Форма компонентных и топологических уравнений одинакова для боль­ шинства систем различной физической природы, что обусловлено аналогией разнородных физических подсистем.

Компонентные уравнения специфичны для каждого конкретного элемента физической подсистемы. Это могут быть уравнения линейные или нелинейные, алгебраические, обыкновенные дифференциальные или интегральные. Компо­ нентные уравнения получают либо на основе фундаментальных законов приро­ ды, либо теоретическим или физическим макетированием, либо математиче­ ским моделированием на микроуровне. Нахождение компонентных уравнений - задача нетривиальная и трудоемкая, но решение этой задачи осуществляется однажды.

Топологические уравнения получают на основе сведений о структуре объ­ екта и разрабатывают в связи с этим для каждого нового объекта вновь. Фор­ мирование топологических уравнений во многом формализовано.

Разработку математической модели методом прямой аналогии разбивают на ряд этапов:

1.Выделяют в исходном объекте однородные физические подсистемы (механическую, гидравлическую, электрическую и т д.)*

2.Строят эквивалентные схемы для каждой из подсистем.

3.Устанавливают связи между подсистемами и объединяют подсистемы в

одну.

4.По объединенной эквивалентной схеме пишут математическую модель объекта.

1.1.3. Выделение в исходном объекте однородных физических подсистем

Процесс разделения исходного объекта на подсистемы, однородные по протекающим в них физическим явлениям, требует определить законы и фазо­ вые переменные для каждой из подсистем, найти аналогии между ними.

В прошлом искали аналогии новым и мало изученным в то время элек­ трическим явлениям в области более известных механических, гидравлических и тепловых явлений. В наши дни мы ищем уже в электротехнике аналогии дру­ гим физическим явлениям. Первыми были разработаны электромеханические аналогии.

Первая система электромеханических аналогий была создана Максвел­ лом (1831 - 1879). Он принял в качестве обобщенных координат в электриче­ ской подсистеме электрические заряды. В соответствии с этим в первой систе­ ме электромеханических аналогий переменная потока (/) в эквивалентной схеме

-аналог скорости (и) в механической подсистеме, а переменная потенциала (if)

-аналог силы (F).

Позже была введена вторая система электромеханических аналогий, при которой переменная потока в эквивалентной схеме (/) является аналогом силы

(F) в механической системе, а переменная потенциала (U) —аналогом скорости (v).

где h - ток в ветви;

п - количество ветвей, образующих узел.

Уравнение второго закона Кирхгофа указывает, что сумма падений на­ пряжений на элементах схемы при их обходе по произвольному конту ру равна нулю (уравнение непрерывности), т.е.

свойство инерционности; пружины, отображающие свойство упругости; эле­ менты сопротивления, отображающие потери механической энергии на трение.

Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента со­ противление отражает зависимость силы сопротивления от скорости скольже­

Для отображения упругости участка типа стержня при его растяжении или сжатии жесткость пружинного элемента определяется выражением

фа в механической поступательной системе выступает уравнение равновесия сил, действующих на рассматриваемое тело (уравнение равновесия). Это урав­ нение выражает принцип Даламбера.

стей, в соответствии с которым сумма абсолютной, относительной и перенос­ ных скоростей равна нулю (уравнение непрерывности).

1 > , = о.

( 1.11)

где v j - скорость движения.

Механическая вращательная подсистема

Основными фазовыми переменными механической вращательной под­ системы являются моменты М и угловые скорости о), аналоги соответственно токов и напряжений.

Основными элементами этой подсистемы являются масса, отображающая свойство инерционности; пружина, отображающая свойство упругости; сопро­ тивление, отображающее потери механической энергии на трение.

Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента со­ противление отражает зависимость момента сил сопротивления от круговой

лового ускорения (основное уравнение динамики вращательного движения):

Гидравлическая (пневматическая) подсистема

Основными фазовыми переменными гидравлической (пневматической) подсистемы являются поток жидкости (расход) Q и давление жидкости Р - аналоги соответственно токов и напряжений.

Основные элементы этой подсистемы - масса, отображающая свойство инерционности жидкости; пружина, отображающая свойство упругости гид­ равлических полостей; сопротивление, отображающее потери энергии при те­ чении жидкости по трубопроводам.

Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента сопротивление отражает потери энергии при ламинарном течении жидкости по

ваемого на сжимаемость жидкости в некотором объеме, с изменением перепада давления на этом элементе:

фа в гидравлической подсистеме выступает уравнение равновесия в узлах схе­ мы, т.е. сумма всех расходов, притекающих или утекающих от узла, равна ну­ лю.

где Qk- расход жидкости, подтекающей к узлу или оттекающей от него. Аналогом второго закона Кирхгофа является уравнение неразрывности

подсистемы, т.е. сумма падений давлений при обходе по замкнутому контуру

где Р j - падение давления на ветви, входящей в контур.

Тепловая подсистема

Основными фазовыми переменными тепловой подсистемы являются теп­ ловой поток Ф и температура 0 - аналоги соответственно токов и напряжений.

Основные элементы этой подсистемы - участки среды, которые обладают теплоемкостью Ст и теплопроводностью .

Компонентные уравнения основных элементов. Уравнение элемента теп­ лопроводность отражает зависимость теплового потока при кондукционном и конвекционном теплообмене от перепада температуры на этом элементе. Из за­ конов Фурье и Ньютона

1.1.4. Построение эквивалентной схемы

Эквивалентная схема объекта, являющаяся графическим отображением реального объекта, дает представление о структуре системы.

