Часть III

ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ФУНДАМЕНТОВ

СГРУНТАМИ ОСНОВАНИЙ

ВУСЛОВИЯХ ДИНАМИЧЕСКИХ НАГРУЗОК

Работа фундаментов всех инженерных сооружений в условиях динамических нагрузок определяется четырьмя основными группами факторов: 1) параметрами динамической нагрузки и схемой ее передачи сооружению; 2) свойствами грунтов основания; 3) характером сопряжения фундамента с основанием; 4) материалом и конструкцией самого фундамента.

Схема передачи возбуждения определяется типом и местоположением источ­ ника. Возможны три варианта.

I. Грунт —►сооружение. Динамическое возмущение передается сооружению через грунты основания. Эта схема соответствует: а) сейсмическому толчку, б) рас­ пространению волн при наземном или подземном взрыве, в) колебаниям от дви­ жения тяжелого транспорта вблизи сооружения, г) распространению колебаний от расположенного рядом другого сооружения с динамическими нагрузками, и, наконец, д) комбинации разных источников: например, постоянно существующему вибрационному полю крупных городов.

II. Сооружение <— ►грунт. Динамическая нагрузка от сооружения передается грунтам основания. Схема соответствует: а) условиям работы фундаментов машин (наиболее общий случай), б) ветровым нагрузкам на сооружения, в) волновому воздействию на акваториях (например, на буровые вышки).

III. Сооружение —►грунт. Схема соответствует динамическим нагрузкам при наложении полей вибрации от разных источников (например, работа фундаментов машин в сейсмичных районах, ЛЭП вблизи крупных транспортных магистралей и т.д.).

Важность схемы передачи динамической нагрузки обусловлена, в первую очередь, фильтрующими свойствами грунтов по отношению к колебаниям разных частот.

При рассмотрении свойств грунтов основания для сооружений с динамичес­ кими нагрузками следует иметь в виду два основных аспекта проблемы. Во-первых, это снижение несущей способности грунта по сравнению со статическими условия­ ми. На практике подход к этому вопросу является весьма упрощенным и приводит к введению в расчеты завышенных «перестраховочных» коэффициентов запаса, что существенно повышает стоимость строительства. Во-вторых, это динамичес­ кие свойства грунтов как среды распространения колебаний (в основном — его демпфирующие и фильтрующие свойства). Фундамент, находящийся под действием динамических сил, является колебательной системой (массив на упругих опорах), имеющей определенные частоты собственных колебаний, зависящие от массы фун­ дамента и жесткости опор (основания). Последняя описывается комплексными функциями частоты — механическими импедансами грунта К {и), характеризующи­ ми сопротивление основания колебаниям на нем сооружения. Они определяются как силы, необходимые для возбуждения гармонического колебания слоя грунта единичной толщины с единичной амплитудой (Novak, Han, 1990):

. . амплитуда динамической силы К {и) = -----------------------------------------.

амплитуда смещения

Первостепенной задачей при расчете колебательной системы «сооружениеоснование» является прогноз ее резонансных частот и пиковых амплитуд смещений,

рассматриваемых как предельные условия работы сооружения. В дальнейшем дина­ мическая задача обычно сводится к статической — через расчет реакции основания и эквивалентные статические осадки. При этом принимается одна из возможных моделей поведения грунтового основания (см. ниже).

Характер сопряжения фундамента с основанием определяется типом и глуби­ ной заложения фундамента. Здесь следует различать три основных случая: 1) фун­ даменты мелкого заложения, когда глубиной последнего можно пренебречь и рас­ сматривать колебания фундамента на поверхности основания; 2) заглубленные фундаменты; 3) свайные фундаменты.

представляют суммы проекций всех действующих сил (включая силы инерции) на координатные оси, а три других — суммы моментов всех действующих сил относительно тех же осей (Красников, 1970).

Вибрации произвольного фундамента обычно являются результатом нало­ жения разных мод колебаний. Причем для каждого их пространственного типа существует собственная частота колебаний фундамента. Можно показать, что вся­ кая колеблющаяся система с п степенями свободы (без затухания и с затуханием, пропорциональным первой степени скорости) имеет п действительных собствен­ ных частот. Как правило, наибольшее значение для многих фундаментов имеет вертикальная мода колебаний.

Как уже отмечалось, в наиболее общем виде свойства оснований сооружений

Действительная часть механического импеданса характеризует истинную жест­ кость грунта к у а мнимая — демпфирование (затухание) колебаний; ш — круговая частота, с — константа эквивалентного вязкого затухания, относящаяся как к по­ глощению, так и к рассеянию колебаний в грунте. Константы жесткости и затухания зависят от свойств грунта и частоты колебаний сооружения.

Определяющее значение для расчета его колебаний имеет выбор модели пове­ дения грунтового основания. В настоящее время существует два основных подхода

кпрогнозированию резонансных частот и пиковых амплитуд смещения фундамента:

1)упруго-линейные модели и 2) модели, учитывающие демпфирующие свойства грунтов (Красников, 1970). Рассмотрим наиболее важные их различия.

1.Группа упруго-линейных моделей предназначена для решения задач о колеба­ ниях жестких массивных фундаментов на сжимаемых основаниях. При этом: а) сам фундамент считается абсолютно жестким, б) связь между перемещениями фунда­ мента и реакциями основания (или между напряжениями и деформациями грунта) полагается линейной, в) грунт считается невесомым. Таким образом, все разно­ образие реальных ситуаций сводится к задаче о колебаниях твердого массивного тела на упругих невесомых пружинах без затухания, а динамическая задача, в свою очередь, сводится к статической, т. к. если известны динамические характеристики фундамента (масса и жесткость), то можно определить упругую реакцию основания. Тогда если на колебательную систему (масса-упругость) действует периодическая сила с амплитудой Q, то амплитуда упругой реакции составит (Рауш, 1965):

где v — динамический коэффициент. При резонансе величина Ру может пре­

Для определения реакции основания разными авторами использовались раз­ личные динамические модели основания. До недавнего времени широкое рас­ пространение имела модель Винклера (рис. 100, а), отвечающая гипотезе местных упругих деформаций. В этом случае упругие деформации в каждой точке под по­ дошвой фундамента полагаются независимыми друг от друга, т. е. вертикально нагруженный фундамент передает только вертикальное, одинаковое в каждой точке удельное давление. Такой модели отвечает использование так называемого «коэф­ фициента постели» для характеристики несущей способности грунтов основания, который равен величине давления на грунт, вызывающего его осадку на 1см.

