Математическая модель взаимодействия твердого тела и материальной точки, построенная по эквивалентной схеме (см. рис. 3.10) и на основе исход­ ных данных, приведенных в табл. 3.3, будет иметь следующий вид:

/я, х, + Схх, + (х;. - Xj)СЬ + (ую - )Ф2/СЬ = 0,

где mt j - инерционные массы твердого тела и материальной точки; Ji - момент инерции твердого тела;

x(J - обобщенные координаты твердого тела и материальной точки; XiуХjyipj —обобщенные линейные и угловые ускорения;

С „С ф - жесткости связи между твердым телом и базой; С ь - жесткость связи между твердым телом и материальной точкой;

Ую»Уко - исходные координаты центра масс и точки контакта твердого тела.

3.2.4.Моделирование взаимодействия двух твердых тел

Вбольшинстве случаев достаточно рассмотреть это взаимодействие в плоскости, когда каждое тело имеет три степени свободы (рис. 3.11).

Рис. 3.11. Принципиальная схема взаимодействия двух твердых тел с учетом упругости контакта

Каждое из твердых тел имеет возможность поступательного перемеще­ ния по осям х у и вращательного движения вокруг оси z.

Уравнения преобразования координат в этом случае будут выглядеть так:

33. Моделирование изгиба стержня

В некоторых случаях при моделировании узлов металлорежущих стан­ ков возникает необходимость учесть распределенные свойства жесткости эле­ ментов, в этом случае используют заменяющие модели в виде упругих элемен­ тов (стержней) с сосредоточенными инерционными параметрами [14, 20]. Примером может служить моделирование шпиндельного узла, станины токар­ ного станка и т.п.

Прогиб участка стержня постоянного сечения (рис.3.13) [14] описывается

Рис. 3.13. Схема усилий и моментов на концах стержня по­ стоянного сечения при изгибе от распределенной нагрузки q

дифференциальным уравнением в частных производных:

(3.13)

dx = ?(*).

где Е - Модуль упругости материала; J - момент инерции сечения;

у - величина прогиба;

q - нагрузка, распределенная по длине стержня;

х —координата точки по оси х, в которой определяется прогиб.

Для решения данного уравнения используется метод конечных разностей, то есть часты е производные, входящие в дифференциальное уравнение изгиба, заменяются конечными разностями, что приводит к системе алгебраических уравнений/ Дифференциальное уравнение при этом удовлетворяется дискретно.

где S - площадь поперечного сечения стержня; / - распределенная осевая нагрузка;

и- относительные смещения текущей точки стержня по оси х;

х- координата текущей точки стержня по оси х;

хij - относительные смещения концов стержня по оси х; N - растягивающие усилия в текущей точке стержня; Njj - растягивающие усилия на концах стержня.

При кручении и растяжении стержня выражения связи силовых факторов с перемещениями концов совпадают с уравнениями пружины, поэтому в моде­ ли кручение и растяжение стержня отражаются аналогично кручению и растя­ жению пружины.

Изгиб стержня. При моделировании изгиба стержня необходимо учесть взаимосвязь перемещения по координате^ с углом поворота ср.

Принципиальная схема связей силовых факторов и перемещений концов при изгибе стержня показана на рис. 3.16.

r \ J‘

Г Т >

j=о-

Q o у

Рис. 3.16. Принципиальная схема связи между силовыми факторами и перемещениями концов при изгибе стержня

Уравнения связи (3.15) с учетом направленности усилий и моментов, а также выбранной системы координат будут иметь следующий вид: