2.2. Разложение сигналов в обобщенный ряд Фурье

Введем в пространстве L₂(T) базис {ψ_i(t)}. Для упрощения последующих вычислений будем полагать, что он ортонормированный, т.е. отвечает условию

.

Тогда любую функцию х(t) из L₂(T) можно представить через проекции C_i вектора на оси базиса – функции {ψ_i(t)} обобщённым рядом Фурье . (2.1)

Для нахождения проекций C_j, называемых также коэффициентами разложения х(t) в обобщенный ряд Фурье, вычислим скалярное произведение

Таким образом

.

Получим еще одно важное соотношение

являющееся частным случаем равенства Парсеваля.

Контрольные вопросы

1. Что понимают под «пространством сигналов»?

2. Какие пространства называют метрическими?

3. Что такое «метрика» пространства и каким требованиям она должна удовлетворять?

4. Какие пространства называют линейными?

5. Сформулируйте аксиомы линейного пространства.

6. Каковы условия линейной независимости векторов?

7. Что такое «линейная оболочка» векторов ?

8. Что такое «базис» в пространстве L?

9. Что называют координатами (проекциями) вектора по заданному базису?

10. Какие пространства называют нормированными?

11. Что представляет собой норма вектора и каким требованиям она должна удовлетворять?

12. Какой физический смысл имеет норма сигнала в пространствах L₂(T) и L₂()?

13. Что представляет собой скалярное произведение векторов и какими свойствами оно обладает?

14. Как определяют «угол» между векторами (сигналами)?

15. Приведите примеры пространств со скалярным произведением. Как оно вычисляется в этих пространствах?

16. Как скалярное произведение порождает норму и метрику?

17. Что называют обобщённым рядом Фурье?

18. Как вычисляют коэффициенты разложения в обобщённый ряд Фурье?

19. Напишите равенство Парсеваля и дайте ему физическую трактовку.

2.3. Спектральное представление сигналов Спектры периодических сигналов

Периодическими называют сигналы, обладающие следующим свойством

x(t) = x(t – kT), где Т – период, k = 0, ±1, ±2, ±3,… .

Как известно, такие функции (если они удовлетворяют известным из математики условиям Дирихле, которые для интересующих нас случаев всегда выполняются) можно представить суммой тригонометрического ряда (ряда Фурье)

, (2.2)

где , ,

.

Форма (2. 1) ряда Фурье удобна с точки зрения простоты вычисления коэффициентов разложения a_k и b_k . Ряд Фурье можно записать иначе

, (2.3)

где , , ,

.

Совокупность амплитуд A_k называют амплитудным, а совокупность фаз _k – фазовым спектрами. Их можно изображать графически (рис. 2.1). Амплитудный и фазовый спектры сигнала в совокупности однозначно определяют его форму (временную зависимость).

Ak A1 A0 A2 A3 A5 A4 A6 A7 0 F1 2F1 3F1 4F1 5F1 6F1 7F1 f k 1  4 6 3 7 0 f 2 5 Рис. 2.1. Амплитудный и фазовый спектры

Наиболее компактной является запись ряда Фурье в комплексной форме

, (2.4)

где .

Комплексный спектр (2.4) можно интерпретировать как представление x(t) в виде сумм спектральных составляющих , каждая из которых представляет собой пару гармонических колебаний с половинной амплитудой на положительной (+|k|₁) и отрицательной (–|k|₁) частотах. Для вещественных функций x(t)

– амплитудный спектр – чётная функция частоты,

– фазовый спектр – нечётная функция частоты.

Сопоставляя (2.2) и (2.4) с (2.1), нетрудно убедиться, что ряд Фурье является частным случаем обобщённого ряда Фурье при выборе в качестве базиса совокупности тригонометрических или экспоненциальных функций.

Выводы

1. Математическим аппаратом спектрального анализа периодических сигналов являются ряды Фурье.

2. Спектры периодических сигналов дискретные (линейчатые), представляют собой совокупность амплитуд и фаз гармонических колебаний (составляющих) следующих по оси частот через интервалы Δf = f₁ = 1/T.

3. Ряд Фурье является частным случаем обобщенного ряда Фурье при использовании в качестве базиса

или .