Лабораторная работа - Организация расчетов в системе Maple. Часть 2

Отметим, что производные при записи дифференциальных уравнений могут задаваться функцией "diff" или оператором "D" (см. [4], глава 1), а выражение "sysODE" должно иметь структуру множества. Также заметим, что производные в записи уравнения отображаются как частные.

Решение дифференциальных уравнений и их систем можно получить в виде разложения в ряд. Для этого необходимо в качестве типа решения указать значение "series". По умолчанию Maple выдает первые 5 членов разложения решения дифференциального уравнения в ряд. При необходимости можно изменить количество членов, воспользовавшись заданием параметра "Order".

В качестве отдельного метода полезно рекомендовать решение с применением преобразования Лапласа (опция "method=laplace"). Существенным преимуществом этого подхода является возможность решать уравнения, в которых встречаются функции Хевисайда и Дирака.

Maple предоставляет дополнительный набор функций по информированию пользователя о процессе решения дифференциального уравнения. Применение функции

"odeadvisor" пакета "DEtools" позволяет классифици-

ровать дифференциальное уравнение и отнести его к конкретному типу (к одному или нескольким, в зависимости от особенностей уравнения). Приведем формат вызова этой функции:

odeadvisor(deq);

или odeadvisor(deq, y(x), [type1, type2, ...], help);

Здесь "deq" – обычное дифференциальное уравнение; "y(x)" – функция, относительно которой разрешается дифференциальное уравнение;

"type1, type2, ..." – необязательная опция, указывает тип или список типов уравнений, с которыми необходимо по-

111

пытаться соотнести уравнение "deq";

"help" – дополнительная опция, требующая выдать на экран ссылки на справочную литературу, связанную с решением "deq".

Для проверки правильности решения дифференциального уравнения Maple имеет специально предназначенную функцию "odetest".

Приведем формат вызова указанной функции: odetest(sol, deq);

или odetest(sol_sys, sys_deq);

Здесь "sol" и "sol_sys" – решения соответственно дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений;

"deq" и "sys_deq" – дифференциальное уравнение или система дифференциальных уравнений.

Функция "odetest" возвращает в качестве ответа значение "0", если указанное при ее вызове выражение действительно является решением обозначенного дифференциального уравнения.

Отметим, что, несмотря на обширные возможности Maple в области аналитического решения дифференциальных уравнений, оно возможно далеко не всегда (например, для большинства нелинейных дифференциальных уравнений). Поэтому если не удается получить такое решение, то полезно попытаться найти его в численном виде.

В таких случаях для решения дифференциальных уравнений в численном виде используется функция

"dsolve" с параметром "numeric" или "type = numeric". При этом решение возвращается в виде специальной процедуры, по умолчанию реализующей широко известный метод решения дифференциальных уравнений Рунге – Кутта – Фелберга порядков 4 и 5 (в зависимости от условий адаптации решения к скорости его изменения). Эта процедура

112

называется "rkf45" и символически выводится (без тела) при попытке решения заданной системы дифференциальных уравнений.

В список параметров функции "dsolve" можно яв-

ным образом включить указание на метод решения,

например опция "method = dverk78" задает решение непрерывным методом Рунге – Кутта порядка 7 или 8. Вообще говоря, численное решение дифференциальных уравнений можно производить одним из следующих методов:

–"classical" – одна из восьми версий классического метода, используемого по умолчанию;

–"rkf45" – метод Рунге – Кутта 4-го или 5-го порядка, модифицированный Фелбергом;

–"dverk78" – непрерывный метод Рунге – Кутта порядка 7 или 8;

–"gear" – одна из двух версий одношагового экстраполяционного метода Гира;

–"mgear" – одна из трех версий многошагового эктраполяционного метода Гира;

–"lsode" – одна из восьми версий Ливерморского решателя дифференциальных уравнений;

–"taylorseries" – метод разложения в ряд Тейлора. Для использования одного из классических методов

необходимо указать опции "type = numeric" и "method = classical [choices]". Здесь "choices" может принимать сле-

дующие значения:

–"foreuler" – обычный метод Эйлера;

–"heunform" – улучшенный метод Эйлера;

–"impoly" – модифицированный метод Эйлера;

–"rk2" – метод Рунге – Кутта второго порядка;

–"rk3" – метод Рунге – Кутта третьего порядка;

–"rk4" – метод Рунге – Кутта четвертого порядка;

–"adambash" – метод Адамса – Бэшфорда;

113

– "abmoulton" – метод Адамса – Бэшфорда – Муль-

тона.

Для любого из классических методов можно задать шаг расчета не по умолчанию, а в явном виде. Для этого надо использовать опцию "stepsize". Для остальных методов (кроме 8 классических) Maple реализует адаптируемые к ходу решения методы, при которых шаг решения h автоматически меняется, подстраиваясь под условия решения. Так, если прогнозируемая погрешность решения становится больше заданной, шаг решения автоматически уменьшается. Более того, система Maple способна автоматически выбирать наиболее подходящий для решаемой задачи метод решения.