Рис. 100. Схемы деформирования оснований под фундаментом по упруго-линейным мо­ делям: а — местных деформаций, б — общих упругих деформаций, в — основание М. М. Филоненко-Бородича (по Н. Д. Красникову, 1970)

Поскольку колебания могут возникать только благодаря упругим свойствам грунта, то упругая часть общей осадки фундамента представляет в данном слу­ чае особый интерес. Она определяется динамическим коэффициентом постели (Рауш, 1965):

С-

Дf V F ’

где F — площадь подошвы фундамента, ЕД — динамический модуль Юнга основания, / — коэффициент, зависящий от формы фундамента (в среднем он составляет около 0,4). Предлагались и другие формулы для расчета динамического коэффициента постели. Например, по мнению В. А. Чеботарева (1975), он зависит не только от упругих свойств грунтов основания, но и от частоты нагружения (щ) и массы грунта (т):

2жшу/Ет

(676)

tg(0,5TT4/( l - /t)( 1 + ц){ 1 - 2ц)) ’

где р — коэффициент Пуассона. Модель Винклера удобна для расчетов, но не от­ вечает реальному распределению напряжений и деформаций в грунте и может дать некоторое представление лишь о низкочастотной (околостатической) реакции фун­ дамента. Тем не менее, она все еще находит применение и даже входит в некоторых странах в нормы проектирования фундаментов машин (Prakash, 1981). О. А. Са­ винов предлагал пользоваться вместо нее моделью М. М. Филоненко-Бородича (рис. 100, в), отвечающей основанию с местными упругими деформациями, на ко­ торое наложена без трения однородная, всесторонне растянутая мембрана, обес­ печивающая распределение внешней нагрузки вдоль поверхности грунта (Красни­ ков, 1970).

Более широкое распространение в настоящее время получила теория упругого полупространства, отвечающая гипотезе общих упругих деформаций (рис. 100,6). Она подразумевает анализ колебаний твердого тела с известной массой на по­ верхности упругой, однородной, изотропной, непрерывной полубесконечной среды (т. е. грунт считается идеальным материалом). В этом случае для расчета реакции основания необходимы значения динамического модуля сдвига и коэффициента Пуассона грунта, а также характер распределения давления по подошве фундамен­ та. Для удобства расчетов фундамент часто полагается круглым (Sreekantiah, 1988).

Основы теории распространения волн в упругой (или вязкоупругой) сплошной среде были заложены в 1904 г. работой Т. Лэмба о колебаниях упругого полупро­ странства, вызванных сосредоточенной силой («динамическая задача Буссинеска»). Первым инженерным приложением «упругодинамической» теории, положившим начало современной динамике грунтов, явилась работа Е. Рейсснера (1936), в ко­ торой была изложена математическая формулировка задачи о вертикально коле­ блющейся массе (в форме диска) на упругом полупространстве. Решение было лишь приблизительным, поскольку для упрощения принималось равномерное рас­ пределение контактных напряжений. Но главное — им было установлено наличие

радиационного затухания энергии колебаний в грунте при распространении упругих волн, зарождающихся на границе фундамент-основание. Впоследствии решение Е. Рейсснера было расширено применительно к разным типам распределения да­ вления (Sung, 1953) и разных мод колебаний (Bycroft, 1956) фундаментов разной формы, но они также были приблизительными, поскольку в действительности распределение контактных напряжений, позволяющее получать равномерные сме­ щения, непостоянно и меняется с частотой колебаний (Gazetas, 1983).

Модель упругого полупространства содержит шлый ряд условностей. Вопервых, даже в однородных реальных грунтах (глинах, песках) не существует од­ нородного полупространства, т. к. жесткость основания с глубиной увеличивается в связи с ростом природного давления. Кроме того, однородность грунтов нарушает­ ся при их экскавации и обратной засыпке в процессе строительства фундамента. Вовторых, основание не является изотропным, следовательно, модули сдвига грунта должны быть различны для разных мод колебаний, что было показано, в частности, в работе (Holzlohner, 1979).

Особый случай представляет слоистое основание, характеризующееся различ­ ными свойствами грунтов в разных прослоях. В этой ситуации возможны: 1) анализ колебаний фундамента на поверхности упругого слоя, ограниченного двумя поверх­ ностями раздела с резким изменением свойств на них и 2) слоистая система может быть представлена в виде набора пластов, в пределах которых свойства грунта не зависят от их мощности. Для второго случая разработаны методики расчета эквивалентного модуля упругости двухслойной (Palmer, Barber, 1940) и трехслойной (de Barrows, 1966) системы, если известны мощности и модули упругости отдельных слоев. Более сложным является метод, предложенный для трехслойного основания Н. Одемарком (Odemark, 1949) и подробно описанный (Ueshita, Meyerhof, 1967). Простой численный метод среднего взвешенного для определения эквивалент­ ной жесткости четырехслойной системы разработан индийскими исследователями (Sridharan et al., 1990). Суть его заключается в расчете коэффициентов влияния напряжений по Буссинеску (I ) для середины каждого слоя. Фактор влияния на­ пряжений каждого слоя Ij определяется путем деления каждого коэффициента на сумму коэффициентов всех слоев, входящих в активную зону. Эквивалентный коэффициент жесткости такой слоистой системы

* „ = ]Г а д = ( £ / , ) „ + + * « ( £ « ) „ • (6®*»

Значения I j , кумулятивно суммирующиеся от нулевой до максимальной мощности, дают фактор Х )/,, который может использоваться для получения эквивалентной жесткости

Это неплохо согласуется с экспериментальными данными тех же авторов: показано, что и мощность слоев, и расположение прослоев с разной жесткостью относительно друг друга и подошвы фундамента оказывает существенное влияние

и для слоистых оснований) глубина активной зоны зависит от ширины фундамента, то величина K eq является функцией его размера. Таким образом, при расчете колебаний реальных фундаментов следует особо рассматривать три фактора: слои­ стость грунтового основания, его однородность и глубину заложения фундамента (Novak, 1987).

