3.2.Моделирование взаимодействия твердых тел

Причиной одновременного поступательного и вращательного движения твердых тел в пространстве является несовпадение точек приложения связей или усилий с центрами масс, что приводит к возникновению вращательных мо­ ментов. Для отражения этих явлений необходимо учесть взаимодействие по­ ступательных и вращательных движений с помощью уравнений приведения линейных и угловых перемещений центра масс (/) к точке контакта твердых тел

(к) [20]. В общем случае при моделировании в пространстве эти уравнения бу­ дут иметь вид

** = Xj +(zt - Z j )фй + (yj - у кypZJ, Ук = y j +(zj ~ zk)<Pxj +(xk - Xj )<p9 ,

2к = 2j + (y k - y j )(pxj +(Xj - Xk)(pw ,

Фд* = фд,> фyk =Ф»> Фг*=Фг>.

где xkiy k,zk- линейные перемещения точки к по осям JC, у, z соответственно; Ф*а »Ф2* - угловые перемещения точки к относительно осей х, у, z соответ­

ственно;

xj ’?j>zj ~ линейные перемещения центра масс твердого тела j по осям х,у, z соответственно;

WxjWyjWzj - угловые перемещения центра масс твердого тела j по осям х,у, z соответственно.

Обратное взаимодействие отражается с помощью уравнений приведения сил и моментов, действующих в точке к, к центру массj.

(3.4)

Фч = Ф,* +(zj ~ 2к)Ук +(Ук -yj)4>

Фyj = Фук+(2к~ 2J)хк + (Xj - хк )zk,

Фу - Фг* + 0 ', ~ Ук )хк +{хк -X j)yk.

Обычно при взаимодействии двух твердых тел необходимо учесть упру­ гость в точке контакта, при этом сами твердые тела считают абсолютно жест­ кими (рис. 3.5).

Рис. 3.5. Взаимодействие двух твердых тел при учете упругости контакта

Взаимодействие двух твердых тел с упругим контактом приводит к де­ формации контакта согласно (3.3) и воздействию появляющейся упругой силы на поведение центра масс согласно (3.4). То есть усилия упругого контакта на точки ки убудут следующими:

^i42 ~~FA\ = —(**l _ Z*2 )Cj =

= - z , C . - ( y 41 - у , ) ф „ С . - ( x , - x 4 l ) V > i C . + z y C . + ( y 42 - у у ) ф „ С . + ( x y - х , 2 ) ф и С . .

Моменты от упругих сил в контакте будут определяться выражениями:

+(x, - x 4 ,)z(C. +(x, - x41 )(ytl -y ,)v „C . +(x, - x 4 l)2 Vy,Cy -

“<*. -x „)zyC. -(x, -x„)(y 12 - y , )<pvC. -(x, - x 4 ,Xx; - х ,2 )фиС„

M ~, =(z, - z*. )JF>, + (y t , - y ,)F M =

+(Уп ~ У,)z,С. + (у4| - у ,) 2Ф„С. + (y4, - у ,Xx, - х 4,)ф„С. -

”(Л| “ Л)г,С. - ( у 4| -y ,)(y 42 -У,)<РЧС. - ( у 4, -у,)(х, - х 42)фиС.,

w *.-. = (У, - Л |) ^ | +(*ti - * ,) /> =

Мщ#- (zk2 - Zj )Fjk2 +(Xj xk2)F*2 -

~ ~ i z 4 ~ Z J ) X I C J ~ ( z t2 ~ Z j X Zkl ~~Zl X ? y i ^ x + ( Zk2 ~ Zj X y , ~ У к \ № * С х +

+ (zk2- ZJ)* £ X ~(zk2- Zj) 2V*Cx + (Zk2~ ZjXyj “ Л,)ф*Сж-

“(*, - Xk2)ztc x -{Xj - x k2Xykt - y t)Vx>Cx - ( Xj - x k2Xx, -х А1)ф^С, +

+(x; - x k2)ZjCz + ( X j - x k2Xyk2 - уJXVJ C; +(Xj - х н )2ф^Сх,

+0*2 ~ y ^ ZJCz +(>'« - ^ ) 2Ф Л +(У« -> iXxi "*И)ф*С,.

=(.Уу —^*2 )^J*2 +(Хк2 ~ Ху )Fyk2=

+(*« - Xj )yj Cy +(xk2-X JXZJ - г к2)^^Су +(xk2Xj)2<?9Cy.

Для частных случаев выражения усилий и моментов, отражающих взаи­ модействие двух твердых тел, могут быть получены из общего случая путем вычитания отсутствующих координат. Метод прямой аналогии позволяет вы­ борочно подходить к процессу моделирования и отражать только те усилия и моменты, которые существенно определяют динамические процессы в системе. Это позволяет значительно сократить размерность задачи и число уравнений. Рассмотрим некоторые, наиболее часто встречающиеся на практике, случаи.

3.2.2, Моделирование твердого тела на абсолютно жесткой опоре

Принципиальная схема твердого тела на абсолютно жесткой опоре пред­ ставлена на рис. 3.6.

Если рассматривать колебания твердого тела в плоскости хОу, в которой действует возмущающая сила, то для характеристики достаточно трех уравне­ ний, которые описывают колебания по осям х у и вокруг оси z.

Уравнения преобразований (3.5), (3.6) с учетом указанных координат бу­ дут иметь следующий вид:

Fxki =xiCJ +(yi - y kl)^xiCxt

F —У,Су +(х*, хх)<р#СуУ

(3.8)

=(>, ->»,)х,С, + (> ,- у „ ) '* аС, +

(х*1 —х( Ху(Су + (х4) —*|) ФлСу.

х

Рис. 3.8. Эквивалентная схема твердого тела на абсолютно жесткой опоре

Здесь движение по каждой независимой координате рассматривается как подсистема, а взаимодействие между подсистемами отражено включением фиктивных источников типа ELF и JLF, обеспечивающих трансформаторный тип связи.

Математическая модель, описывающая динамику твердого тела на абсо­ лютно жесткой опоре и полученная по эквивалентной схеме (см. рис. 3.8) по методу узловых потенциалов, будет представлять собой систему трех диффе­ ренциальных уравнений:

Исходные данные для программы PAN приведены в табл. 3.2.