В случае получения решения численным способом для графического представления результатов решения дифференциальных уравнений может использоваться функция "odeplot" из пакета "plots". Она используется в следующем виде:

odeplot (s, vars, r, <opt>);

где "s" – запись дифференциального уравнения или системы дифференциальных уравнений, решаемых численно функцией "dsolve";

"vars" – переменные;

"r" – параметр, задающий пределы решения, например, "а .. b" (по умолчанию пределы устанавливаются в –10 .. 10); "оpt" – необязательные дополнительные опции.

Опция "numpoints" позволяет задать количество точек при выводе численного решения. Естественно, что увеличение количества точек приводит к более гладкому виду получаемой кривой.

114

Задание на лабораторную работу

1.Изучите необходимые теоретические сведения

[3, с. 175–285]

2.Выберите один из вариантов из табл. 17.1. Получите аналитическое общее решение соответствующих дифференциальных уравнений первого порядка.

3.Выберите один из вариантов из табл. 17.2. Найдите частное аналитическое решение указанных дифференциальных уравнений первого порядка.

4.Выберите один из вариантов из табл. 17.3. Получите аналитическое общее решение соответствующих дифференциальных уравнений второго порядка.

5.Выберите один из вариантов из табл. 17.4. Найдите частное аналитическое решение указанных дифференциальных уравнений второго порядка.

6.Выберите один из вариантов из табл. 17.5. Аналитически решите соответствующие системы дифференциальных уравнений.

7.Выберите один из вариантов из табл. 17.6. Получите решение соответствующего дифференциального уравнения с помощью разложения в ряд с учетом 5 и 12 членов.

8.Выберите один из вариантов из табл. 17.7. Попытайтесь найти аналитическое решение указанного дифференциального уравнения без и с помощью преобразования Лапласа.

9.Выберите один из вариантов из табл. 17.8. Для соответствующего дифференциального уравнения получите численные решения с помощью функции "dsolve" по всем 14 доступным методам. Для каждого метода рассчитайте значения функции y(2), найдите погрешность расчета по сравнению с аналитическим решением. Сделайте вы-

115

вод о том, какой из методов дал самую высокую точность решения.

10.Выберите один из вариантов из табл. 17.9. Постройте (по отдельности) графики аналитического и численного решения указанного уравнения.

11.Выберите один из вариантов из табл. 17.10. Постройте (по отдельности) графики аналитического и численного решения соответствующей системы уравнений.

12.Выберите один из вариантов из табл. 17.11. Постройте фазовый портрет для указанной системы дифференциальных уравнений в заданном диапазоне изменения переменной х.

13.Выберите один из вариантов из табл. 17.12. Постройте фазовый портрет для дифференциального уравнения второго порядка в заданном диапазоне изменения переменной х.

14.Выберите один из вариантов из табл. 17.13. С помощью программы Maple определите, к какому типу относится это уравнение, получите аналитическое решение с заданным начальным условием у0(х0) и постройте график полученной зависимости на интервале (х0, х0 + d). Получите информацию о ходе решения и проверьте его на правильность с помощью функций "subs" и "odetest".

15.Для выбранного уравнения получите численное решение с помощью собственных реализаций следующих методов:

–метод Эйлера;

–улучшенный метод Эйлера;

–метод Адамса;

–метод Рунге-Кутта.

Интервал решения принять равным (х0, х0 +d), шаг численного интегрирования – d/10. Для каждого из методов совместите на графиках аналитическое и численное решение,

116

а также рассчитайте погрешность численного решения и отобразите ее на графике. Сделайте вывод о точности рассмотренных методов.

16.Для каждого из рассмотренных методов из п. 15 повторите расчет для нескольких значений шага интегрирования (не менее 5 значений). Постройте зависимость максимальной погрешности для каждого метода в зависимости от шага интегрирования.

17.Для каждого метода из п. 15 опытным путем (в предположении, что точное аналитическое решение неизвестно) найдите шаг численного интегрирования, дающий абсолютную погрешность решения не больше 0,002. Сравните полученные данные, сделайте выводы.

18.Выберите один из вариантов из табл. 17.14. Повторите задания п. п. 14 – 17 (примените методы Эйлера и Рунге-Кутта, начальные условия заданы как у0(х0) и

у'0(х0)).

19.Выберите один из вариантов из табл. 17.15. По-

вторите задания п. п. 14 – 17 (примените методы Эйлера и Рунге-Кутта, начальные условия заданы как у0(t0) и x0(t0), интервал решения – (t0, t0 +d)).

20. Оформите отчет по лабораторной работе.

Таблица 17.1. Задания к теме "Решение дифференциальных уравнений" (часть 1)

117

118

Таблица 17.2. Задания к теме "Решение дифференциальных уравнений" (часть 2)

119

10

2y 3y cos x e2x (2 3cos x) / y при y(0) = 1; y xy x3 при y(0) = 3

113(xy y) xy2 при y(1) = 3; y 3y / x 2 / x3 при y(1) = 1

12y y 2xy2 при y(0) = 1/2; y 2xy / 1 x2 1 x2 при y(1) = 3

120