а их вязкость внутренней вязкостью. Для такой модели характерно наличие зави­ симости декремента затухания D от частоты действующей силы (Кольский, 1955):

26. Прямо противоположная зависимость декремента затухания от частоты характерна для релаксирующего тела Максвелла:

реологическая схема которого может быть представлена в виде последовательно соединенных упругого и вязкого элементов. Поведение такого тела определяется величиной времени релаксации

Если время действия силы мало по сравнению с £р, то среда ведет себя как упругое тело, а если велико (t > tp) — то как вязкое.

В явном противоречии с двумя последними моделями находятся экспери­ ментальные данные, свидетельствующие о практическом постоянстве в широком диапазоне частот логарифмического декремента затухания для горных пород (Крас­ ников, 1970).

2в. Совместный эффект явлений релаксации и упругого последействия учиты­ вается в обобщенной линейной модели упруго-вязкой среды (модель ПоинтнингаТомсона), реологическая схема которой может быть представлена в виде двух па­ раллельно соединенных упругого и вязкого элементов, к которым последовательно присоединен второй упругий элемент. Для такой среды существует два предельных значения деформации: первое (меньшее) достигается при динамическом нагруже­

граммы сжатия (динамическая и статическая) и семейство промежуточных кривых сжатия, соответствующих разным скоростям деформации (Красников, 1970).

2г. Кроме вышеперечисленных существуют также другие, более сложные модели упруговязких сред, включающие по четыре и более простейших состав­ ных элемента, но не получившие практического применения для решения задач о колебаниях систем с внутренним трением из-за их сложности и проявления существенной зависимости площади петли гистерезиса таких материалов (что явля­ ется мерой затухания в них колебаний) от частоты циклического деформирования. А это находится в противоречии с опытными данными (Пановко, 1960), за ис­ ключением экспериментов с малыми амплитудами и очень высокими частотами

деформирования.

Неупругое сопротивление грунта, выражаемое вязким элементом во всех рассмотренных моделях, связано с гистерезисными свойствами грунта, т. е. с не­ линейностью характеристики «напряжение-деформация», проявляющейся при ци­ клических нагрузках (Hardin, 1965; Wu, 1971). Потери энергии при этом могут характеризоваться коэффициентом поглощения

AW

(72)

где AW — рассеянная (перешедшая в необратимую форму) часть энергии за 1 цикл; W — потенциальная энергия системы в момент достижения максимальной деформации. Таким образом, Ф определяется безотносительно к каким-либо пред­ ставлениям о природе сил внутреннего трения — по площади петли гистерезиса, что

массы грунта, колеблющейся в фазе с фундаментом, а из того факта, что жест­ кость основания с повышением частоты на самом деле снижается, а не остается постоянной и равной статической жесткости системы, как полагается в модели. Другими словами, вместо уменьшения К для сохранения неизменной резонансной частоты системы а;рсз модель со смешанными параметрами предусматривает уве-

личение т (шрез пропорциональна у/К /т ) (Gazetas, 1983). Очевидно, что модель со смешанными параметрами «работает» как для упругого, так и для вязкоупругого полупространства, но в первом случае коэффициент затухания характеризует лишь рассеяние энергии за счет расхождения. Эта модель развивалась многими другими авторами для изучения реакции жестких фундаментов при разных модах колеба­ ний и в различных диапазонах частот (Veletsos, Verbic, 1974; Wong, Luco, 1976) и была расширена для возможности анализа динамики фундаментов разной, в том числе и произвольной, формы (Dobry, Gazetas, 1986) и глубины заложения (Gazetas et al., 1985), а также за счет включения в нее нелинейных возвратных сил основания (Funston, Hall, 1967).

По своей сути все рассмотренные модели являются схематизацией реальных грунтов и подразумевают аппроксимацию бесконечной среды (основания) конеч­ ной моделью, характеризуемой в общем случае массой, затуханием и упругостью, которые представляют соответственно инерцию, рассеяние энергии (за счет вязко­ сти) и возвратную силу. Предполагается, что параметры такой модели не зависят от частоты. Этот подход использовал еще Дж. П.Ден-Гартог (1931) для анализа вынужденных колебаний с кулоновским (сухим) трением и вязким затуханием одновременно. Возможен и несколько другой подход — замена полубесконечной среды конечной системой с вязкой границей, выражаемой в модели буферами, действующими нормально и тангенциально к ней таким образом, что обеспечивают полное поглощение упругих волн (Lysmer, Kuhlemeyer, 1969).

В настоящее время вязкоупругая модель со смешанными параметрами в си­ лу своей универсальности и сравнительной простоты является общепризнанной и наиболее широко применяемой в мировой практике расчета колебаний фунда­ ментов машин. Поэтому накопленный опыт позволяет рассмотреть применительно к этой модели влияние таких важнейших (и сложнейших) факторов, как форма фундамента и тип геологического строения основания на динамические свойства последнего, выражаемые механическими импедансами в соответствии с уравнени­ ем (65). Современные методы расчета реакции массивных фундаментов основаны на определении импедансов «эквивалентных» жестких, но безмассовых (невесомых) фундаментов той же формы. Поэтому форма представления импеданса для модели со смешанными параметрами требует дополнительных пояснений.

