin5 3x dx;

ln4 x

x3 1

x2dx

; sin4 x dx;

arccos x

1 x

1 x2

Окончание табл. 10.2

№

Интегралы

; cos2 2x dx;

arctg2x

1 x2 4

1 x2

x 1 2 dx

; sin

x dx;

x ln5 x

x 2

;

cos3

4x dx;

arcsin x

1 x 2

1 x2

; sin4 3x dx;

ctg4 2x

2 9 3

sin2 2x

arcsin x

dx;

cos3 x dx;

1 x2

; sin2 3x dx;

arcctg

1 9x

x dx

; cos6 x dx;

sin4 x

(1 x) x2 1 2

cos6 x

x 1

sin 2x

dx; sin

2x dx; e

cos3x dx

Таблица

10.3.

Задания

к теме

"Аналитическое

интегрирование"

(часть 3)

№

Интегралы

(x 1) dx

/ 2

; ln(3x 8) dx;

2 cos x 3

3 (3x 4)2 3

4 1 3

/ 2

cos x dx

dx;

1 x2 dx;

2 cos x

1 x2 / 3

Продолжение табл. 10.3

№																	Интегралы
	2													5												dx													/ 2			cos x dx
	(x 1)2 ln2 (x 1) dx;																									dx											;					cos x dx

3																		25 x2 3/ 2																							1 sin x cos x
3	0													0				25 x2 3/ 2																					/ 3		1 sin x cos x
																													2 / 3
	1											2			x		2		1										2 / 3										1 sin x
4	x2e x / 2 dx;														x				1				dx;																1 sin x							dx
4	x2e x / 2 dx;																						dx;												1 sin x cos x											dx
	1											1				x4														0					1 sin x cos x
		0																2						x		2		dx								/ 2					sin x dx
5				(x2 2)ex / 2 dx;																				x				dx						;							sin x dx
																																													2
																							16 x									2								1 sin x
		2																0


																																							0
					e2	ln			2		x			2																/ 2									cos x dx
6					e2				2					2						4 x2										/ 2
													dx;																;
																																				5 4cos x

					1					x				0																		0
					1									0																		0
	1																	3																						/ 2		sin x dx
	1																	3																						/ 2		sin x dx
7	(x 1) ln2 (x 1) dx;																				x2						9 x2 dx;
7	(x 1) ln2 (x 1) dx;																				x2						9 x2 dx;															5	3sin x
	0																3																								0	5	3sin x
	0																3																								0
																																						/ 2
	0																6					x2 9																/ 2			1 cos x
8	(x 2)3 ln2 (x 2) dx;																													dx;																		dx
8	(x 2)3 ln2 (x 2) dx;																					x4								dx;											sin x cos x							dx
	1																3					x4																	0 1		sin x cos x
	e										3 / 2						x2												/ 2												dx
	e		x ln2 x dx;								3 / 2						x2												/ 2												dx
9																									dx;
																																															2
															9 x							2																									2
	1											0			9 x							2										0
																																						1 sin x cos x
		1										5																	/ 4												dx
		1		x2e3x dx;								5		25 x								2 dx;							/ 4
10

																																		cos x 1 cos x
		0										0																		0
				1	x							8																			2								cos x dx
				1								8																			2
11								dx;							64 x2 dx;

																																			cos x sin x
				0 x	4 1							0																		0			1		cos x sin x
		2		x3								4																				/ 4									dx
		2		x3								4																				/ 4									dx
12						dx; x2 16 x2 dx;
12						dx; x2 16 x2 dx;
		0 x2 4										0																				/ 6 sin x 1 sin x
	1			x3								3					dx												/ 2											sin x
							dx;																					;																		dx
		x		2 1 2			dx;																					;																		dx
13	0	x		2 1 2								0 9 x2 3/ 2																	/ 4 1 sin x cos x
																											/ 2
		1 x3 x										4		x2 4													/ 2												cos x
14						dx;																dx;																						dx
14						dx;																dx;										1 sin x cos x												dx
		0 x4 1										2		x4															0			1 sin x cos x

<<< < Предыдущая 1 23 / 153 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Спецглавы математики