Построение эквивалентных схем каждой из подсистем складывается из ряда этапов.

Получение исходной схемы

Исходной схемой может служить кинематическая схема объекта или его принципиальная схема. На рис. 1.1 представлен пример принципиальной схе­ мы системы трех грузов на пружинах.

Рис. 1.1. Принципиальная схема трех грузов

Переход от принципиальной схемы к схеме механической цепи

Переход от принципиальной схемы к схеме механической цепи является наиболее ответственным этапом процесса математического моделирования фи­ зических объектов методом прямой аналогии. Суть перехода заключается в вы­ делении существенных физических явлений, происходящих в реальном объекте и оказывающих решающее влияние на его поведение. Каждое из физических явлений отображается в виде графического элемента механической цепи. Вы­ деленные элементы соединяются друг с другом линиями взаимного влияния сил и скоростей, возникающих в результате внешнего воздействия. Полученная совокупность взаимосвязанных элементов представляет собой схему механиче­ ской цепи системы. В некоторых случаях этот этап не выполняют графически, а сразу от принципиальной схемы переходят к эквивалентной схеме. Однако мысленный процесс выделения элементов всякий раз оказывается необходи­ мым. Для графического изображения элементов механической цепи применя­ ются специальные обозначения [22, 30, 31, 32]. Некоторые из них приведены в табл. 1.2.

Этап перехода от принципиальной схемы к схеме механической цепи раз­ бивается на две фазы.

В первой фазе производится выделение существенных физических явле­ ний в реальном объекте. В реальном физическом объекте нет участков, которые бы характеризовались только каким-либо одним физическим явлением и кото­ рые можно было изобразить одним графическим элементом механической

Здесь отражены: упругость пружин элементами С„ инерционность гру­ зов элементами /я„ трение грузов о плоскость линейными элементами /?,. Ос­ тальными физическими явлениями пренебрегли из-за их малого влияния на движение грузов.

Переход от механической цепи к эквивалентной схеме

Переход от механической цепи к эквивалентной схеме имеет во многом формальный характер и осуществляется заменой элементов механической цепи элементами эквивалентной схемы. Целью данного перехода является получение единообразной системы графических элементов для всех выделенных разно­ родных физических подсистем, что позволит в дальнейшем объединить их в единую систему и составить по ней систему уравнений, описывающую дина­ мику исходного объекта. Для эквивалентной схемы нет однозначной системы терминов и обозначений. За основу берутся терминология и теория электриче­ ских цепей, что позволяет использовать хорошо разработанные в электротехни­ ке методы анализа и синтеза таких цепей.

Можно указать ряд правил, которыми следует руководствоваться при составлении эквивалентных схем различных физических объектов:

1.Эквивалентная схема состоит из множества ветвей и множества узлов.

2.Каждая ветвь относится к одному из пяти возможных типов: ветвь ис­ точника потенциала, ветвь источника потока, ветвь емкостная, ветвь индуктив­ ная и ветвь резистивная. Графическое изображение основных элементов экви­ валентной схемы, основой которых служат условные обозначения элементов электрической цепи, приведено в табл. 1.3.

3.Каждому узлу эквивалентной схемы соответствует определенное зна­ чение потенциала ср, а каждой ветви - комбинация значений потенциалов и по­ тока V = Дф, I. Потенциалы и потоки в ветвях являются фазовыми переменны­ ми, которые образуют вектор неизвестных в математической модели и характе­ ризуют поведение объекта.

4.Каждой ветви соответствует выражение I = f(U), связывающее фазо­ вые переменные на этом элементе и называемое компонентным уравнением. Каждый тип ветви характеризуется своей формой компонентного уравнения. Компонентные уравнения ветвей источников потока и потенциала представ­ ляют собой функцию величины внешнего воздействия от времени /.

Емкостная ветвь является дифференцирующим звеном, а компонентное уравнение представляет собой обыкновенное дифференциальное уравнение.

Таблица 1.3

Графическое обозначение элементов эквивалентной схемы

Индуктивная ветвь является интегрирующим звеном, а компонентное уравнение представляет собой интеграл:

Компонентное уравнение резистивной ветви представляет собой алгеб­ раическое уравнение:

Компонентные уравнения обладают свойством обратимости их значений и аргументов. При наличии зависимости величин коэффициентов в компонент­ ных уравнениях С, L, R от значений фазовых переменных /, U говорят о зави­ симых ветвях.

5.Соединение ветвей в схеме должно отражать взаимодействие элементов в системе.

Процесс замены элементов механической цепи элементами эквивалент­ ной схемы может производиться по методу двухполюсников или по методу че­ тырехполюсников, он зависит также от того, какую систему аналогий мы вы­ брали для каждой физической подсистемы.

При использовании метода двухполюсников каждый элемент механиче­ ской цепи заменяется двухполюсным элементом эквивалентной схемы, пред­ ставляющим собой ветвь с двумя полюсами.

При использовании метода четырехполюсников элементы механической цепи заменяются четырехполюсниками эквивалентной схемы. Четырехполюс­ ник представляет собой электрическую цепь, состоящую из двух ветвей и имеющую две пары полюсов, причем протекающие через них токи попарно равны по величине и противоположны по направлению. В табл. 1.4 приведены примеры замещения элементов механической цепи элементами эквивалентной схемы при использовании метода четырехполюсников и компонентные уравне­ ния соответствующих элементов относительно физических координат.

Таблица 1.4 Примеры замещения элементов механической цепи и эквивалентной

схемы