В соответствии с определением вертикальный импеданс фундамента, имею­ щего в плане центр симметрии, выражается (для гармонического возбуждения):

дошве, S(t) = Seiut — равномерное гармоническое смещение границы раздела «грунт-фундамент». Очевидно, что Rv — тотальная реакция грунта, действующая на фундамент и складывающаяся из нормальных напряжений по подошве и (в слу­ чае заглубленных фундаментов) касательных по боковой поверхности. Аналогично может быть определен крутильный импеданс Kt (по моменту кручения и углу поворота); горизонтальные импедансы Кь (по силам и смещениям вдоль главных осей подошвы) и импедансы качки Кг (по моментам и поворотам вокруг тех же горизонтальных осей). А поскольку горизонтальные силы, действующие вдоль

главных осей в дополнение к горизонтальным смещениям, вызывают также и по­ вороты, то могут быть определены и взаимные (парные) горизонтально-крутильные импедансы K rh. Последние обычно пренебрежимо малы для фундаментов мелко­ го заложения, но с ростом глубины последнего их величина может становиться ощутимой (Gazetas, 1983).

Отметим, что динамическая сила и смещение обычно не совпадают по фазе, и любое динамическое смещение можно разложить на две компоненты: одну, совпадающую по фазе, и другую, отличающуюся на 90° от фазы возмущающей силы. Тогда импедансы могут быть представлены в виде (для удобства вводятся

i = у/^Л. Как действительная, так и мнимая части импеданса являются функциями частоты ш. При этом действительная часть отражает жесткость и инерционность грунтов основания, а ее зависимость от частоты обусловлена влиянием последней именно на инерцию, т. к. считается, что свойства грунта слабо зависят от частоты (Gazetas, 1983), хотя это утверждение не может считаться справедливым во всех случаях. Мнимая часть характеризует рассеяние и поглощение энергии колебаний в системе, причем интенсивность первого зависит от частоты колебаний, а второе, являясь результатом прежде всего гистерезисного поведения грунтов в динамических условиях, практически частотно-независимо.

Полагая возбуждение гармоническим P(t) = P$etu}t, установившуюся реакцию

фундамента x(t) = xoe'ut для системы с одной степенью свободы можно найти подстановкой в уравнение (74):

Сравнение уравнений (IV—11) и (IV—13) позволяет получить выражение механи­ ческого импеданса для модели со смешанными параметрами в системе с одной степенью свободы:

Тогда К\ = К - шш2\ Ki = Си. Другими словами, механический импеданс коле­ бательной системы с одной степенью свободы — комплексное число с частотно­ зависимой действительной частью, выражающей жесткостные и инерционные ха­ рактеристики системы, и частотно-зависимой мнимой частью, выражающей Потери энергии в системе.

Установив таким образом аналогию между системой с одной степенью свободы и невесомой системой «грунт-фундамент», представим уравнение (78) в виде (Gazetas, 1983):

критический коэффициент вязкого затухания:

СС

(796)

СКр “ 2К/шп ’

свободы может быть представлен в виде произведения упругой константы К — статической жесткости системы — и комплексного числа k + iwc, отражающего динамические характеристики системы (инерцию и вязкое затухание) и именуемого в дальнейшем динамической частью импеданса. При нулевой частоте динамическая часть становится действительным числом, обращаясь в 1, и импеданс совпадает со статической жесткостью системы. Величины к и cs называются соответственно коэффициентами жесткости и затухания, причем к убывает с частотой по параболе 2-й степени, a cs остается постоянной (для системы с одной степенью свободы). Кроме того, часто вводится безразмерный фактор частоты

шВ

в котором В — критический размер фундамента (например, радиус круглого фундамента или половина ширины прямоугольного), — характерное значение скорости поперечных волн в грунте. На основе выражений (79а) и (80) импеданс может быть представлен в следующей форме:

Поскольку и ао, и с являются безразмерными величинами, то для представления результатов динамических расчетов уравнение (81) предпочтительнее (79а) (Gazetas, 1983).

Введем теперь в модель со смешанными параметрами еще и гистерезисное за­ тухание, т. е. гистерезисный гаситель (включив его параллельно упругому и вязкому элементу), который характеризуется коэффициентом гистерезисного затухания £. В каждом цикле движения этот элемент будет рассеивать некоторое количество энергии, пропорциональное максимальной энергии накопленных деформаций сис­

где W = Q,5KXQ. С другой стороны, вязкий элемент поглощает за это же время количество энергии

тивного» коэффициента затухания системы, отражающего как гистерезисное, так и вязкое демпфирование, можно пользоваться простым сложением соответствую­ щих коэффициентов: (Зш/шп. Вибрирующий фундамент на грунтовом основании представляет собой систему с вязким по природе радиационным затуханием и по­

глощением гистерезисного типа.

Наличие внутреннего затухания в грунтах влияет как на коэффициент жест­ кости к, так и на с. Попытка выделить эффект гистерезисного демпфирования вибраций приводит к выражению, отличному от (81), но часто используемому

Рис. 101. Разные схемы разреза основания (А):

а — полупространство; б — однородный слой на недеформируемом полупространстве;

в— однородный слой на однородном полупространстве;

Б— обозначения характерных размеров фундамента (пояснения в тексте)

—соотношение модулей сдвига соответственно G\/G2 верхнего слоя и под­ стилающего полупространства; эта величина может изменяться от нуля (в случае слоя на абсолютно жестком основании) до единицы (в случае однородного полу­ пространства);

—коэффициент(ы) Пуассона слоя (слоев);

—критический(е) коэфициент(ы) поглощения (гистерезисного затухания)

слоя(ев);

—факторы п и т , выражающие степень анизотропии и неоднородности соответственно: п = E h/ E v ; га = GS /G B , где Eh и E v — значения модуля Юнга грунта в горизонтальном и вертикальном направлении, a Gs и GB — модули сдвига у поверхности и на глубине В;

—фактор относительной жесткости RF = (Ef /E s)( 1 - fi2)(h/B)3, где E s — модуль Юнга грунтов основания, a E f, p,f и h — соответственно модуль Юнга, ко­ эффициент Пуассона и толщина фундамента; RF изменяется от оо (для абсолютно жесткого) до 0 (для идеально гибкого фундамента).

