- •С.П. Никитин
- •Никитин С.П.
- •ВВЕДЕНИЕ
- •1. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •1.1. Основы метода прямой аналогии
- •1.1.1. Сущность метода
- •1.1.2. Основные принципы метода прямой аналогии
- •1.1.3. Выделение в исходном объекте однородных физических подсистем
- •1.1.5. Установление связей между подсистемами
- •1.2.2. Проверка корректности
- •1.2.4. Линеаризация нелинейных уравнений
- •I.2.S. Построение линейной системы уравнений
- •2. МЕТОДЫ АНАЛИЗА ФИЗИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ ПО МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ
- •2.1. Схема анализа физической системы по математической модели
- •2.3.6. Расчет частотных характеристик по передаточной функции системы
- •3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ УЗЛОВ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
- •3.1. Моделирование рычажной системы
- •3.2. Моделирование взаимодействия твердых тел
- •3.2.1. Особенности моделирования динамики твердых тел
- •3.2.4. Моделирование взаимодействия двух твердых тел
- •4.1. Пример моделирования шпиндельного узла
- •4.5. Разработка математической модели плоскодоводочного станка «Растр»
- •4.6. Разработка математической модели тепловых процессов при резании
- •5. АНАЛИЗ ВЛИЯНИЯ ПРОЦЕССА РЕЗАНИЯ НА ДИНАМИКУ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СИСТЕМЫ
- •5.1. Влияние параметров процесса резания на устойчивость системы с одной степенью свободы
- •5.2. Влияние параметров процесса резания на вынужденные колебания динамической системы с одной степенью свободы
- •ЗАКЛЮЧЕНИЕ
- •Список литературы
- •Оглавление
2.3.6. Расчет частотных характеристик по передаточной функции системы
Частотные характеристики являются основой для анализа вынужденных колебаний и устойчивости замкнутой системы [18, 24, 28]. Методы частотного анализа эффективны как для непрерывных, так и для дискретных систем.
Частотные характеристики могут быть построены по передаточной функ ции системы
bmS m+bm_lS m~ ' + - +bxS +b[i |
(2.43) |
|
Ф(5) = |
+ a{) |
|
anSn + <V i ‘S,w~l + • • *+ |
|
|
где aiybt - коэффициенты передаточной функции;
т- порядок числителя передаточной функции;
п- порядок знаменателя передаточной функции.
Для реальных физических систем всегда выполняется условие т<п.
Для определения частотных характеристик необходимо передаточную функцию перевести в частотную область. Это осуществляется применением к ней преобразования Фурье, что сводится к формальной замене S в передаточ ной функции наусо. После преобразования Фурье получим
ф( /(0) = *-(./«>)" + .б„, |
(2.44» |
Отделяя в числителе и знаменателе выражения для Ф(/ш) вещественную часть от мнимой, можно записать
Ф(Ум) = |
а((о) + jb( со) |
(2.45) |
|
с(о)) + jd( со)
Это выражение можно представить на основе комплексной арифметики в виде двух слагаемых:
ч |
ac + bcI . b c -a d |
|
ф(усо) = |
~тг + J |
(2.46) |
|
с~ +d~ |
с +d |
Или |
иначе |
|
|
Ф(у‘ю) = Р(со) + jQ( со) = А(т)ем<а), |
(2.47) |
где Р((й) |
- действительная частотная характеристика системы; |
|
Q(со) |
- мнимая частотная характеристика системы; |
|
А((й) |
- амплитудно-частотная характеристика системы; |
|
ф(со) |
- фазочастотная характеристика системы. |
|
Формулы, позволяющие найти частотные характеристики по известной передаточной функции Ф(5), при S =уш имеют следующий вид:
ac + bd
bc-ad
Q(©) =
(2.48)
А(а>)
\ c 2+d2’
ф(со) = arctg bc-ad ac-\-bd
Функции P(iо) и е(ш) связаны с функциями Л(ю) и ср(со) соотношениями
Р(со) = Л соб(ф);
0 ( со)= Л бш(ф);
(2.49)
А(<о) = ^ Р 2+Q2-
<р(го) = arctg
Схема алгоритма вычисления частотных характеристик показана на рис.
2.18.
3. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ТИПОВЫХ УЗЛОВ ФИЗИЧЕСКИХ СИСТЕМ
3.1. Моделирование рычажной системы
Рычажная система представляет собой три груза, соединенных пружина ми и двумя рычагами, имеющими неподвижные оси вращения. Расчетная схема такой системы показана на рис. 3.1. В ней пружины представлены жесткостями
Рис. 3.1. Принципиальная схема рычажной системы
С|, Сг, Сз, грузы - массивами, имеющими массы mb т 2, т 3, а рычаги - невесо мыми, абсолютно жесткими элементами. Плечи рычага обозначены как ап Ь,.
При моделировании методом прямой аналогии рычажная система долж на быть разделена на три поступательных механических подсистемы, связь ме жду которыми осуществляется посредством рычагов и характеризуется переда точным отношением к{= Ъ-J ah
Схема механической цепи рычажной системы представлена на рис. 3.2.
Рис. 3.2. Механическая цепь рычажной системы
Для построения эквивалентной схемы рычажной системы используем вторую систему аналогий. Формальные правила замены элементов механиче ской цепи элементами эквивалентной схемы позволяют получить эквивалент ную схему, показанную на рис. 3.3.
с А |
сЛ |
J |
> /И |1 |
1 |
m i : |
qv |
0 |
0Р 0 |
(j |
JL F ] |
ELF у |
JLF ^ ELF 1 |
|
Рис. 3.3. Эквивалентная схема рычажной системы
Взаимодействие между подсистемами на эквивалентной схеме отражено включением фиктивных источников типа потока JLF и типа потенциала ELF, которые обеспечивают трансформаторный тип связи.
По эквивалентной схеме, используя метод узловых потенциалов, легко получить математическую модель рычажной системы, которая описывает ди намические процессы в рычажной системе и представляет собой систему из трех обыкновенных дифференциальных уравнений:
тхх , + Схх х+ (ххкхС2 - х2кхС2) = О, |
|
т2 х 2 +(х2 - к ххх)С2 + (х2к\С3 ~ х 3к2С3) = 0, > |
^ .1 ) |
т3х 3 + (х3С3 к2С3х2) —F ,
где /и1.2.3 - массы грузов, кг; С|.2.з - жесткости пружин, соединяющих грузы, Н/м;
^1.2 - передаточные отношения рычагов. После преобразований получим:
тхх х+ хх(Сх+ кхС2) - х 2кхС2 =0;
т2 х 2- ххкхС2 + х2(С2 + к;С3) - х3к2С3= 0;
т3х 3- х2к2С3 + х3С3= F.