Рассмотрим теперь особенности работы жестких фундаментов разной формы при динамических нагрузках на естественном основании различного строения.

чувствительным к их изменениям являются коэффициенты жесткости для качки и вертикальных колебаний, а реакция такого фундамента на крутильные колеба­ ния не зависит от частоты при малых ее значениях (Veletsos, Verbic, 1974; Luco, Westmann, 1971; Veletsos, Wei, 1971)). Это связано с тем, что влияние коэффици­ ента Пуассона возрастает с увеличением доли энергии генерируемых волн сжатия в общем балансе энергии упругих волн, а для горизонтальных мод вибрации волны этого типа имеют подчиненное значение, тогда как при крутильных колебаниях образуются только горизонтально поляризованные волны сдвига, и продольные волны не играют никакой роли. Надо заметить, что, хотя для водонасыщенных

0 0,5 1 1,5 2

\

Рис. 102. Импедансные функции вертикальной реакции жестких фундаментов разйой формы (по G.Gazetas, 1983):

а — для круглого фундамента на однородном вязкоупругом полупространстве ({ = 0); б — то же для ленточного фундамента; в, г — для круглого фундамента на слое поверх недеформируемого полупространства (в — ц = 1/3, £ = 0,05; г — /х = 1/3, H/R = 2); д — функции податливости для ленточного фундамента на однородном слое на недеформируемом полу­ пространстве при Н/В = 2, £ = 0,05; е —то же для ленточного фундамента на однородном слое поверх деформируемого полупространства при Н/В = 2, ц = 0,4, f = 0,05

глинистых грунтов при статическом нагружении в недренированных условиях обыч­ но принимают р, = 0,5, при динамическом нагружении это приводит к получению бесконечно большой скорости продольных волн. Теория же пороупругой среды Био—Ишихары дает максимальное значение р несколько меньше 0,5.

С практической точки зрения при оценке реакции фундамента для крутильных колебаний и качки в связи со слабым радиационным затуханием в расчетах целе­ сообразно учитывать эффекты поглощения. С другой стороны, для горизонтальных и особенно вертикальных вибраций гистерезисное затухание незначительно. Поэто­ му им можно пренебречь без особого ущерба для точности оценки в присутствии гораздо большего радиационного затухания.

Несмотря на то, что, с одной стороны, в природе не существует толщ, полностью удовлетворяющих гипотезе полупространства, а с другой — круглые фундаменты сооружаются крайне редко, накопленные результаты имеют большое значение для понимания природы явлений, связанных с вибрациями фундаментов. Кроме того, с практической точки зрения общие тенденции изменения импедансов и формы зависимостей представляются едва ли не более важными, чем их точные значения в конкретном случае.

Для ленточного фундамента возможны не 4, как для круглого, а лишь 3 моды колебаний (вертикальные, горизонтальные и боковая качка). В целом, зависимость импедансов от коэффициента Пуассона для ленточного и круглого фундаментов очень схожи (рис. 102, а, б), а приведенные выше по этому поводу рассуждения справедливы и в данном случае.

Определение импедансов прямоугольного фундамента предполагает аппрок­ симацию его статической жесткости аналогичной величиной для «эквивалентного» круглого фундамента. Тогда, например, для поступательных колебаний по трем главным направлениям радиус такого «эквивалентного» фундамента может быть найден из равенства площадей их подошв:

(85)

Анализ динамики прямоугольного фундамента, выполненный, например, по ме­ тоду граничных элементов (Dominguez, Roesset, 1978), показывает весьма слабую зависимость импедансов от фактора частоты для вертикальной и особенно для го­ ризонтальной моды колебаний.

Схема 2. Жесткий фундамент на однородном слое поверх недеформируемого осно­ вания. Динамические коэффициенты жесткости и затухания импедансных функций круглого фундамента при таком строении основания уже не являются относительно «гладкими» функциями фактора частоты, как для однородного полупространства, но имеют целый ряд пиков и минимумов (рис. 102, в), связанных с собственными частотами пласта (по колебаниям сдвига и сжатия). Другими словами, наблюдаю­ щиеся флуктуации к и с в зависимости от CLQ — результат резонансных явлений: волны, излучаемые вибрирующим фундаментом, отражаются от границы раздела с недеформируемым основанием и возвращаются к поверхности. В результате это­ го амплитуда колебаний фундамента может существенно возрастать при частотах, близких к собственным частотам слоя. При этом весьма резкие экстремумы на кри­ вой к = f(a 0) при слабом поглощении с увеличением коэффициента последнего до £ = 0,10-0,20 выражаются слабее (рис. 102, г). Аналогичный эффект отмечается и с увеличением относительной толщины слоя H /R (рис. 102, в) (в предельном случае H /R —►оо снова приходим к модели полупространства).

Что касается затухания, то его радиационная часть при частотах ниже первой резонансной равна нулю, поскольку при таких частотах в пласте физически не может

образоваться поверхностная волна, а потери энергии за счет геометрического расхо­ ждения волн по причине недеформируемости основания пренебрежимо малы. По­ этому низкие значения коэффициента затухания в данном частотном диапазоне от­ ражают потери энергии только на поглощение; для идеально упругого грунта с = 0.

Интересно отметить, что резонансные частоты горизонтальных колебаний со­ впадают с собственными частотами слоя в сдвиговых волнах (Gazetas, 1983). Их прогноз облегчается тем, что при а0 ниже резонансного значения в пласте существу­ ют, по сути дела, только поперечные волны, распространяющиеся в вертикальном направлении между подошвой фундамента и недеформируемой частью основания. При резонансе же образуется «стоячая» волна и значительная реакция основания при слабом затухании. Второй «резонанс» проявляется вблизи собственной часто­ ты пласта в продольных волнах, а третий — вблизи второй собственной частоты в поперечных. Из-за многочисленных отражений образуются также вторичные про­ дольные, поперечные и поверхностные волны, затрудняющие прогноз резонансных частот горизонтальных колебаний фундаментов.

При вертикальных колебаниях и качке в верхнем слое образуются преиму­ щественно продольные волны, но существуют также и поперечные; относительная значимость волн каждого типа в некоторой степени зависит от коэффициента Пуас­ сона грунта. А первые резонансные частоты круглого фундамента при этих модах колебаний близки к собственной частоте пласта в вертикально распространяющейся волне сжатия. Резонансы более высоких порядков сложно прогнозировать, т. к. они связаны с наложением Р-, S- и R-волн.

Основные различия в поведении круглого и ленточного фундаментов на одно­ родном слое поверх недеформируемого основания заключается в гораздо большем влиянии относительной глубины заложения Н /В на вертикальные и горизонталь­ ные колебания (в отличие от качки) второго. При этом вертикальная вибрация ленточного фундамента на маломощном слое (Н /В = 1) характеризуется лишь одним слабо выраженным резонансом, что характерно для системы с большим демпфированием (рис. 102, д). Это может объясняться потерями энергии при час­ тотах колебаний ниже резонансной на распространение Р-, S- и R-волн в стороны (Gazetas, Roesset, 1979).

Схема 3. Жесткий фундамент на однородном слое поверх полупространства.

Для описания такой модели основания требуется еще и отношение модулей сдвига слоя и полупространства G\/Gi. При G\/Gi —►0 приходим к схеме 2, а при G\/Gi —<►1 — к схеме 1. Численные исследования поведения круглых и лен­ точных фундаментов на таком основании показали (Gazetas, Roesset, 1976, 1979; Hadjian, Luco, 1977), что снижение жесткости основания и увеличение радиационно­ го (геометрического) затухания имеют наибольший эффект до первой резонансной частоты. Резонансные пики более высоких порядков вообще подавлены, а потери энергии колебаний возрастают в такой модели по сравнению со схемой 2 из-за частичного перехода объемных волн в полупространство и существования при лю­ бых частотах поверхностных волн. Наиболее чувствительна к вариациям GX/G I вертикальная динамическая податливость основания GxFv2 (рис. 102, е), поскольку «луковица» напряжений распространяется для этой моды колебаний значительно глубже. В целом, решения, получаемые при расчетах по схеме 3, дают результаты, промежуточные по сравнению со схемами 1 и 2.

Завершая рассмотрение упруговязких моделей основания (2а-г), следует отме­ тить, что в них нигде не фигурирует масса основания, т. е. оно полагается невесо­ мым. Между тем, реальные грунты обладают массой, а следовательно, и инерцией, влияющей на колебания всей системы (в частности, введение вязкой границы теряет физический смысл для безмассовой системы). Поэтому, как уже отмечалось

выше (2д), в общем случае модель системы «сооружение-грунт» должна характе­ ризоваться массой, упругостью и затуханием. Для простоты временно исключим из рассмотрения затухание колебаний в грунтах.

3. В этом случае мы получим упруго-инерционные модели основания, которые предназначены для решения задач о вынужденных колебаниях твердого тела на упру­ гом весомом полупространстве. В частности, работами Е. Рейсснера и О. Я. Шехтер было показано, что уравнение вертикальных колебаний такой системы (твердое тело на упруго-инерционном основании) под действием гармонической возмущающей силы вида Р cos(cut + ф) приводится к виду:

тш1

— - ( - / i cos u)t + /2 sin ut) - R cos ut = P cos(ut + ф), (86)

R

азависимость между реакцией грунта R, действующей по подошве фундамента,

иперемещением Z грунта основания:

где G — модуль сдвига грунта, го = (F/7т)1/2, F — площадь подошвы фундамента, /1 и /2 — функции, зависящие от отношения г0 к длине волн сдвига Л5, излучаемых фундаментом, а также от коэффициента Пуассона (выражения (86) и (87) приводят­ ся без вывода по работе Н.Д. Красникова (1970)). Существуют расчетные формулы для определения амплитуды колебаний фундамента, силы реакции основания R , а также сдвига фаз / между силами Р и R, а также между Р и Z.

Учет инерционных свойств грунта приводит к тому, что амплитуда колебаний фундамента при изменениях возмущающей силы нигде не обращается в бесконеч­ ность, хотя в исходное уравнение не входит затухание. Тем не менее, реально оно существует и сильно зависит от коэффициента Пуассона, с увеличением которого возрастает излучение энергии от колеблющегося фундамента в грунт. Следствием этого является предположение об участии определенной массы грунта в колебаниях фундамента. Она называется «присоединенной» (или эффективной) массой грунта

иколеблется как жесткое тело в фазе с фундаментом. Так, для круглого фундамента

смассой ш и радиусом го присоединенная масса грунта составляет (Шехтер, 1948):

где 7 — коэффициент увеличения массы фундамента, зависящий от коэффициента Пуассона грунта и затухания, а также параметра b = rajрг\, где р — плотность грунта. Следовательно, в модель в неявном виде вводится затухание. Таким обра­ зом, если в безынерционную модель Павлюка—Рауша (упругое полупространство) включить соответствующим образом подобранную присоединенную массу, то по­ лучается новая модель основания Шехтер, характеризуемая уже не двумя, а тремя параметрами: упругостью, инерцией и затуханием. Причем в расчетном отношении она эквивалентна модели упруго-инерционного основания Рейсснера—Шехтер, т. к. расчеты при использовании обеих этих моделей для одной ситуации дают практи­ чески совпадающие результаты (Красников, 1970).

Надо сказать, что проблеме учета присоединенной массы уделялось много внимания. Т. К. Хсай (Hsieh, 1962) вывел ее величины для разных мод колебаний. Однако некоторые авторы (Richart, Whitman, 1967) считали эффект присоединенной массы незначительным, поскольку частицы грунта при вибрации движутся в разных направлениях с разными ускорениями. Применяются различные способы оценки присоединенной массы (например, путем приравнивания ее объему грунта активной зоны и др.), однако данные о величинах этой массы не согласуются между

может изменяться в пределах 20-80% массы фундамента, а в случае фундаментов типа легких плит — и превышать ее. Величина присоединенной массы может также корректироваться по виброускорению системы «грунт-фундамент» раздельно для каждой моды колебаний (Sreekantiah, 1988).

Однако концепция присоединенной массы не соответствует физической ре­ альности: не существует массы грунта, колеблющейся вместе с фундаментом как жесткое тело. Вместо этого происходит излучение волн сдвига и сжатия с подошвы фундамента в грунт основания, которые вызывают меняющиеся во времени дефор­ мации и уносят с собой часть энергии колебаний. Факторы, влияющие на этот процесс, весьма многочисленны и вряд ли могут быть согласованы с помощью та­ кой искусственной концепции. Поэтому, как показано выше, все попытки получить конкретные значения присоединенной массы совпали лишь в одном: ее величи­ на оказалась слишком чувствительной к изменению таких характеристик, как вес и площадь подошвы фундамента, мода колебаний, тип возмущающей силы и свой­ ства грунтов основания. В связи с этим применение концепции «присоединенной массы» на практике может привести к серьезным ошибкам (Gazetas, 1983).

Весьма близок к описанным моделям и метод «сниженной собственной часто­ ты» Г. П. Чеботарева (Tschebotarioff, Ward, 1948). «Сниженная собственная частота» графически выражалась в виде функции типа грунта и площади взаимодействия и определялась как произведение собственной частоты колебаний фундамента и корня квадратного из среднего вертикального напряжения по его подошве. При­ влекательность этого способа заключалась в том, что в основу его был положен анализ существовавшего опыта строительства.

Анализ описанных моделей показывает, что при любом коэффициенте Пуас­ сона влияние инерции грунта на вынужденные колебания фундамента возрастает с уменьшением параметра Ь, который прямо пропорционален статическому давле­ нию на грунт и обратно пропорционален F. Следовательно, влияние инерционных свойств сильнее для фундаментов малой высоты и больших размеров в плане. Это находится в соответствии с приближенной схемой расчета Элерса—Любимова, согласно которой увеличение контактной площади взаимодействия фундамента с грунтом приводит к возрастанию потерь энергии за счет геометрического расхо­ ждения волн в грунт основания. Эта схема основана на допущении о распростране­ нии колебаний от фундамента только в пределах расширяющегося книзу усеченного конуса и сводится к уравнению динамического равновесия, описывающему соб­ ственные продольные колебания конического стержня из грунтового материала, связанные с образованием в нем стоячей волны (что в реальном грунте никогда не происходит из-за значительного затухания). Из решения этого уравнения следует, что колебания такой системы не возникают, если вес воображаемой части конуса будет больше веса фундамента (это было установлено Г. Лоренцем и подтверждено М. Новаком), что позволяет исключить возможность резонанса подбором площади подошвы фундамента (Красников, 1970).

4. Общим допущением для всех рассмотренных групп моделей —■упругого полупространства, вязкоупругих и упруго-инерционных — является предположе­ ние о линейном характере деформирования грунтов основания при колебаниях сооружения на них, т.е. грунт аппроксимируется идеально или неидеально упругой средой. В этом случае остаточные перемещения фундамента не могут быть опреде­ лены в рамках упомянутых моделей. Между тем, многие результаты исследований, особенно для мягких грунтов, не могут быть объяснены без уч'ета нелинейности

их колебаний, т. е. нелинейно-упругих и упругопластических свойств грунтов. На­ пример, при изменении плотности грунтов основания в результате накопления пластических деформаций (осадок) в процессе колебаний жесткость его может воз­ растать во времени. В случае же тиксотропного разупрочнения глинистых грунтов, залегающих под фундаментом, жесткость основания будет, наоборот, снижаться. И тот, и другой эффекты должны проявляться сильнее при повышении амплитуды колебаний, а следовательно, жесткость основания будет являться функцией его перемещения.

Другой случай — «отрыв» подошвы фундамента от основания, происходящий иногда при работе мощных кузнечных молотов. В этой ситуации упругая характе­ ристика системы также будет нелинейной. В реологических моделях нелинейность такого рода может быть условно выражена введением упругих элементов с зазорами или дополнительными упругими ограничителями, имеющими другую жесткость.

Кроме этого, отмеченные эффекты могут приводить и к нелинейности зату­ хания колебаний в грунтах основания. С позиций теории колебаний нелинейность системы заключается в том, что один или несколько коэффициентов дифферен­ циального уравнения колебаний (масса, жесткость или затухание) зависят от пере­ мещения. Причем при нелинейности упругой характеристики собственная частота свободных колебаний системы уже не является независимой от амплитуды колеба­ ний. В то же время, при нелинейности затухания (если оно невелико) частота очень мало зависит от амплитуды (Ден-Гартог, 1960).

Таким образом, нелинейность колебаний массивных фундаментов в об­ щем случае может быть обусловлена нелинейностью упругого сопротивления или коэффициентов затухания грунта основания, а также переменностью массы колеблющейся системы (Красников, 1970). В частности, получено (Колоушек, 1965), что при увеличении возмущающей силы и амплитуды колебаний фунда­ ментов наблюдается смещение максимума резонансной кривой в сторону меньших частот (т. е. уменьшение жесткости основания), причем это снижение резонансной частоты может превышать 25%. Таким образом, можно говорить о существовании амплитудно-частотной зависимости у колебательной системы «фундамент-грунт», которая может объясняться только с позиций нелинейной теории колебаний.

По мнению ряда авторов (Lorenz, 1954; Колоушек, 1965) определяющее вли­ яние на нелинейные колебания фундаментов оказывает нелинейность сил упругого сопротивления грунта основания или его так называемой «упругой характеристики» (зависимость упругого сопротивления от амплитуды колебаний А). Некоторые авто­ ры для получения более адекватной модели системы «грунт-фундамент» включали в линейные модели нелинейные силы реакции основания (Funston, Hall, 1967) или рассматривали невесомое основание, обладающее упругими, диссипативными и пластическими свойствами (Баркан, Шехтер, 1961). Тогда в интервале нагрузок до появления пластических деформаций (до предельного динамического давления) грунт ведет себя как упругая среда, характеризуемая жесткостью и затуханием, а выше этих нагрузок — как идеально-пластическая среда Ирандтля.

Вязкоупруго-пластичная модель поведения грунта строится на основе понятия об участке его вязкого размягчения на диаграмме «напряжение—деформация», поло­ жение которого в поле напряжений зависит от скорости деформирования (O’Reilly, Brown, Overy, 1989). Эта идея использовалась П.Перзина (Perzyna, 1963) и другими авторами (Tavenas et al., 1978; Graham et al., 1983). Несколько упрощенная форма этого участка допускает математическое описание и позволяет ввести его в упруго­ пластические модели для циклического воздействия: при напряжениях за пределами участка размягчения в определенной степени проявляются пластические деформа­ ции, а их величина зависит, в том числе, и от частоты нагружения.

Надо отметить, что нелинейность деформирования грунтов обычно не имеет существенного значения для оснований большинства машин, т. к. для их удовле­ творительной работы требуется обеспечить амплитуды смещения, не превышающие нескольких сотых и даже тысячных долей миллиметра. В этой ситуации деформации грунта можно считать квазиупругими, а остаточные деформации и связанные с ни­ ми нелинейные эффекты — пренебрежимо малыми. И наоборот, реакция системы «фундамент-грунт» на сильные землетрясения контролируется именно нелинейным поведением грунта. Однако и под краями раскачивающихся фундаментов мелко­ го заложения концентрация значительных напряжений при низких сжимающих давлениях может, безусловно, вызывать пластические деформации отдельных зон основания (Gazetas, 1983). Как одно из возможных решений, в такой ситуации модель основания может рассматриваться в виде полупространства, включающего вязкопластические зоны (Abascal, Dominguez, 1986).

Вряде ситуаций оказывается необходимым учитывать также неоднородность

ианизотропию грунтовых оснований. Так, жесткость любого пласта растет с глу­ биной (вследствие повышения природного давления). Весьма характерным случаем является также наличие сверху коры выветривания, влияние которой может рассма­ триваться, например, в терминах модели со смешанными параметрами для схемы однородного пласта или полупространства, перекрытого более жестким слоем мощностью Dcr, модуль сдвига которого спадает с глубиной по некоторому за­

кону (например, по параболе) (Gazetas, 1983) (рис. 103). Численные исследования

сг

G K

Рис. 103. Импедансные функции для жесткого ленточного фундамента на мощной однород­ ной толще, перекрытой корой выветривания (по G. Gazetas, 1981) (G cx/ G = 4, ц СТ = 0~>5 /i = 0,45, € = 0,05):

1 - DCT/B = 1; 2 - DCT/B = 0,5; 3 - Da/B = 0,2

показывают, что в таком случае импеданс (особенно для горизонтальных колебаний) существенно зависит от отношения DCT/B . Кроме того, влияние коры выветри­ вания сильно зависит от частоты колебаний. Так, при низких значениях фактора частоты а0 вертикальные импедансы ленточного фундамента относительно незави­ симы от вариаций жесткости или мощности коры выветривания, т. к. фундаменты такого типа передают нагрузку на значительную глубину (порядка 8В), и жесткая кора с Dcr ^ В может иметь лишь второстепенное значение.

Однако положение в корне меняется с повышением ао, т. е. с уменьшением величины Лs/D CT (где As — длина волны). При объяснении этого явления следует учитывать большую роль Рэлеевских волн в общем движении и более интенсивное отражение объемных волн от кровли нижележащего податливого пласта с ростом частоты колебаний.

Существенно усложняет анализ учет анизотропии основания, если она имеет место. В то время, как свойства изотропного упругого материала могут быть охарак­ теризованы всего двумя независимыми константами (модулем сдвига и коэффици­ ентом Пуассона), для описания деформационного поведения упругого поперечно­ анизотропного материала требуется уже пять параметров: модули Юнга по вер­ тикали (Ev) и горизонтали (Eh = nEv)\ коэффициенты Пуассона, связывающие деформации по горизонтали (/хлл), и вертикальную с горизонтальной (/!„/,), а также модуль сдвига для любой вертикальной плоскости (т. е. параллельной вертикальной оси симметрии) GVh = Ghv По мнению (Gazetas, 1981а), для испытаний глинистых грунтов в недренированных условиях с достаточной надежностью можно принимать:

(из условия несжимаемости грунта в недренированных условиях: fivh = 0,5, fihh = 1 - п /2), что сводит число независимых констант материала к двум. Для фундамен­ та, опирающегося на анизотропное полупространство (полупространство Гибсона), удовлетворяющее этому уравнению, степень анизотропии не оказывает никакого влияния на вертикальную жесткость основания. В других случаях она заметно растет с повышением п = Eh/Ev (а при п —►4 — стремится к бесконечности, т. к. энергия деформаций такого материала равна нулю для всех возможных схем нагружения (Gibson, 1974)). В целом, анизотропия грунтов основания проявляется главным образом через статические жесткости системы «грунт-фундамент» (Gazetas, 1981а).

5. Модели, описывающие поведение грунтов при интенсивных динамичес ких нагрузках, вызывающих значительные пластические деформации и изменения плотности грунта, используются при анализе действия взрыва в грунте и не рассма­ триваются в связи с колебаниями фундаментов.

Выбор той или иной модели поведения грунтового основания определяет схему расчета резонансной частоты колебаний и пиковой амплитуды смещения фундамента, а также его осадок за пределами резонансной области. Усложне­ ние описанных моделей идет за счет одновременного рассмотрения разных форм колебаний фундамента при существовании у него двух и более степеней свободы.